廣東省汕頭市2025屆高三數(shù)學第一次模擬考試試題文（含解析）

廣東省汕頭市2025屆高三數(shù)學第一次模擬考試試題文(含解析)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合4=口|1。82%>1},3={0,1,2,3,4},則4B=()

A.[0,1,2}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】

先分別求出集合A3,由此能求出AB,得到答案.

【詳解】由題意，集合4={尤|1。82?1}={尤|力2},3={0,1,2,3,4},

所以AcB={3,4},故選D.

【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，以及集合的交集運算問題，其中解答中正確求解

集合A,再依據(jù)集合的交集運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

2.已知aeR,i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=■，若目=J5,則。=()

A.0B.2C.-2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

通過復數(shù)的除法運算得到z=^一+」，，再由模的求法得到方程，求解即可.

22

Q+2z1

【詳解】z=￡±jl=()(~0=￡±Z+^z￡/,因為|Z|=V2,

1+i22211

等)=垃，即2a2+8=8,解得：。=0

故選：A

【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)模的求法，考查了推理實力與計算實力，屬于基

礎題,復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，點的象限和復數(shù)的對應關

系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.

y<X

3.設尤,y滿意約束條件<x+yW1,則Z=2x+y的最大值為()

y>-1

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意，畫出約束條件畫出可行域，結合圖象，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，即可求解.

【詳解】由題意，畫出約束條件畫出可行域，如圖所示，

目標函數(shù)z=2x+y可化為y=-2x+z,當直線y=-2x+z過點A時，止匕時在V軸上的截距

最大，目標函數(shù)取得最大值，

x+y=l/、

又由，，解得4(2,-1),

Iy=-i

所以目標函數(shù)的最大值為2啰=2x2-1=3,故選B.

【點睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式

組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重

考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算實力，屬于基礎題.

4.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參與兩項活動，則乙、丙

兩人恰好參與同一項活動的概率為

【答案】B

【解析】

分析】

C2c2

求得基本領件的總數(shù)為〃=子廣X&=6,其中乙丙兩人恰好參與同一項活動的基本領件個

數(shù)為m==2,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參與兩項活動，

基本領件的總數(shù)為n=國=6,

其中乙丙兩人恰好參與同一項活動的基本領件個數(shù)為m=C1CX=2,

rri|

所以乙丙兩人恰好參與同一項活動的概率為「=—=：；,故選B.

【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中

合理應用排列、組合的學問求得基本領件的總數(shù)和所求事務所包含的基本領件的個數(shù)，利用

古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

5.已知圓0:x?y24（0為坐標原點）經(jīng)過橢圓C:=+[=l（a〉6〉0）的短軸端點和

ab

兩個焦點，則橢圓C的標準方程為

222222

A,工+上=1B.土+上=1C.土+匕=1D.

4284164

【答案】B

【解析】

由題設可得〃=c=r=2,故6=/+°2=4+4=8,應選答案B。

6.已知向量/萬滿意a.(a+?=5,且|a|=2,g|=l,則向量G與匕的夾角為()

A.5B.4C.土D.也

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量的數(shù)量積的運算及向量的夾角公式，求得COS￡=L,進而求解，即可得到答案.

2

【詳解】由題意，因為。(a+6)=5,所以42+4乃=5，

又因為|a|=2,|/1=1,所以/%=1，

設向量a和b的夾角為凡所以85夕=印司=有=5，夕6[0,乃],

71

所以6=—,故選C.

3

【點睛】本題主要考查了平面對量的數(shù)量積的運算，及向量的夾角公式的應用，其中解答中

熟記平面對量的數(shù)量積和向量的夾角公式，精確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解

實力，屬于基礎題.

7.已知｛?｝是等差數(shù)列，也｝是正項等比數(shù)列，且

bx=1,Z>3=b2+2,Z>4=a3+a5,b5=a4+2a6,則。2018+4=()

A.2026B.2027C.2274D.2530

【答案】C

【解析】

【分析】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,正項等比數(shù)列｛〃｝的公比為q(q>0),利用等差數(shù)列和等比數(shù)

列的通項公式，求得的值，即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,正項等比數(shù)列｛〃｝的公比為q(q>0),

因為4=1也二62+2也=%+。5,&=。4+2a6,

4

所以=q+2,q3=2%+6d,q=3a}+13d,

解得q=2,q=d-1,

貝14()18+%=1+2017+28=2274,故選C.

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質的應用，其中解答中熟記

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，合理精確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算實力,

屬于基礎題.

8.將函數(shù)/(x)=sin2x+7的圖象向右平移(個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則

JI37r

g(x)在一石，-不上的最大值為()

OO

A.-B.—C.3D.1

222

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)平移關系求出g(x)得解析式，然后求出角的等價范圍，結合三角函數(shù)的最值性質，進行

求解，即可得到答案.

【詳解】將函數(shù)/(x)=sin(2x+?)的圖象向右平移？個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖

象，

貝Ug(x)=sin[2(x-y)+—]=sm(2x--),

「713萬]”…八5〃r2〃71、

因為工￡一豆，-^-，所以2%-二--—,

_ooJ1233

所以當2x—1|=g時，即》=:時，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為5足(=咚，

故選C.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質

的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質，合理運算是解

答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

9.在正方體ABC。-A4GA，中，點。是正方形ABC。的中心，關于直線4。下列說法

正確的（）

A.AO//DCB.4。//平面片CD]

C.AjO1BCD.A0_L平面AB]'

【答案】B

【解析】

【分析】

在正方體中，推導出A。/用COD//31D,從而平面4。。//平面與C。，由此能得到

4。//平面31c得到結論.

【詳解】由題意，在正方體ABC?！狝4G。中，點。是四邊形ABC。的中心，

所以4。//耳C,/RD、,

因為AiDcDO-D,B[D[cB]C=,

所以平面4。。//平面3cA,

因為AOu平面a。。，所以a。//平面片CQ,故選B.

AC.

【點睛】本題主要考查了線面位置關系的判定與證明，其中解答中明確幾何體的結構特征，

熟記線面位置關系的判定定理與性質定理是解答的關鍵，著重考查了推理與論證實力，屬于

基礎題.

I7171\

10.若函數(shù)/（x）="（cosx—。）在區(qū)間1萬,萬）上單調遞減，則實數(shù)4的取值范圍是（）

A.（-V2,+oo）B.C.D.

[A/2,+co）

【答案】D

【解析】

【分析】

求得/'（x）=e*（cosx-sinx-a）,把函數(shù)的單調性，轉化為cosx-sinx-aWO在區(qū)間

xe（一手自上恒成立，即4"05工-5也工,工€（-春，9恒成立，利用三角函數(shù)的性質，即

可求解，得到答案.

【詳解】由題意，/,（x）=e'（cosx-sinx-a）,

若/（九）在區(qū)間K）上單調遞減，則cosx—sinx—aWO在區(qū)間（一,鄉(xiāng)上恒成立，

即a2cosx-sinx,xe（―-,三）恒成立,

22

令丸（x）=cosx-sinx=0sin（?-x）,xe（-^，^）,

則々TT—xe（—74T,二i7T），故sin（T2C—x）的最大值為1,此時T4T—x=T2T,即工=一7T上，

4444424

所以秋光）的最大值為0,所以a20，故選D.

【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調及其應用，以及三角函數(shù)的圖象與性質的

JTTT

應用，其中解答中轉化為轉化為“285%-5也%,％6（-萬,萬）恒成立，再利用三角函數(shù)的圖

象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算實力，屬于中檔試題.

11.在三棱錐P—ABC中，平面ABC,S?c=2,NABC=30。，則三棱錐p—ABC

的外接球體積的最小值為（）

47r32%

A.4/B.---C.64兀

3

【答案】D

【解析】

【分析】

4

設AC=x,由AAPC的面積為2,得PA=—,進而得到A46C外接圓的半徑廠二%和。到

x

平面ABC的距離為〃=▲?1%=2,在利用球的性質，得到球的半徑，即可求解.

2x

4

【詳解】如圖所示，設AC=x,由AAPC的面積為2,得PA=—,

X

因為NABC=30°，AABC外接圓的半徑r=x,

4

因為24,平面A5C,且PA=—,

x

所以。到平面ABC的距離為d=-PA=-,

2%

設球。的半徑為R,則氏=/7了7=，^+=2反2=2,

當且僅當％=拒時等號成立，

所以三棱錐尸-ABC的外接球的體積的最小值為一乃x23=二，故選D.

33

【點睛】本題主要考查了有關球與棱錐的組合體問題，以及球的性質的應用和球的體積公式,

其中解答中正確相識組合體的結構特征，合理應用球的性質求解是解答的關鍵，著重考查了

數(shù)形結合思想，以及推理與運算實力，屬于中檔試題.

12.已知函數(shù)f(x)是定義在(一，0)U(0,)上的偶函數(shù)，當x0時，

2K,0<X<2

/(X)=1I，則函數(shù)g(x)=2"x)-l的零點個數(shù)為

f(x-2'),x>2

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

作出函數(shù)/(%)的圖象，依據(jù)“X)與y的交點個數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，令g(%)=0可得〃x)=；,

作出函數(shù)/(%)在(O,y)上的函數(shù)圖象，如圖所示，

由圖象可知/(x)=g在(0,+8)上有2解，

又由函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，所以/(力=；在(一雙0)上也有2解，

所以/(x)=g共有4個解，故選C.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關系的應用，以及函數(shù)奇偶性的應用，其

中解答中把函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，合理作出函數(shù)的圖象是解答的關

鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于中檔試題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.

13.已知函數(shù)/(%)=(法一1)6*+。(。/€尺).若曲線丁=/(%)在點(0,〃0))處的切線方

程為y=x,則a+/?=.

【答案】3

【解析】

【分析】

求出導數(shù)，利用曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為丁=%，建立方程，求得。力的

值，進而得到所求和，得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)〃x)=3%T)e*+a,得/'(x)=e*?(Zzx+b—l),

曲線y=/(力在點(0，/(0))處的切線方程為丁=%,即/'(o)=1,/(o)=o,

即人一1=1,-1+。=0,解得a=l力=2,所以a+/?=3.

【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義，合理計

算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

14.有一種工藝品是由正三棱柱挖去一個圓錐所成，已知正三棱柱ABCABG的全部棱長都

是2,圓錐的頂點為ABC的中心，底面為AB3的內切圓，則該工藝品的體積為

【答案】2^/3——

【解析】

【分析】

先正三棱柱ABC-4與￡底面的高為h=J口=73，進而求得底面為內

切圓的半徑為r=走，利用幾何體的體積公式，即可求解.

3

【詳解】由題意，可知正三棱柱ABC-A31cl的全部棱長都是2,

所以的局i為h=刊4-1=A/3，

設底面為AAAG內切圓的半徑為小貝八百―-)2=r+1,解得r=1,

3

1

所以該工藝品的體積為V=匕3CG—V=S枷cX朋—]?,9X明

=1X2X73X2-1X^-X(^)2X2=2^-^.

【點睛】本題主要考查了組合體的體積的計算，其中解答中依據(jù)空間幾何體的線面位置關系，

求解底面正三角形的內切圓的半徑，利用體積公式精確計算是解答的關鍵，著重考查了空間

想象實力，以及推理與計算實力，屬于基礎題.

15.已知數(shù)列｛4｝的前n項和為Sn，已知％=1,g=2,且an+2=3s“一S?+1+3(〃eN*),

貝0Si。=.

【答案】363

【解析】

【分析】

利用數(shù)列的通項與數(shù)列的和的關系，得S“+2—=3Sn-Sn+l+3,整理得S“+2=3S“+3,

進而通過遞推關系，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，已知％=1,出=2,且a,+2=3S“—S〃+i+3,

所以\+2-S?+1=3sli-S?+1+3,整理得S“+2=3S〃+3,

當九=2時，S4=3S2+3=9+3=12；

當〃=4時，$6=3S4+3=36+3=39；

當〃=6時，1=356+3=117+3=120；

當〃=8時，S］。=3S8+3=360+3=363.

故答案為363.

【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應用，其中解答中嫻熟應用數(shù)列的通項和數(shù)列的

前n項和之間的關系，合理利用遞推公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算實力與轉化實

力，屬于中檔試題.

22

16.設雙曲線1■-七=1的左右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過耳的直線1交雙曲線左支于A,B兩點,

則|純J+|B用的最小值等于_.

【答案】16

【解析】

試題分析：

|AF,|+1BK|=2a+\AFX\+2a+\BFX|=4a+1AB|>4a+—=4x3+^^=16

一一a3

考點：雙曲線定義

【思路點睛】（1）對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深化理解細微環(huán)節(jié)部分：比如橢圓的

定義中要求|PFJ+|PF2|>|FE|,雙曲線的定義中要求I|PFi|一|p&||<|FiFz|,拋物線上的

點到焦點的距離與準線的距離相等的轉化.(2)留意數(shù)形結合，畫出合理草圖.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.在ABC中，角A,B,C對邊分別為a/,c,JOsinA=a-(2—cosB).

(1)求角B的大??；

(2)D為邊AB上一點，且滿意CD=2,AC=4,銳角三角形4ACD的面積為A，求BC的

長。

【答案】(1)1;(2)非.

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理化簡得/sin8=2—cos3,得到sin(3+￡)=l,進而求得8=生.

63

(2)利用三角的面積公式，化簡求得sin/ACD=邊5,進而得cosNACD=工，再由余弦

44

定理求得AD=4,再根在AACD和在AABC中，利用正弦定理，可求解.

【詳解】(1)由正弦定理得百sinBsinA=sinA(2—cosB),

因為Aw(0,?),則sinA>0,所以J^sinB=2—cosB,

ITTT

所以2sin(3+—)=2,所以sin(B+—)=1,

66

TTTTTT

因為5e(0,%),所以8+—=—,解得8=—.

623

(2)由題意，可得S0CD=3?。。-65也4。。=1-2><45也/40)=厲，

解得sin/ACD=巫，

4

又因為AACD為銳角三角形，所以cosNAO)=Jl—sii?NAC以=L

4

又由余弦定理得A￡>2=042+052—2C4-CDCOSZACD=22+42—2X2X4XL=I6,所

4

以AD=4,

mATJm/is

在AACD中，由正弦定理得一二二.二方,則sinAuf-sinNACDuY^，

sinAsinZACDAD8

在AA5C中，由正弦定理得/巳=」Q，則§C=A°sinA=6

sinAsinBsinB

BC

【點睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角

形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，

利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、

余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，常常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結

合正、余弦定理解題.

18.如圖所示，四棱錐尸—A5CD中，B41.菱形A3CD所在的平面，ZABC=6Q°,E是BC

中點，M是PD的中點.

（1）求證：平面平面PAD；

（2）若歹是PC上的中點，且A3=AP=2,求三棱錐P—AMR的體積.

【答案】（1）見解析;⑵器.

【解析】

【分析】

(1)證明：連接AC,因為底面A6CD為菱形，得到證得所以AELAD，再

利用線面垂直的判定定理得平面上40,再利用面面垂直的判定，即可證得平面

AEA/上平面R4D.

(2)利用等積法，即可求解三棱錐P-AMR的體積.

【詳解】(1)證明：連接AC,

因為底面ABCD為菱形，NABC=60°，所以AA5C是正三角形，

因為E是8C中點，所以又ADUBC,所以AELA。，

因為平面ABC。，AEu平面ABCD,所以K4LAE，

又B4cAD=A,所以平面RID

又AEu平面AE2W,所以平面AEML平面上4D.

(2)因為AB=AP=2,則A￡>=2,AE=石，

所以Vp_AMF=VM-PAF=^D-PAF=~^VF-PAD=X~^VC-PAD

=-V=-x-xSxPA=—x-xADxAExPA=—x2xV3x2=—.

4pAcrn43A4rn122246

【點睛】本題主要考查了空間中位置關系的判定與證明及幾何體的體積的計算，其中解答中

熟記線面位置關系的判定定理與性質定理是解答的關鍵，同時對于空間幾何體體積問題的常

見類型及解題策略：①若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可干

脆利用公式進行求解.②若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉換法、

分割法、補形法等方法進行求解.

19.我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區(qū)面積廣袤，發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨厚的

優(yōu)勢，所產的“南澳牡蠣”是中國國家地理標記產品，產量高、肉質肥、養(yǎng)分好，素有“海

洋牛奶精品”的美譽.2024年某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地考慮增加人工投入，依據(jù)該基地的養(yǎng)殖規(guī)

模與以往的養(yǎng)殖狀況，現(xiàn)有人工投入增量x(人)與年收益增量y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量X(A)234681013

年收益增量y1萬元)13223142505658

該基地為了預料人工投入增量為16人時年收益增量，建立了y與x的兩個回來模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回來方程：勺=4.5+11.8；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線：y=+a的旁邊，對人工

投入增量x做變換，令/=?,則y=+且有

77

T=2.5,歹=38.9,—ij(y—y)=81.0,=3.8.

i=\z=l

(1)依據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關于x的回來方程(精確到0.1)；

(2)分別利用這兩個回來模型，預料人工投入增量為16人時的年收益增量；

(3)依據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關指數(shù)并說明(2)中哪個模型得到的預

測值精度更高、更牢靠？

回來模型模型①模型②

回來方程y=4.1x+11.8y=by/x+a

7

182.479.2

Z=1

,￡化--T）（％-刃一

附：樣本&，v)0=1,2,的最小二乘估計公式為:b=-------------,a=y-bT,

之（—）2

i=l

￡(2)2

另，刻畫回來效果的相關指數(shù)R2=l-V------------

E^-y)2

i=l

【答案】(1)y=21.3^-14.4；(2)77.4(萬元)；70.8(萬元)；(3)模型②比模型

①精確度更好、更牢靠.

【解析】

【分析】

(1)利用公式，分別求得B土21.3和14.4,即可得到回來直線的方程;

(2)當x=16時，分別代入模型①和模型②中，計算出年收益的預料值，即可得到答案;

182.479.2

（3）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2,即E（x-y）2,依據(jù)A2的公式即

i=l

可得到相應的結論.

77

【詳解】(1)由題意知：T)(y—歹)=81.0,￡&—T)2=3.8

z=li=l

n

Z&—?。▉V一了）81n

可得g=q-----------------=—?21.3

—、23.8

/=1

又亍=2.5,5=38.9,所以3=9一石亍=38.9—21.3x2.5土一14.4,

所以，模型②中y關于x的回來直線方程為y=21.3^-14.4.

(2)當x=16時，模型①年收益增量預料值為夕=4.1x16+11.8=77.4萬元，

模型②中年收益的預料值為：y=21.3x716-14.4=21.3x4-14.4=70.8萬元.

182.479.2

（3）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2,即￡日_歹）2￡（>_-）2，

z=li=l

由發(fā)的公式可知，模型①的笈小于模型②，說明回來模型②可化的擬合效果更好，在（2）

中，用模型②預料當人工增量x=16時，年收益增量為70.8萬元，這個預報值比模型①預報

的77.4萬元精度更高，更牢靠.

【點睛】本題主要考查了回來直線方程的求解，以及回來分析的應用問題，其中解答中依據(jù)

公式精確計算相應的回來直線的方程是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的

實力，以及運算與求解實力，屬于基礎題.

20.已知拋物線C的標準方程為必=2px（p>0）,M為拋物線C上一動點，4。，。）（aw0）

為其對稱軸上一點，直線八必與拋物線C的另一個交點為N.當A為拋物線C的焦點且直線

肱1與其對稱軸垂直時，AMQV的面積為18.

（1）求拋物線C的標準方程；

11

（2）記》=不3+?7-，若"直與”點位置無關，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”，試求

出全部“穩(wěn)定點”，若沒有，請說明理由.

【答案】（1）拋物線C的標準方程為V=i2x；（2）。=3時，f與機無關.

【解析】

試題分析：（1）由已知MN為通徑，因此A/N=2p,由SA°MN=18可求得尸=6；（2）定點

問題處理，設設直線MN的方程為1=陽+。，代入拋物線方程，

由韋達定理得%+，計算

F=\AM\+I4A/I=A21~I+L2\~I=/12.用^，按a>°和a<°分類

1^1\AN\，1+“血J1+"廣岡Vl+m2

后探討可得。取特定值時t與機無關，即4為穩(wěn)定點.

112

試題解析：（1）由題意，S^MON———.\p=6,

拋物線C的標準方程為/=12X

(2)設朋■(%，x),N(%2，y2)，

x=my+an

設直線MN的方程為1=沖+。，聯(lián)立｛2得丁―12my—12a=0,

y=12x''

A=144/w2+48。＞0，%+%=12瓶,%%=-12a,

由對稱性，不妨設機＞0,

①。＜0時，：乂%=-12。＞0,%,為同號，

11_11

又"雨+麗=抗+/聞++版昆|'

.2,1(%+7)[1144療=11__

-1+機2(%M)2-1+加2144。2-l+m2J

不論。取何值，f均與加有關，即。＜0,A不是“穩(wěn)定點”；

②a＞0時，：%%=-12。＜0,%,必異號.

11_11

又1=麗+初=狀+功］R+&+加］%|

22(1—J

(Xfj1=1_144療+48a_1]+匕1

122222

1+m(%%)21+加2(M%)21+m144aa1+m

I7

僅當—1=0,即a=3時，t與加無關，穩(wěn)定點為A(3,0)

3

考點：拋物線標準方程，直線與拋物線的位置關系.

【名師點睛】在解析幾何中，求直線上兩點間距離，可利用直線的斜率簡化距離公式：

P?,%),，%)是直線＞=區(qū)+機上的兩點，則

=—

\PQ\Jl+k。|X[X2|=|J7J_丁2I,而|不_々I=d(X]+%2)2-4%]%2，只要利用韋達

定理就可得.

x

21.已知=+ae-In%.

(1)設x=1■是/(x)的極值點，求實數(shù)。的值，并求/(%)的單調區(qū)間：

(2)a〉0時，求證：/(x)>1.

【答案】(l)a=半單調遞增區(qū)間為1g,+s],單調遞減區(qū)間為[0,；]；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意，求得函數(shù)的導數(shù)/''⑺7+“，——，由x=5是函數(shù)/(%)的極值點，解得

X乙

a=處,又由廣(g]=0,進而得到函數(shù)的單調區(qū)間；

⑵由(1),進而得到函數(shù)/⑺的單調性和最小值/(x)mm=/-/T叫，

4^(%)=-x2+--x-ln%,(0<x<l),利用導數(shù)求得g(x)在(0,1)上的單調性,即可作出

/X

證明.

【詳解】(1)由題意，函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),

又由/'(x)=x+ae*—L且x是函數(shù)/(%)極值點，

所以/'[=]=1+四5—2=0,解得。=地，

22e

又a>0時，在(0,轉)上，/'(x)是增函數(shù)，且=

所以/'(x)>0,得x〉g,/'(x)<0,得0<x<g,

所以函數(shù)/(%)的單調遞增區(qū)間為，,+[,單調遞減區(qū)間為

(2)由(1)知因為a>0,在(0,+co)上,/'(x)=x+ae*—l是增函數(shù)，

X

又/'⑴=l+ae—1>0(且當自變量》漸漸趨向于0時，/'(%)趨向于f),

所以，3xoe(O,l),使得/'(i)=0,

"1C電1

所以+aeo---=°,即ae。=----x0,

%%

在xe(O,%o)上,fr(x)<0,函數(shù)八%)是減函數(shù)，

在左?面,長0)上,/,(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)，

所以，當X=X0時，/(九)取得微小值，也是最小值，

所以“x)min=/(%)=—ln%0+'-%—1叫,(0</<1),

/ZXo

令g(%)二一/H---x-lnx,(0<x<l),

2x

則g'(x)—Xf-1-(X-1)---，

當XG(O,1)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減，所以g(x)〉g(l)=g,

即/(x)2/(x)1mn>；成立，

【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化

歸思想、分類探討、及邏輯推理實力與計算實力，對于此類問題，通常要構造新函數(shù)，利用

導數(shù)探討函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的最值，從而得到證明；有時也可分別變量，構造新函數(shù),

干脆把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所作的第

一題計分.

%=2COS6Z

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為《..(戊為參數(shù)，?>0).以坐

y=a+2sma

標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為

/7sin0--=272.

4

(1)設P是曲線C上的一個動點，若點P到直線/的距離的最大值為20+2,求。的值;

(2)若曲線C上隨意一點(尤,y)都滿意丁2國+2,求。的取值范圍.

【答案】(1)8；(2)[2