2025年高考數(shù)學大題復(fù)習：立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的問題（原卷）

專題09立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的

問題

1.如圖，在多面體力BC—DEFG中，平面A8C||平面DEFG,底面A8C是等腰直角三角形，AB=BC=五,

側(cè)面ACGD是正方形，平面ABC,且F8||GC,GE1DE.

B

(1)證明：AE1GE.

(2)若。是DG的中點，OE||平面8CGF,求直線OE與平面BDG所成角的正弦值.

2.如圖，在三棱柱ABC—&B?中，AB=BC,ABX=BXC.

(1)證明：AC1BB

(2)若AB=BBi=2,ABt=V6,AABC=120°,點￡為力的中點，求三棱錐C-BBiE的體積.

3.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉席.陽馬居二，鱉席居一,不易

之率也.合兩鱉II三而一，驗之以茶，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)席者，背節(jié)也，或日半陽馬，其形有似鱉肘,

(1)若48=1,BC=2,CD=1,試求異面直線/C與AD所成角的余弦值.

(2)若BDJ.CD,AB=BD=CD=2,點尸在棱/C上運動.試求△PBD面積的最小值.

4.如圖，在四棱錐P—HBCD中，四邊形4BCD是正方形，PD=4D=1,PD_L平面4BCD,點E是棱PC的

中點，點F是棱PB上的一點，且EFJ.PB.

(1)求證：P4//平面EDB；

(2)求點F到平面EDB的距離.

5.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，乙4。。=90。，4B=1,4。=2,四邊形48EF為正

方形，平面ABEF1平面力BCD,P為DF的中點，AN1CF,垂足為N.

⑴求證：ANl￥ffiC￡>F；

(2)求異面直線B尸與PC所成角的正切值;

(3)求三棱錐B-CEF的體積.

6.如圖，在四棱錐P—4BCD中，PD=PB,底面A8CD是邊長為2的菱形.

(1)證明：平面PAC_L平面力BCD；

⑵若PD1AB,PA1PC,且/BAD=p求四棱錐P-ABCD的體積

7.如圖，在三棱柱4BC—4181的中，側(cè)面BBiCiC為菱形，NCBB1=60。,AB=8C=2,4C=AB】=VI

(1)證明:平面ACBi1平面BBiCiC；

(2)求二面角力-①的一名的余弦值.

8.如圖，在直三棱柱ABC—4181cl中，AC1BC,且AC=BC,4B==4,E為7Ml的中點，F(xiàn)為線段8停

上一點，設(shè)CF=4CBi.

⑴當4=決寸，求證：EF||平面4BC.

(2)當三棱錐Ci-ABF的體積為即寸，求4的值.

9.如圖，四棱柱436-4/1的。1的側(cè)棱A4J底面N3CD,四邊形/BCD為菱形，E,尸分別為C。，441

的中點.

(1)證明:四點共面；

(2)若48=AAi=2,乙DAB=泉求點A到平面8￡7內(nèi)F的距離.

10.如圖所示，已知三棱臺力—中，AB11BBX,CB11BBX,Z.ABBX=^CBB1=60°,AB1BC,

BB1=1.

(1)求二面角力-B1B-C的余弦值;

(2)設(shè)E,F分別是棱力C,4Ci的中點，若EF1平面ABC,求棱臺力BC—公/的的體積.

參考公式：臺體的體積公式為0臺體=1(S上+卜上S下+S下)兒

11.如圖，在四棱錐P—4BMN中，△PNM是邊長為2b的正三角形，AN1NP,AN//BM,AN=3V3,BM=

V3,AB=2V6,C,D分別是線段ZB,NP的中點.

A

(1)求證：CD〃平面PBM；

(2)求四棱錐P-力BMN的體積.

12.如圖所示，在直四棱柱力BCD-力i/CiDi中，ABIICD,ABLAD,且48=力。=1,CD=2,M是。小的

中點.

(1)證明：BCIBiM；

(2)若1CM,求四棱柱力BCD-48傳道1的體積.

13.在四棱錐P—4BCD中，△BCD為等邊三角形，^DAB=120°,AD=AB=PD=PB=2,點￡為PC

的中點.

p

(1)證明：8￡7/平面PAD；

⑵已知平面PBDL平面4BCD,求三棱錐P-4BE的體積.

14.如圖，平面多邊形2BCDE,EA=ED=AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,/.BAD=p將△ADE沿

著AD翻折得到四棱錐P-A8CD,使得PB=粕,F、G分別是P8、CD的中點.

(1)證明：FG〃平面PAD；

⑵求點G到平面P4B的距離.

15.如圖，矩形力BCD所在的平面與平面4BE垂直，且4E_L8E.已知力B=24。=2BE=2.

⑴求證：BE1DE；

(2)求四棱錐E-ABC。的表面積.

16.已知四棱錐P—HBCD的底面是正方形，ACCBD=O,PA=PD=衣,P0=用,力。=2,E是棱PC上任

(1)求證：平面BDE1平面P4C；

(2)若PE=2EC,求點力到平面BDE的距離.

17.在三棱錐。—ABC中，AB=8C=OB=2,N4BC=120°,平面BC。1平面SBC,S.OB1AB.

(1)證明：OB_LAC；

(2)若F是直線OC上的一個動點，求直線4F與平面力BC所成的角的正切值最大值.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面P481平面48CD,底面力BCD為菱形，△PAB為等邊三角形，且PA=2,

PCLCD,。為力B的中點.

(1)若E為線段PC上動點，證明：AB10E-,

(2)求點B與平面PCD的距離.

19.如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形力BCD與4BEF均為直角梯形，AD//BC,AF//BE,ZM1平面力BEF,

AB1AF,力。=力B=2BC=2BE=2,G在4尸上，且4G=1.

(1)求證：8G〃平面DCE；

⑵若BF與CE所成的角為60°,求多面體4BC0EF的體積.

20.如圖1,E、F,G分別是邊長為4的正方形的三邊AB、CD、AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三

角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形2BCFG沿著線段EF折起，連接48、CG就得到了一個空間五面體，如圖2.

圖1圖2

(1)若。是四邊形EBCF對角線的交點，求證：4。//平面GCF；

(2)若乙4EB=g,求三棱錐力一BEF的體積.

21.如圖，在梯形4BCD中，AB||CD,ADDCCB=1,/.ABC=60°,四邊形ACFE為矩形，平面ACFE1

⑴求證：BC1平面2CFE；

(2)求二面角4-BF-C的平面角的余弦值；

(3)若點M在線段EF上運動，設(shè)平面M4B與平面FCB所成二面角的平面角為9(。W90。)，試求cos。的范圍.

22.直四棱柱48CD-4%的。1，AB||DC,ABVAD,AB=2,AD=3,DC=4

⑴求證：面OCCiD；

(2)若四棱柱體積為36,求二面角a-BD-4的大小.

23.如圖；在直三棱柱ABC—4B1C1中，AC=3,BCAAr=4,48=5,點。為的中點.

(1)求證AC1BC1；

(2)求三棱錐&-CD%的體積.

24.如圖,在正四棱臺4BCD-48也1。1中，AB=2A1B1,AAt=V3,M,N為棱當?shù)?，的?nèi)的中點，棱力B

上存在一點￡使得&E〃平面BMND.

⑴求條

⑵當正四棱臺2BCD-&BiCiDi的體積最大時，證明：CiCl平面BMND.

25.已知圓錐的頂點為S,底面圓心為。，半徑為2,母線S4S3的長為2&，N40B=90。且M為線段

的中點.

A

(1)證明：平面SOM1平面MB；

(2)求直線SM與平面SOA所成角的大小.

26.如圖，在三棱錐P-4BC中，PA=PB=瓜PA1PB,AB1BC,NB4C=30。，平面PAB1平面2BC.

⑴求證：PA1BC；

(2)求PC的長度；

(3)求二面角P-AC-B的大小.

27.在圖1中，△ABC為等腰直角三角形，Z.B=90°,AB=2a,△4CD為等邊三角形，。為/C邊的中點,

E在邊上，S.EC=2BE,沿/C將△4CD進行折疊，使點。運動到點廠的位置，如圖2,連接R9,FB,

FE,OE,使得F8=4.

圖1圖2

⑴證明：尸。1平面/8C；

⑵求點4到平面OEF的距離.

28.如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形力BCD是正方形，AEL^\^ABCD,AE//CF,ABAE2CF=2m.

⑴若G為力E的中點，求證：CG〃平面DEF；

⑵若多面體ABCDEF的體積為32,求小的值.

29.如圖，△ADM是等腰直角三角形，AD1DM,四邊形2BCM是直角梯形，AB1BC,MC1BC,且=

2BC=2CM=2,平面力DM1平面力BCM.

(1)求證：AD1BM；

(2)若點E是線段DB上的一動點，問點￡在何位置時，三棱錐M-力DE的體積為黑?

18

30.如圖，在幾何體4BCDEF中，矩形BDEF所在平面與平面4BCD互相垂直，且力B=BC=BF=1,AD=

CD=百，EF=2.

E

(1)求證：BCJL平面CDE；

(2)求二面角E-AC-。的平面角的余弦值.

31.如圖1所示，在長方形4BCD中，AB=2AD=2,M是DC的中點，將AADM沿4M折起，使得力D1BM,

如圖2所示，在圖2中.

圖1圖2

(1)求證：8Ml平面ADM；

(2)求點C到平面BMD的距離.

32.如圖，四邊形/BCD為菱形，EDL^\^ABCD,FB||ED,BD=ED=2FB.

(1)求證：平面BDEF1平面N"；

(2)記三棱錐力-EFC的體積為匕，三棱錐A-BFC的體積為展，求空的值.

丫2

33.在直角梯形2BCD中(如圖一)，AB//DC,AD1DC,AD=DC=^AB=2.將△ADC沿AC折起，使力。1DB

(如圖二).

(2)設(shè)E為線段4B的中點，求點E到直線CD的距離.

34.如圖，直角梯形4BCD中，AD//BC,NBAD=90。，AB=AD=五,BC=2五,將△4BD沿8。翻折至

△a'BD的位置,使得4B1A'C.

(2)若F,H分別為BC,A'C的中點，求三棱錐力'一DFH的體積.

35.已知四棱錐P-A8CD中，底面48CD為平行四邊形，AB1AP,平面PCD_L平面48CD,PD=4D.

p

AL----七

(1)若H為力P的中點，證明：力平面HCD；

(2)若AB=1,AD=炳,PA=2V2,求平面P4B與平面PCD所夾角的余弦值.

36.在圖1中，ZkaBC為等腰直角三角形，乙5=90。，AB=2四,AaCD為等邊三角形，。為/C邊的中點,

E在邊上，且EC=2BE,沿/C將△力CD進行折疊，使點。運動到點廠的位置，如