教研教培課件：《深度學(xué)習(xí)背景下數(shù)學(xué)原理教學(xué)的課堂實(shí)踐》

深度學(xué)習(xí)背景下數(shù)學(xué)原理教學(xué)的課堂實(shí)踐

數(shù)學(xué)教育本來(lái)是要普渡眾生的，現(xiàn)在卻變成了苦海無(wú)涯?！?xiàng)武義（2008.11.28)廣東省教育科研十三五規(guī)劃課題《基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理教學(xué)的實(shí)踐研究》課題編號(hào)：2019YQJK327CONTENTS目錄一、什么是數(shù)學(xué)原理？三、深度學(xué)習(xí)背景下原理教學(xué)的課堂踐行二、初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)情況的調(diào)查分析什么是數(shù)學(xué)原理？一1.1什么是數(shù)學(xué)原理？

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)于加涅的“規(guī)則”和“高級(jí)規(guī)則”的學(xué)習(xí)，或?qū)?yīng)于奧蘇貝爾的“命題學(xué)習(xí)”。

我們把數(shù)學(xué)中的公理、定理，公式、法則，數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)等的學(xué)習(xí)統(tǒng)稱為命題學(xué)習(xí)，命題學(xué)習(xí)也可以稱為規(guī)則學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)原理：數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、法則、性質(zhì)的統(tǒng)稱。(1916-2002)加涅，美國(guó)認(rèn)知教育心理學(xué)家，信息加工學(xué)習(xí)理論的代表人物。

人類的學(xué)習(xí)是復(fù)雜多樣的，是有層次性的，總是由簡(jiǎn)單的低級(jí)學(xué)習(xí)向復(fù)雜的高級(jí)學(xué)習(xí)發(fā)展，構(gòu)成了一個(gè)依次遞進(jìn)的層次與水平。聯(lián)結(jié)與連鎖學(xué)習(xí)辨別學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)規(guī)則學(xué)習(xí)高級(jí)規(guī)則學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)層次

奧蘇貝爾，美國(guó)教育心理學(xué)家。認(rèn)知主義的代表人物，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。

有意義言語(yǔ)學(xué)習(xí)理論不僅用認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化論的觀點(diǎn)解釋知識(shí)的獲得、保持和遺忘，而且用認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來(lái)解釋知識(shí)學(xué)習(xí)的遷移。(1918-2008)表征學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)命題學(xué)習(xí)有意義學(xué)習(xí)類型上位學(xué)習(xí)（從特殊到一般）組合學(xué)習(xí)（類比）下位學(xué)習(xí)（從一般到特殊）概念形成概念同化1.2什么是知識(shí)？知識(shí)——人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐中所獲得的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的總和。從字的起源上講，就是指那些所有已經(jīng)知道的能夠表達(dá)出來(lái)的、可以識(shí)別的、標(biāo)記的東西。

知識(shí)是一種結(jié)果，可能是思維的結(jié)果，也可能是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果。以知識(shí)為本的教育，在本質(zhì)上是一種結(jié)果的教育。這樣的教育缺少什么呢？我認(rèn)為是缺少智慧。智慧表現(xiàn)在過(guò)程中?！穼幹?.3知識(shí)的分類

只有借助于隱性知識(shí)的力量，人類所有的顯性知識(shí)才得以發(fā)生和發(fā)展，人類的知識(shí)創(chuàng)新才有根基，隱性知識(shí)深深地鑲嵌于人類的實(shí)踐活動(dòng)之中，只有通過(guò)在行動(dòng)中的體驗(yàn)，才能達(dá)到學(xué)會(huì)和提高的目的。（顧泠沅）啟示1.3知識(shí)的分類類別定義子類別事實(shí)性知識(shí)學(xué)生熟悉法則，解決問(wèn)題必須知道的基本元素1、術(shù)語(yǔ)的知識(shí)2、具體細(xì)節(jié)和要素的知識(shí)概念性知識(shí)在基本元素共同作用的機(jī)構(gòu)中，元素之間的相互關(guān)系1、類別與分類的知識(shí)2、原理和通則的知識(shí)3、理論、模式和結(jié)構(gòu)的知識(shí)程序性知識(shí)（如何做）如何使用技能、法則、技巧和方法的準(zhǔn)則1、具體學(xué)科技能和法則的知識(shí)2、具體學(xué)科技術(shù)和方法的知識(shí)3、確定何時(shí)運(yùn)用適當(dāng)程序的準(zhǔn)則知識(shí)元認(rèn)知知識(shí)（一般認(rèn)知和自我認(rèn)知）關(guān)于認(rèn)知的知識(shí)，自我認(rèn)知的意識(shí)和知識(shí)1、策略性知識(shí)2、關(guān)于認(rèn)知任務(wù)的知識(shí)，包括情境性和條件性知識(shí)3、關(guān)于自我的知識(shí)是什么1.4數(shù)學(xué)知識(shí)的分類類別子類別例子事實(shí)性知識(shí)1、數(shù)學(xué)概念三角形、實(shí)數(shù)、多項(xiàng)式、不等號(hào)2、具體細(xì)節(jié)和要素的知識(shí)三角形的邊、三角形的三線、多項(xiàng)式的次數(shù)概念性知識(shí)1、類別與分類的知識(shí)實(shí)數(shù)的分類、四邊形的分類2、原理和通則的知識(shí)圖形性質(zhì)、勾股定理、等式性質(zhì)3、理論、模式和結(jié)構(gòu)的知識(shí)乘法公式、初中的數(shù)與式的結(jié)構(gòu)等程序性知識(shí)（如何做）1、具體學(xué)科技能和法則的知識(shí)各種運(yùn)算法則、因式分解、解不等式、方程組2、具體學(xué)科技術(shù)和方法的知識(shí)實(shí)際問(wèn)題的審題選擇模型的知識(shí)，各種方案選擇，數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法、3、確定何時(shí)運(yùn)用適當(dāng)程序的準(zhǔn)則知識(shí)確定圓的切線的證明方法、確定解一元二次方程的方法、確定畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法、確定用什么語(yǔ)言符合準(zhǔn)確表達(dá)、確定用什么方式檢驗(yàn)答案等。元認(rèn)知知識(shí)（一般認(rèn)知與自我認(rèn)知）1、策略性知識(shí)做學(xué)習(xí)筆記、做錯(cuò)題本輔助學(xué)習(xí)，用聯(lián)想的方式編碼記憶，知道需要檢查答案，知道繪制概念圖或結(jié)構(gòu)框架圖。2、關(guān)于認(rèn)知任務(wù)的知識(shí)，包括情境性和條件性知識(shí)知道自己最擅長(zhǎng)哪類數(shù)學(xué)題，知道自己要怎樣學(xué)習(xí)會(huì)更適合等3、關(guān)于自我的知識(shí)知道評(píng)價(jià)自己的知識(shí)水平，知道自己對(duì)學(xué)科的興趣和態(tài)度，知道自己是擅長(zhǎng)于推理還是運(yùn)算等1.4數(shù)學(xué)知識(shí)的分類1.數(shù)學(xué)概念；2.數(shù)學(xué)原理（公理、定理、法則、公式、性質(zhì)）3.數(shù)學(xué)思想方法（內(nèi)容反映的）4.運(yùn)算、推理、作圖、制作處理數(shù)據(jù)的技能硬件和軟件構(gòu)成為一個(gè)有機(jī)的整體，相互協(xié)調(diào)，數(shù)學(xué)知識(shí)才能有效地運(yùn)用。1.5數(shù)學(xué)原理是揭示概念之間關(guān)系的判斷袁智賢

林崇德

《思維發(fā)展心理學(xué)》——概念、判斷和推理，共同組成思維形式的整體，它們既是思維的理性材料，又是思維的結(jié)果。理性的材料，主要是指概念，概念是思維的細(xì)胞，是思維的主要形式。判斷是邏輯思維在概念基礎(chǔ)上的發(fā)展，它表現(xiàn)為對(duì)概念的性質(zhì)或關(guān)系有所肯定或否定，是認(rèn)識(shí)概念間聯(lián)系的思維形式。推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)新的判斷的思維形式，是對(duì)判斷之間邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)原理揭示幾個(gè)概念之間的關(guān)系，表示了某種規(guī)律，數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)比概念學(xué)習(xí)要復(fù)雜。[分析]解答本題需要的數(shù)學(xué)知識(shí)有以下幾類：1、聯(lián)結(jié)的數(shù)學(xué)概念有：線段、線段的長(zhǎng)、三角形、三角形的邊、三角形的周長(zhǎng)、三角形的頂點(diǎn)、角、等腰三角形、等腰三角形的邊即腰和底邊、等腰三角形的周長(zhǎng)等。這些概念是思維的細(xì)胞，構(gòu)成一個(gè)組塊，是我們解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。2.要理解的數(shù)學(xué)原理有：三角形三邊的關(guān)系，以及中間推理得到的一系列判斷；3、還需要了解或掌握一些程序性知識(shí)，如分類討論的思想、方程思想、運(yùn)算技能，以及準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征的符號(hào)意識(shí)和方法（包括邊的倍數(shù)關(guān)系刻畫(huà)）。案例12016年9月2日星期五

今天繼續(xù)研究三角形的邊，以研究在邊方面的性質(zhì)為主。在講課之前，先復(fù)習(xí)了一下研究三角形的思路：從定義---分類----性質(zhì)。對(duì)定義的研究從文字?jǐn)⑹?、符?hào)表示、組成要素，在復(fù)習(xí)分類時(shí)，問(wèn)為什么要進(jìn)行分類？部分學(xué)生似乎還是不甚明了。我強(qiáng)調(diào)是為了后面研究性質(zhì)更有針對(duì)性，在分類中可以有重點(diǎn)有方向?！赶蛱厥獾娜切危旱妊?、直角。

對(duì)性質(zhì)的研究，一樣的從組成要素出發(fā)，先從邊方面進(jìn)行。學(xué)生們因?yàn)樽詫W(xué)，能夠說(shuō)但不能講為什么？我補(bǔ)充講了理由，同時(shí)，對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用，專注于兩種類型。一是直接判定三邊是否成三角形，另一類是等腰三角形的邊、周長(zhǎng)等。對(duì)課本中的典例，我選擇示范，但方法有變，并重在引導(dǎo)他們?nèi)绾巫詫W(xué)例題：看題先不看答案；自做完再對(duì)答案；對(duì)完答案想其他做法；改編等。我以設(shè)腰長(zhǎng)為x，講完之后，對(duì)第二問(wèn)采用計(jì)算方法。后又改數(shù)據(jù)4cm為7cm，之后直接進(jìn)入拓展提升。將第三邊的范圍為核心進(jìn)行了研究。布置的作業(yè)是完成教學(xué)案。2016年9月5日星期一批改學(xué)生的周末作業(yè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)教材P3的三角形的邊的那個(gè)等腰三角形的例題效果仍然表現(xiàn)不佳。七班都只有三分之一的人理解了掌握了，表述清楚。主要問(wèn)題在：1、做了之后沒(méi)有結(jié)果或者沒(méi)有表述結(jié)果。2、沒(méi)有分類進(jìn)行研究。3、把底邊與腰長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系弄反。當(dāng)晚布置了改編后的作業(yè)，但問(wèn)題仍是限在所圍成的三角形只有一種情況的。2016年9月6日星期二……傍晚，找了作業(yè)不夠理想的兩班各近10人，去更正作業(yè)。強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格按照課本例題的分類討論的模板來(lái)完成。第一步：（交待說(shuō)明）根據(jù)……分……種情況討論；第二步：（按照所分的情況，一種情況一種情況地研究）；當(dāng)……時(shí)，……當(dāng)……時(shí)，……第三步：（總結(jié)討論成果）由以上討論可知，……反思：1、原理學(xué)習(xí)不是孤立的，連接著很多其他知識(shí)；任何一個(gè)概念、其他原理都可能構(gòu)成思維的障礙；2、由邊求周長(zhǎng)容易，順向思維；由周長(zhǎng)求邊，這是逆向思維，困難有挑戰(zhàn)。3、關(guān)于分類討論的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述不易掌握；4、第一次教學(xué)時(shí)對(duì)問(wèn)題的困難性估計(jì)不足，沒(méi)有做好深入變式，把問(wèn)題講透。引例：寫(xiě)出一組使三角形周長(zhǎng)為18cm的三邊長(zhǎng)

.寫(xiě)出一組使等腰三角形周長(zhǎng)為18cm的三邊長(zhǎng)

.例1（人教版八上P3）用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形（1）如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？（2）能圍成有一邊長(zhǎng)為4cm的等腰三角形嗎？為什么？（3）能圍成有一邊長(zhǎng)為8cm的等腰三角形嗎？為什么？（4）能圍成有一邊長(zhǎng)為10cm的等腰三角形嗎？為什么？（5）研究圍成的等腰三角形腰長(zhǎng)的取值范圍.改進(jìn)版本質(zhì)屬性：數(shù)學(xué)原理從知識(shí)的分類上屬于明確知識(shí)，是概念性知識(shí)和部分程序性知識(shí)的集合。過(guò)程性：要想知識(shí)的學(xué)習(xí)傳遞走向深刻，一定要注重過(guò)程，重視實(shí)踐活動(dòng)中的體。遷移應(yīng)用性：知識(shí)（數(shù)學(xué)原理）的學(xué)習(xí)要注重在不同的情景中個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的積累。

聯(lián)結(jié)性：數(shù)學(xué)知識(shí)之間是一個(gè)有機(jī)的整體，數(shù)學(xué)原理不是孤立的存在。目的性：數(shù)學(xué)原理是一種判斷，判斷是邏輯思維的重要形式。數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)，是為了促進(jìn)思維能力的發(fā)展。對(duì)數(shù)學(xué)原理認(rèn)識(shí)的小結(jié)初中數(shù)學(xué)原理知識(shí)清單年級(jí)序號(hào)數(shù)學(xué)原理名稱七上

1有理數(shù)加法法則2有理數(shù)減法法則3有理數(shù)乘法法則4有理數(shù)乘法運(yùn)算律5有理數(shù)除法法則6合并同類項(xiàng)7去括號(hào)規(guī)律8整式加減運(yùn)算法則9等式的性質(zhì)10一元一次方程的解法11余角和補(bǔ)角性質(zhì)

七下

12對(duì)頂角性質(zhì)13垂線性質(zhì)14平行線的判定定理15平行線的性質(zhì)定理16平移的性質(zhì)17平方根的特征18立方根的特征19坐標(biāo)系平移規(guī)律20二元一次方程組的解法21不等式的性質(zhì)22不等式的解法23一元一次不等式組的解法

八上

24三角形的三邊關(guān)系25三角形的內(nèi)角和定理26三角形的外角性質(zhì)27多邊形的內(nèi)角和定理28多邊形的外角和29全等三角形的判定定理SSS30全等三角形的判定定理SAS31全等三角形的判定定理AAS、ASA32角平分線的性質(zhì)定理33角平分線的判定定理34垂直平分線的性質(zhì)定理35垂直平分線的判定定理36坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)規(guī)律37等腰三角形的性質(zhì)定理38等腰三角形的判定定理39等邊三角形的性質(zhì)與判定定理40含30度的直角三角形性質(zhì)41同底數(shù)冪乘法法則42冪的乘方法則43積的乘方法則44整式乘法（單乘多）45整式乘法（多乘多）46整式除法法則47乘法公式1（平方差公式）48乘法公式2（完全平方公式）49去括號(hào)法則50提取公因式法因式分解51公式法因式分解52分式的基本性質(zhì)53分式的乘除運(yùn)算法則54分式的加減運(yùn)算法則55整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定八下

56二次根式的性質(zhì)57二次根式的乘法法則58二次根式的除法法則59二次根式的加減法法則60勾股定理61勾股定理的逆定理62平行四邊形的性質(zhì)定理63平行四邊形的判定定理64三角形的中位線定理65矩形的性質(zhì)定理66矩形的判定定理67菱形的性質(zhì)定理68菱形的判定定理69正方形的判定定理70正比例函數(shù)的性質(zhì)71一次函數(shù)的性質(zhì)特征72一次函數(shù)與方程、不等式關(guān)系73加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式74中位線、眾數(shù)計(jì)算方法

九上75配方法解一元二次方程76公式法解一元二次方程77因式分解法解一元二次方程78直接開(kāi)平方法解一元二次方程79根的判別式與一元二次方程根情況80一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系81二次函數(shù)的性質(zhì)82二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系83旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)84中心對(duì)稱的性質(zhì)85垂直于弦的直徑86弧、弦、圓心角定理87圓周角定理88點(diǎn)與圓的位置關(guān)系89直線與圓的位置關(guān)系90切線的判定定理91切線的性質(zhì)定理92切線長(zhǎng)定理93弧長(zhǎng)公式94扇形面積公式95概率計(jì)算公式

96

方差計(jì)算公式九下97反比例函數(shù)性質(zhì)98相似三角形的判定定理初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的調(diào)查分析三（2017年省·第18題）（2018年省·第18題）（2019年省·第18題）得分率88.67%得分率86.3%得分率86.8%2.1從中考中窺見(jiàn)初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況案例2典型錯(cuò)例及存在問(wèn)題：1.直接代入.2.完全平方公式和平方差公式記錯(cuò)記淆.3.漏項(xiàng).4.化簡(jiǎn)或運(yùn)算不徹底5.書(shū)寫(xiě)不規(guī)范.（2020年省·第18題）零分人數(shù)有一成。（1）直接代入.（2）沒(méi)有掌握并熟記完全平方公式和平方差公式.

（3）計(jì)算漏項(xiàng)（4）計(jì)算或化簡(jiǎn)徹底說(shuō)明：部分同學(xué)初一、二年級(jí)的乘法公式、整式運(yùn)算法則（數(shù)學(xué)原理）的學(xué)習(xí)理解和運(yùn)用很不到位，沒(méi)有形成個(gè)體較強(qiáng)的運(yùn)算技能，與深度學(xué)習(xí)的要求相差甚遠(yuǎn)。根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)，我們將數(shù)學(xué)原理理解和掌握的檢測(cè)維度確定在以下五個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)原理的重述：是指學(xué)生能對(duì)原理進(jìn)行客觀重述，但不理解原理的本質(zhì)，因此還不能對(duì)原理進(jìn)行多種表征（2）數(shù)學(xué)原理的多種表征：是指學(xué)生不僅能重述數(shù)學(xué)原理，還能根據(jù)自己的對(duì)原理的理解用多種方式表征數(shù)學(xué)原理（3）數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用（雙向運(yùn)用）：是指學(xué)生能應(yīng)用數(shù)學(xué)原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括原理的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用。（4）數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)或證明（針對(duì)定理、公式）：是指學(xué)生能夠推導(dǎo)或證明定理、公式。（5）數(shù)學(xué)原理的關(guān)聯(lián)：是指學(xué)生能夠建立相關(guān)數(shù)學(xué)原理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成數(shù)學(xué)命題結(jié)構(gòu)體系或者命題線。2.2初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查問(wèn)卷的設(shè)計(jì)意圖測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)原理（法則）的掌握與問(wèn)題的數(shù)學(xué)化。指向數(shù)學(xué)原理的運(yùn)用2.2初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查問(wèn)卷設(shè)計(jì)指向原理重述與多元表征數(shù)學(xué)原理的推導(dǎo)與證明2.2初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查問(wèn)卷設(shè)計(jì)指向數(shù)學(xué)原理的結(jié)構(gòu)與之相關(guān)的一般觀念2.2初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查問(wèn)卷設(shè)計(jì)1能正確舉例94.50%不能舉例5.50%2合并同類項(xiàng)依據(jù)表述正確4.25%合并同類項(xiàng)依據(jù)表述錯(cuò)誤或不知95.75%3解一元一次方程步驟表述完全正確45.25%解一元一次方程步驟基本正確37.50%解一元一次方程步驟表述不正確17.25%能夠正確說(shuō)明解方程的依據(jù)24.75%解方程依據(jù)表述不正確或不知75.25%2.3初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查結(jié)論1

運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)理解程度不高2.3初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查結(jié)論題號(hào)學(xué)生回答結(jié)論類型百分比4能夠正確表述不等式性質(zhì)36.25%不能正確表述不等式性質(zhì)63.75%正確表述不等式性質(zhì)的來(lái)源12.25%不能正確表述不等式性質(zhì)來(lái)源87.75%6能夠正確證明三角形內(nèi)角和定理38.50%不能證明定理61.50%2對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)、定理推導(dǎo)與證明水平不高2.3初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況調(diào)查結(jié)論題號(hào)學(xué)生回答結(jié)論類型百分比6能夠清晰正確表述整式學(xué)習(xí)的基本路徑1%對(duì)整式學(xué)習(xí)路徑略知一二6%對(duì)整式的學(xué)習(xí)路徑完全不知或留空8.50%能夠清晰正確表述幾何圖形學(xué)習(xí)的基本路徑10.75%對(duì)幾何圖形學(xué)習(xí)路徑略知一二27.50%對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)路徑完全不知或留空25.50%能夠清晰正確表述函數(shù)學(xué)習(xí)的基本路徑6.50%對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)路徑略知一二8.75%對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑完全不知或留空5.25%7能以結(jié)構(gòu)框架圖等合適方式有序組織所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)19.50%只是列舉表述若干數(shù)學(xué)知識(shí)章節(jié)或知識(shí)點(diǎn)68%留白或表達(dá)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)少于五項(xiàng)12.50%3對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系的理解和掌握情況不夠理想“聽(tīng)不懂，不明白”“先看題目條件，看圖形有什么性質(zhì)、定理，標(biāo)記圖象，作答”、“先大概估測(cè)一下幾何圖形的特殊性，再根據(jù)相關(guān)圖形的性質(zhì)進(jìn)行證明，完成題目（解答），不然就放棄”，“先預(yù)習(xí)，再聽(tīng)課不斷寫(xiě)題，不懂就問(wèn)”、“記筆記上課專心，認(rèn)真聽(tīng)講，整理錯(cuò)題，無(wú)時(shí)不刻不想著學(xué)習(xí)，不懂就問(wèn)”。問(wèn)題6：我們學(xué)習(xí)整式（或函數(shù)或幾何圖形）的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？“先自己自學(xué)一遍，然后再聽(tīng)老師講一次，查漏補(bǔ)缺，課后多練題”、“多做導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)案，課堂導(dǎo)學(xué)案，課堂大考卷，課時(shí)分層作業(yè)本”、“多刷題，摸清規(guī)律，一般出什么題型，學(xué)會(huì)運(yùn)用定理”、“先學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)，再運(yùn)用并多次練習(xí)”、“通過(guò)不斷地做題刷題；看每一個(gè)星期的數(shù)學(xué)周測(cè)和老師讓我們?cè)谡n堂上的做的練習(xí)題；課本的教學(xué)、歸納總結(jié)；周末作業(yè)”、“聽(tīng)課，看練習(xí)冊(cè)，做題，學(xué)習(xí)函數(shù)原理”……問(wèn)題6：我們學(xué)習(xí)整式（或函數(shù)或幾何圖形）的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？問(wèn)題7：“請(qǐng)你用合適的方式，梳理表述到目前為止，你在初中階段學(xué)過(guò)的所有數(shù)學(xué)知識(shí)”由調(diào)查可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)不容樂(lè)觀。主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：1、對(duì)原理的重述不流暢，似是而非，不能進(jìn)行多種表征；2、不懂原理的發(fā)生發(fā)展，不能推理論證數(shù)學(xué)原理。3、數(shù)學(xué)原理之間沒(méi)有聯(lián)結(jié)構(gòu)成體系，處于零散和分離狀態(tài)。4、對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解欠缺深度，機(jī)械應(yīng)用，學(xué)習(xí)局限在重復(fù)做題和技能的訓(xùn)練。對(duì)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查的小結(jié)數(shù)學(xué)原理教學(xué)的課堂實(shí)踐三有結(jié)構(gòu)的原理、有邏輯的原理，有源頭的原理、有靈動(dòng)的原理、有實(shí)效的原理3.1深度學(xué)習(xí)理論

近十年來(lái)，國(guó)際上最先進(jìn)的教學(xué)理論其實(shí)根本不是國(guó)內(nèi)瘋傳的“翻轉(zhuǎn)課堂”等技術(shù)性的策略，而是源于人工智能和腦科學(xué)的深度學(xué)習(xí)理論。深度學(xué)習(xí)注重讓學(xué)生沉浸于知識(shí)的情境和學(xué)習(xí)的情境，強(qiáng)調(diào)批判性思維，注重實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在價(jià)值。理解深度學(xué)習(xí)理論對(duì)深化我國(guó)的教學(xué)改革具有重要的意義。摘自郭元祥《深度學(xué)習(xí)：本質(zhì)與理念》一文（2017.7）學(xué)習(xí)維度深度學(xué)習(xí)淺層學(xué)習(xí)知識(shí)內(nèi)容能掌握普遍的方式和內(nèi)在的原理，但并不特別在意知識(shí)的深度和難度。主要表現(xiàn)在于記住知識(shí)和例行的解題過(guò)程，內(nèi)容淺顯沒(méi)有挑戰(zhàn)記憶方式強(qiáng)調(diào)理解的基礎(chǔ)上記憶機(jī)械記憶、死記硬背知識(shí)體系在新、舊知識(shí)間建有聯(lián)系，對(duì)概念、原理及思想方法建立有完整的結(jié)構(gòu)化體系零散孤立的、無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)，且概念、原理等處于淺層的無(wú)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)狀態(tài)關(guān)注焦點(diǎn)關(guān)注解決問(wèn)題所需的核心論點(diǎn)和概念關(guān)注解決問(wèn)題所需的公式、外在線索反思狀態(tài)逐步加深理解、批判性思維、自主反思缺少自主反思，很少反思自己的學(xué)習(xí)目的和策略遷移能力能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)遷移到其他實(shí)踐情景中不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)思維層次高階思維低階思維學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)自身需要外在壓力投入程度自主學(xué)習(xí)被動(dòng)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)情感主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題被動(dòng)地完成作業(yè)等任務(wù)，學(xué)習(xí)是為了考試3.1深度學(xué)習(xí)理論本表格參考黎加厚、周先榮兩位作者的兩篇文獻(xiàn)整理。遷移說(shuō)為遷移而學(xué)習(xí)的過(guò)程，能夠讓學(xué)生將從一個(gè)情境中習(xí)得的知識(shí)用于其他的情景中。素養(yǎng)說(shuō)什么是深度學(xué)習(xí)？3.1深度學(xué)習(xí)理論2005年第5期發(fā)表何玲、黎加厚的文章《促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)》他認(rèn)為：深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)。3.1深度學(xué)習(xí)理論遷移說(shuō)為遷移而學(xué)習(xí)的過(guò)程，能夠讓學(xué)生將從一個(gè)情境中習(xí)得的知識(shí)用于其他的情景中。素養(yǎng)說(shuō)深度學(xué)習(xí)是學(xué)生敏銳理解學(xué)科內(nèi)容，并將知識(shí)用于解決課堂和工作中的問(wèn)題而必須掌握的一系列素養(yǎng)。什么是深度學(xué)習(xí)？3.1深度學(xué)習(xí)理論深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過(guò)程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為極具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神，基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來(lái)社會(huì)歷史實(shí)踐的主人。

——摘自劉月霞郭華主編《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》

2014年以來(lái)，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心組織專家團(tuán)隊(duì)實(shí)施了深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目，將其作為深化基礎(chǔ)教育課程改革的重要抓手和落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)及各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施途徑。3.1深度學(xué)習(xí)理論國(guó)內(nèi)有關(guān)深度學(xué)習(xí)文獻(xiàn)的年代分布從圖1中的數(shù)據(jù)可以看出，2005年到2014年，我國(guó)關(guān)于深度學(xué)習(xí)的期刊論文數(shù)量?jī)H有178篇，說(shuō)明我國(guó)在2014年之前對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究仍處于起步階段。從2015年到2019年這五年間，有關(guān)深度學(xué)習(xí)的期刊論文達(dá)到8075篇，由此可見(jiàn)，我國(guó)的研究者們對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究越來(lái)越多，關(guān)注度也不斷增高。3.1深度學(xué)習(xí)理論

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生開(kāi)展以從具體到抽象、運(yùn)算與推理、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和問(wèn)題解決等為重點(diǎn)的思維活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)核心知識(shí)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法，提高思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度和正確的價(jià)值觀，逐漸成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神的學(xué)習(xí)者。

——《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》(學(xué)科教育指南·初中數(shù)學(xué)）

3.1深度學(xué)習(xí)理論

教師引領(lǐng)。有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題。學(xué)生經(jīng)歷的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。聚焦于核心素養(yǎng)的思維活動(dòng)。達(dá)成數(shù)學(xué)育人的根本目的。初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)概念內(nèi)涵梳理3.1深度學(xué)習(xí)理論“深度學(xué)習(xí)”教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目組指出：判斷深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生，可以下列五個(gè)特征來(lái)作為判據(jù)——聯(lián)想與結(jié)構(gòu)；活動(dòng)與體驗(yàn)；本質(zhì)與變式；遷移與應(yīng)用；價(jià)值與評(píng)價(jià)。初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的五大特征：1.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和聯(lián)系；2.積極參與富有思維含量的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程；3.體會(huì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的本質(zhì)；4.能夠?qū)⒅R(shí)遷移到新的情境中加以應(yīng)用；5.形成正確的價(jià)值觀和批判性思維；初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特征3.1深度學(xué)習(xí)理論案例3問(wèn)題1：你能說(shuō)說(shuō)學(xué)習(xí)方程的一般路徑嗎？問(wèn)題2：回顧你學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)說(shuō)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般需要經(jīng)歷什么樣的步驟？實(shí)際問(wèn)題審題，選擇合適的模型數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程、方程組、不等式）問(wèn)題答案檢驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷霐?shù)學(xué)問(wèn)題的解（方程、方程組的解、不等式的解集）設(shè)未知數(shù),列（方程、方程組、不等式）求解（集）設(shè)列解答檢審

重點(diǎn)講解

問(wèn)題3參加一次聚會(huì)的每?jī)蓚€(gè)人都握了一次手，n個(gè)人參加聚會(huì)，握手的總次數(shù)是多少？你是如何知道的？2人1次3人3次1+24人6次3+35人10次4+3+2+1………n1+2+3+…+(n-1)3+2+1

重點(diǎn)講解

解：設(shè)有人參加聚會(huì)，則整理，得答：有5人參加聚會(huì)。解得（不合題意，舍去）例1

參加一次聚會(huì)的每?jī)蓚€(gè)人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加聚會(huì)？

重點(diǎn)講解

變式圣誕節(jié)來(lái)臨，班級(jí)每一位同學(xué)都要給其他同學(xué)贈(zèng)送一張卡片，共贈(zèng)送了870張卡片，設(shè)班級(jí)有x名同學(xué)，可列方程為_(kāi)_____________________。變式與例1一樣嗎？握手時(shí)存在重復(fù)計(jì)數(shù)，所以要除以2；贈(zèng)送禮物不存在重復(fù)計(jì)數(shù)，不用除以2。

難點(diǎn)突破

例2

有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？分析：（1）本題的等量關(guān)系是什么？

（2）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，如何用含有x的式子表示兩輪后患流感的總?cè)藬?shù)？

難點(diǎn)突破

假設(shè)流感患者每次可以傳染給3人，流感傳染的源頭第二輪的傳染源傳染給x人呢？流感患者被傳染人被傳染人…被傳染人被傳染人?…被傳染人被傳染人?流感患者被傳染人被傳染人?第二輪傳染源為個(gè)

難點(diǎn)突破

難點(diǎn)突破

解：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人整理，得答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人。方法①：（舍去）依題意列方程，得因式分解，得方法②：原方程變形為直接開(kāi)平方，得（舍去）

難點(diǎn)突破方法②：故第三輪后，患流感的人數(shù)為方法①：第二輪感染的121人成為新一輪的傳染源，他們可以傳染人.追問(wèn)：按照問(wèn)題的傳染速度，那第三輪后，患流感的人數(shù)是多少？由于第二輪后有人患流感，經(jīng)過(guò)第三輪傳染后，患流感的人數(shù)可表示為：把代入,人。

難點(diǎn)突破歸納：第一輪后患流感的人數(shù)為：…第二輪后患流感的人數(shù)為：第三輪后患流感的人數(shù)為：第n

輪后患流感的人數(shù)為：

歸納提升1.握手問(wèn)題與傳染問(wèn)題基本模型：握手問(wèn)題：送禮物問(wèn)題：傳染問(wèn)題：2.方程、不等式、函數(shù)都是數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，解答過(guò)程要體現(xiàn)全過(guò)程。P61：整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心課標(biāo)中對(duì)教材編寫(xiě)的“見(jiàn)林”要求這樣的設(shè)計(jì)，特色在于：1、把一元二次方程當(dāng)作是解決問(wèn)題的模型，置于前面已學(xué)過(guò)的一元一次方程、二元一次方程組、不等式（組）、分式方程的模型“森林”之中，使學(xué)生與頭腦中原來(lái)的應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)知聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成整體的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了用相同的方法解決不同的問(wèn)題的模型精髓。2、從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)開(kāi)始。在深度學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師引領(lǐng)首先要體現(xiàn)在確定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。傳染問(wèn)題和握手問(wèn)題相比較，握手問(wèn)題因?yàn)樵谝辉畏匠谈拍顚W(xué)習(xí)過(guò)程中已有作為引入概念的問(wèn)題背景呈現(xiàn)過(guò)，現(xiàn)在重現(xiàn)可以算是對(duì)第一節(jié)課的回眸，追問(wèn)為什么，是為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)規(guī)律的推理過(guò)程的理解，同時(shí)也為傳染問(wèn)題對(duì)傳播過(guò)程的模擬提供方法上的幫助。3、在小結(jié)概括階段，不滿足于解決具體問(wèn)題，更追求對(duì)問(wèn)題一般化、模型化的理解和歸納，促進(jìn)遷移到其他類似的問(wèn)題情景。學(xué)科素養(yǎng)的培育在很大程度上需要通過(guò)深度學(xué)習(xí)來(lái)實(shí)現(xiàn)。核心素養(yǎng)是深度學(xué)習(xí)的結(jié)果。深度學(xué)習(xí)將核心素養(yǎng)從一個(gè)抽象的概念變成了一個(gè)看得見(jiàn)、摸得著的行動(dòng)。3.2原理教學(xué)要關(guān)注整體性數(shù)學(xué)是一個(gè)彼此有機(jī)聯(lián)系的整體。任何數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，都一定會(huì)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生關(guān)聯(lián)。整體性指向的是知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系，指向的是數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系。數(shù)學(xué)原理反映的是數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，本身就是數(shù)學(xué)概念之間的橋梁。數(shù)學(xué)的整體性既要體現(xiàn)在單元章節(jié)復(fù)習(xí)中，也要體現(xiàn)在新授課的教學(xué)中，以幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。在原理教學(xué)中堅(jiān)持整體地學(xué)，聯(lián)系地學(xué)，指向就是深度學(xué)習(xí)的“聯(lián)想與結(jié)構(gòu)”特征。以“整體”為關(guān)鍵詞，共可以有27個(gè)結(jié)果。僅在P61頁(yè)就出現(xiàn)了9次在高中課標(biāo)中搜索有47次《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》P45：當(dāng)然，整體性并不要求整節(jié)課都在感受知識(shí)的整體性，而是要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，在合適的時(shí)機(jī)合適的情景下，引出知識(shí)之間的聯(lián)系，拓展學(xué)生的視野，激活學(xué)生思維。1.四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是____________.一、情境導(dǎo)入，復(fù)習(xí)回顧平行四邊形(1)若AB=8，BC=11，則CD=_____,AD=_____,理由是________________________;811平行四邊形的對(duì)邊相等(2)若∠ABC=28°，則∠ADC=_____,

理由是_______________________;平行四邊形的對(duì)角相等28°(3)連接AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC+BD=36，則OA+OB=___;理由是______________________.18平行四邊形的對(duì)角線互相平分81128°定義2.下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）.A.AB=CD，AD=BCB.AB∥DC，AD∥BCC.AB∥DC，AD=BC

D.AB∥DC，AB=DCC性質(zhì)判定特例通過(guò)導(dǎo)入階段，聯(lián)結(jié)過(guò)往，強(qiáng)化原理研究的結(jié)構(gòu)線。案例4思考：1、學(xué)習(xí)完有理數(shù)的性質(zhì)之后，接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)什么？2、計(jì)算：3+5=（+3）+（+97）=（+1000）+0=有理數(shù)的加法，包括小學(xué)學(xué)過(guò)的正數(shù)+正數(shù)、正數(shù)+0等，在加入負(fù)數(shù)之后，可能還有哪些類型？人教版“有理數(shù)加法法則”一課案例5

套路：“背景——定義——性質(zhì)——運(yùn)算——應(yīng)用”要心中有數(shù)（素）五、課堂小結(jié)1、有理數(shù)的加法法則；（三條：同號(hào)、異號(hào)、加0

）2、有理數(shù)加法法則的運(yùn)算過(guò)程：

先確定類型——定和的符號(hào)——定和的絕對(duì)值3、我們是如何得到這條法則的？4、根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能否提出新的學(xué)習(xí)問(wèn)題？人教版“有理數(shù)加法法則”一課的小結(jié)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)還有其他的運(yùn)算，那運(yùn)算法則又應(yīng)當(dāng)如何探索？從具體到抽象、從特殊到一般、歸納解決一個(gè)問(wèn)題，產(chǎn)生一個(gè)新問(wèn)題。小結(jié)是概括階段，通過(guò)延伸引出新的問(wèn)題，聯(lián)結(jié)未來(lái)的知識(shí)，讓學(xué)習(xí)在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中走向深入。這是培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的能力的好機(jī)會(huì)。同時(shí)，也可以體現(xiàn)遷移，引導(dǎo)學(xué)生用類似的方法，解決相同的問(wèn)題。課堂小結(jié)是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)整體性的好機(jī)會(huì)（延伸未來(lái)）麗煊制作——見(jiàn)到樹(shù)木也見(jiàn)到森林的作品課堂小結(jié)是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)整體性的好機(jī)會(huì)案例6SAS定理的學(xué)生課堂小結(jié)我們鼓勵(lì)學(xué)生在單元整體教學(xué)過(guò)程中，多個(gè)連續(xù)的課，共用一個(gè)課后小結(jié)的做法。每上完一節(jié)課，就在這個(gè)思維導(dǎo)圖上添加相應(yīng)的內(nèi)容。四、課堂小結(jié)，整體延伸

對(duì)稱性研究方法邊

觀察猜想驗(yàn)證證明（推理）應(yīng)用證明思路截長(zhǎng)補(bǔ)短直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，那第三邊與這兩邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？假如直角三角形中的30°變成45°，那還有類似結(jié)論嗎？我們又應(yīng)當(dāng)如何研究？性質(zhì)研究展望BAC案例730度直角三角形定理的課堂小結(jié)四、課堂小結(jié)，整體延伸求線段長(zhǎng)勾股定理

（方程直角三角形實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用建模實(shí)驗(yàn)、猜想、論證特殊一般勾股定理的逆定理判定直角三角形案例8勾股定理逆定理的課堂小結(jié)3.2注重讓學(xué)生經(jīng)歷原理的生成歸納或論證推理過(guò)程由深度學(xué)習(xí)的特征要求，學(xué)生是要通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。在經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到其中的數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)的思維方式。

讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索、操作、理解、感悟數(shù)學(xué)原理生成的過(guò)程！！先行組織者策略？這里的幾種情況的思考有沒(méi)有效？對(duì)于加法類型的區(qū)分，可能是在最后由算式總結(jié)法則時(shí)分類歸納才有用。案例91、教師引導(dǎo)出示問(wèn)題情景：

小明在東西方向的馬路上活動(dòng)，我們規(guī)定向東為正，向西為負(fù)（結(jié)合數(shù)軸）(1)向東走5米，再向東走3米，兩次運(yùn)動(dòng)后總的結(jié)果是什么？(2)向西走5米，再向西走3米，兩次運(yùn)動(dòng)后總的結(jié)果是什么？

2、合作探究：模仿上述過(guò)程，舉例（或生活實(shí)例）合理解釋下面式子的含義，并研究運(yùn)算結(jié)果是多少.（-5）+（+3）=

（+5）+（-3）=（-10）+（+16）=（+8）+（-10）=（+5）+0=（-5）+0=3、思考討論：根據(jù)上述所得到的8個(gè)算式，從符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面考慮，嘗試歸納總結(jié)有理數(shù)加法的運(yùn)算方法.（+5）+（+3）=+8（-5）+（-3）=-84、總結(jié)法則：在學(xué)生表達(dá)的基礎(chǔ)上，規(guī)范出示有理數(shù)加法法則的文字表述。5、法則理解：根據(jù)法則，討論梳理有理數(shù)加法運(yùn)算的操作流程。先分類型——再定符號(hào)——最后定絕對(duì)值。設(shè)計(jì)特點(diǎn)：1、重視感悟法則的生成過(guò)程。符合深度學(xué)習(xí)的“活動(dòng)與體驗(yàn)”特征。2、在教師引導(dǎo)后，讓學(xué)生模仿，嘗試舉例探究，這是符合深度學(xué)習(xí)的“遷移與應(yīng)用”特征。3、法則的生成，先讓學(xué)生討論所得到的算式，分類歸納算法，文字表述，法則操作理解。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力（會(huì)法則、懂算理，熟練、優(yōu)法），理解法則，就是要將法則的文字表述轉(zhuǎn)化成可操作的步驟或流程，如同教公式、教方程的解法一樣。這符合深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)與變式特征。項(xiàng)武義：代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算。運(yùn)算的各種法則、定理、公式是如何來(lái)的呢？歸納法是整個(gè)代數(shù)學(xué)的基本大法和基本功。教好歸納就是落實(shí)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。人教版八上P37—38全等三角形判定SAS定理，案例10說(shuō)明：這里的預(yù)習(xí)對(duì)學(xué)生是有極高挑戰(zhàn)的。一是學(xué)生對(duì)上一節(jié)課剛剛所學(xué)的尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角還不夠熟悉，不能在這里即刻應(yīng)用；二是學(xué)生普遍對(duì)這種尺規(guī)作圖的語(yǔ)言表述陌生，不能理解其意。三是畫(huà)圖與定理分離。很多人沒(méi)有注意到這句話，也很難把這兩句話統(tǒng)一起來(lái)。一、課前預(yù)習(xí)作業(yè)：1、已知∠α，尺規(guī)作圖，使∠A＝∠α.2、畫(huà)一個(gè)三角形，使∠A=45°，AB=3cm，BC=4cm，畫(huà)完后剪下來(lái)與周圍同學(xué)對(duì)照，看作品是否重合，并簡(jiǎn)略描述你畫(huà)這個(gè)三角形的步驟.

二、課堂環(huán)節(jié)1、課堂上，在厘清判斷三角形全等給三個(gè)條件（二邊一角）的二種位置關(guān)系后，小組討論交流，形成共識(shí)，有必要時(shí)，老師點(diǎn)撥。（1作圖的共識(shí)：先畫(huà)一線段再畫(huà)角再畫(huà)另一線段，或先畫(huà)角A，再在兩邊上畫(huà)AB、AC；2全等的共識(shí)：無(wú)論是誰(shuí)畫(huà)的，只要按照邊角大小標(biāo)準(zhǔn)，做的三角形彼此都全等，誰(shuí)畫(huà)的，