2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)：立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的問題（解析）

專題09立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的

問題

1.如圖，在多面體力BC—DEFG中，平面A8C||平面DEFG,底面A8C是等腰直角三角形，4B=BC=VL

側(cè)面ACGD是正方形，平面ABC,且F8||GC,GE1DE.

(1)證明：AE1GE.

(2)若。是DG的中點，OE||平面8CGF,求直線OE與平面BDG所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

(2)利用等體積法求得點E到平面BDG的距離力,再根據(jù)線面角的公式計算即可.

【詳解】(1)因為1M_L平面A8C,平面ABC||平面DEFG,所以￡M1平面DEFG,

又因為GEu平面DEFG,所以￡M_LGE,

因為GEIDE,DA0DE=D,DA,DEu平面ADE,

所以GE1平面/WE,

因為4Eu平面4DE,

所以4E1GE.

(2)如圖，因為。是DG的中點，OE||平面BCGF,OEu平面OEFG,且平面OEFGn平面BCGF=GF,

所以。E||GF,

因為平面力BC||平面DEFG,

平面4BCn平面ZMCG=AC,平面DEFGC平面EMCG=DG,

平面ABCC平面BCGF=BC,平面DEFGC平面BCGF=GF,

所以ACIIDG,BCIIGF,

因為△力BC是等腰直角三角形，

所以=4DGF=Z.ACB=45°,

又因為力B=BC=V2,側(cè)面力CGD是正方形，

所以4C=CG=2,OE=|Z)G=1,

所以點E到DG的距離為。Esin45。=y,

所以SADEG=gx2x^=苧，則唳-DEG=gx苧、2=亨，

又BC=V^,GC=2,所以BG=BD=y^,OB=近,

所以SABCD=1x2xV5=V5,

設(shè)點E到平面BCG的距離為h,

由^B-DEG=，E-BDG可得gXX八=/，解得”

所以直線。E與平面BDG所成角的正弦值為白=

OE5

2.如圖，在三棱柱力BC—AiBiCi中，AB=BC,ABr=BrC.

(1)證明：AC1BXB-,

(2)若AB==2,ABr=V6,^ABC=120°,點￡為4Bi的中點，求三棱錐C-B/E的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取AC的中點D,連接BD,BiD,即可證明AC平面BB]D,從而得證；

(2)證明BiDl平面ABC,根據(jù)點E為AB1的中點得出體積的關(guān)系，最后應(yīng)用棱錐的體積公式計算即可.

【詳解】(1)取AC的中點D,連接BD,BiD,

AB=BC,AB1=B1C,???AC_LBD,AC1B1D,

又BDnB]D=D,BiDu平面BBiD,BDu平面BB[D,?,.AC_L平面BB】D,

而BBiu平面BBiD,

??.AC1BiB；

(2)在△ABC中，AB=BC=2,Z.ABC=120°,

可得BD=|AB=1,AC=2AD=2四,

在AABiC中，AB]=BiC=V^,AC=2百，可得BR==百，

在4BBj_D中，BD=1,Bj,D=V3,BBj=2,

可得BD?+BR2=BiB2,即BIDIBD,

由(1)知，AC1平面BBiD,ACu平面ABC,所以平面ABC1平面BBiD,

又平面ABC。平面BBiD=BD,B】Du平面BBjD,

???BiD1平面ABC,點E為AB1的中點，

三棱錐C-BBiE的體積

111111W廣,

VC-BBIE=5VJBBIA=yVfii-ABC=另義SABCxBiD=yx-x-x2x2x—xV3=-

3.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉席.陽馬居二，鱉席居一，不易

之率也.合兩鱉席三而一，驗之以恭，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)席者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘,

(1)若AB=1,BC=2,CD=1,試求異面直線/C與AD所成角的余弦值.

(2)若BD1CD,AB=BD=CD=2,點、P在棱/C上運動.試求△PBD面積的最小值.

【答案】(1《指

(2)72.

【分析】(1)分兩種情況BC，CD,BD1DC討論，分別求解異面直線AC與BD所成角的余弦值.

(2)作PQ1BC于點Q,作QM1BD于點M,連結(jié)PM,先證明PM1BD,從而表示出面積S&PBD=|BD-PM,

最后通過平行線分線段成比例求解PM范圍，從而求解面積的最小值;

【詳解】(1)如圖，以DB,DC為臨邊作平行四邊形BDCE,連結(jié)AE,則異面直線AC和BD所成的角為NACE

或其補角,

當(dāng)BC1CD時，AB=1,BC=2,CD=1,

且由（1）可知，AE=Vl2+I2=VLAC=Vl2+22=V5,EC=BD=V22+I2=V5,

AC2+EC2-AE24

△ACE中,coszACE=

2xACxEC5,

所以異面直線AC和BD所成的角的余弦值為/

當(dāng)BD_LDC時，AE=a,AC=V5,EC=BD=V22-l2=V3,

AC2+EC2-AE2V15

△ACE中,cosZ.ACE=

2xACxEC—

所以異面直線AC和BD所成的角的余弦值為W；

綜上可知，異面直線AC和BD所成的角的余弦值為之或?；

如圖，作PQ1BC于點Q,作QM1BD于點M,連結(jié)PM,

AABC中,AB,PQ都垂直于BC,所以AB〃PQ,

所以PQ_L平面BCD,且BDu平面BCD,所以PQ1BD,

又因為QMJ.BD,PQCQM=Q,PQ,QMu平面PQM,

所以BD1平面PQM,PMu平面PQM,所以PM1BD,

設(shè)CQ=x,CB=2方，由絲=0=吧=予，

“ABCB22V2

得PQ=^,(0<x<2V2),

2V2-X_QM

△BCD中，罌n一~9

2V2

得QM=^

V2

PM=,PQ2+QM2=號+吟J&一2岳+4

2,當(dāng)且僅當(dāng)x=&時，等號成立,

所以SAPBD-|BD-PM>|X2XV2=V2.

所以△PBD面積的最小值是VI

【點睛】關(guān)鍵點睛：讀懂題意，第一問容易忽略一種情況，是本題的易錯點；第二問通過平行線分線段成

比例求解PM范圍時題目的難點和突破點.

4.如圖，在四棱錐P—HBCD中，四邊形4BCD是正方形，PD=4D=1,PD_L平面力BCD,點E是棱PC的

中點，點尸是棱PB上的一點，且EFLPB.

(1)求證：P4//平面EDB；

⑵求點F到平面EDB的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2尊

【分析】(1)利用三角形中位線證明線線平行，即可由線面平行的判斷求證,

(2)根據(jù)垂直關(guān)系以及相似求解長度，即可利用等體積法求解.

【詳解】(1)連接AC交BD于G,連接EG,如圖所示.

因為四邊形ABCD是正方形，所以G是AC的中點，又點E是棱PC的中點，

所以EG是APAC的中位線，所以PA〃EG,

又PA0平面EDB,EGu平面EDB,所以PA〃平面EDB.

(2)因為PD1平面ABCD,DC,BCu平面ABCD,所以PD1DC,PD1BC,

又BC1CD,CDnPD=D,CD,PDu平面PCD,所以BC_L平面PCD,

又PC,DEu平面PCD,所以PCJ.BC,DE1BC.

在APDC中，PD1DC,PD=CD=1,E是PC的中點，所以PE=EC=DE=/,DE1PC,

XDE1BC,BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,

所以DE1平面PBC,所以DE是三棱錐D-BEF的高.

在APBC中，PC1BC,PC=V2,BC=1,所以PB=b,

所以RtABCP?RtAEFP,所以空二肛=軍，

PFEPEF

zBnT?PCEPV3BC-EPV62V3

BP3BP63

1111

VD-BEF=：SABEF?DE=：XTXBF.EF.DE=總

在八BDE中，BD=&,DE=亨，BE=VEC2+BC2=J停j+l2=y,

所以BD2=DE2+BE2,所以DE1BE,

所以SABDE=}DE-BE=g

L4

設(shè)點F到平面EDB的距禺為h,所以VF-BDE==VD-BEF=而，解得h=

即點F到平面EDB的距離為等.

5.如圖所示的幾何體中，四邊形A8CD為平行四邊形，/.ACD=90°,AB=1,4。=2,四邊形48EF為正

方形，平面ABEF，平面力BCD,P為DF的中點，AN1CF,垂足為N.

⑴求證：力NJ■平面CDF；

(2)求異面直線B尸與PC所成角的正切值;

(3)求三棱錐B-CEF的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由AB_LAF,CD1AF,可證得CD_L平面ACF,得CD1AN,又ANJ.CF,即可證得結(jié)論；

(2)設(shè)ACCBD=O,P為DF的中點，。是BD中點，得BF||P0,貝叱CP。是異面直線BF與PC所成角,

即可求解；

(3)可證得AFL平面ABCD,則三棱錐B-CEF的體積：VBYEF=VJBEF，計算即可.

【詳解】(1)「四邊形ABEF為正方形，.'ABJ.AF,

???四邊形ABCD為平行四邊形，ZACD=90°,

???CD1AC,AB||CD,CD1AF,

VAFnAC=A,AF,ACu平面ACF,CDJ_平面ACF,

???ANu平面AFC,???CD1AN,

AN1CF,CFnCD=C,CF,CDu平面CDF,AN_L平面CDF.

(2),四邊形ABCD為平行四邊形，NACD=90。，AB=1,AD=2,

???AC=VAD23-CD2=V4-1=V3,AO=CO=y,

???四邊形ABEF為正方形，平面ABEF_L平面ABCD,平面ABEFCl平面ABCD=AC,NACD=90。，CDu平

面ABCD,

CD，平面PAC,vPCu平面PAC,???CD1PC,

P為DF的中點，AP=CP=泗=1VAF2+AD2=1V1T4=y,

設(shè)ACCBD=O,???P為DF的中點，0是BD中點，BF||PO,

???NCPO是異面直線BF與PC所成角,

V3L

?/CDCCOV15

sin/CPO正=逅=可

2

???cosZCPO=?，tan/CPO=當(dāng),

???異面直線BF與PC所成角的正切值為當(dāng)

(3),??平面ABEF_L平面ABCD,平面ABEFC平面ABCD=AB,AFIAB,AFu平面ABEF,

AF1平面ABCD,CA=VBC2-BA2=V3,

???三棱錐B-CEF的體積:VBYEF=VC-BEF=|sABEFXCA=|xiX1X1xV3=$.

□3ZO

6.如圖，在四棱錐P—HBCD中，PD=PB,底面A8CD是邊長為2的菱形.

⑴證明：平面P4C1平面4BCD；

（2）若PD11PC,且=求四棱錐P—ABCD的體積

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接DB交AC于點0,連接P0,根據(jù)ABCD是菱形，得到BD，AC,且0為BD的中點，再

由PB=PD,得到P01BD,進而得到BD，平面APC,然后利用面面垂直的判定定理證明；

（2）解法一：由（1）知平面APC，平面ABCD,利用面面垂直的性質(zhì)定理得到BD1平面APC,從而由Vp一ABCD=

2VB_PAC求解；解法二：易得三棱錐P-ABD是為棱長為2的正四面體，而它所對應(yīng)的正方體的棱長為企，

從而由Vp_ABCD=2Vp_ABD=2X（xV正方體求解；解法三：取AB中點M,連接DM交AC于點H,連接PH.

由小ABD是等邊三角形，得至UDM1AB,再由PD1AB,得到AB_L平面PDM,從而AB_LPH,再由BD1PH,

得到PH_L平面ABCD,然后由四棱錐的體積為V=/SABCD，PH求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示：

連接DB交AC于點0,連接P0,

因為ABCD是菱形，所以BD1AC,且0為BD的中點,

因為PB=PD,所以PO1BD,

又因為AC,POu平面APC,且ACCP。=O,AC,POu平面APC,

所以BD1平面APC,

又BDu平面ABCD,所以平面APC_L平面ABCD.

(2)解法一：由(1)可知，平面APC_L平面ABCD,

又平面APCC平面ABCD=AC,BD1AC,BDu平面ABCD,所以BD_L平面APC,

所以VP_ABCD=2VB_PAC,由已知可得AC=2A/3,BD=2,

又APIPC,且。為BD的中點.所以O(shè)P=W,PD=2,

又PD1AB,AB||CD,所以PD1CD,

所以PC=2vXPA=2,

所以Vp_ABCD=2VB_PAC=(xSAPACxBD-|xix2x2V2x2=^.

解法二：由已知可得：△ABD為正三角形，且AC=2^,BD=2,

又APLPC,且0為BD的中點，

所以O(shè)P=|AC=V5,PD=PB=2,又PD_LAB,AB||CD,

所以PD1CD,

從而PC=2V2,PA=2,

所以三棱錐P-ABD是為棱長為2的正四面體，而它所對應(yīng)的正方體的棱長為方,

所以Vp_ABCD-2Vp_ABD=2XgXV正方體=苧一

解法三：如圖所示：

取AB中點M,連接DM交AC于點H,連接PH.

因為NBAD=］所以△ABD是等邊三角形，所以DM1AB,

又因為PD1AB,PDnDM=D,PD,DMu平面PDM,

所以AB_L平面PDM,PHu平面PDM,所以ABIPH,

由（1）知BD_LPH,且ABnBD=B,AB,BDu平面ABCD,所以PH_L平面ABCD.

由ABCD是邊長為2的菱形，

在小ABC中，AH==—,A0=AB-cos300=V3,

cos303

由APIPC,在AAPC中，PH2=AH?HC=^x竽=g,所以PH=半.

所以四棱錐的體積為V=，SABCD?PH=（XX乎=竽.

7.如圖，在三棱柱力BC—AJFJCI中，側(cè)面BBjCiC為菱形，zCBfij=60°,AB=BC=2,AC=ABr=V2.

(1)證明:平面2cBi1平面BBiCiC；

(2)求二面角力-41cl-J的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

嘮

【分析】(1)先證明AD1平面BBigC,再根據(jù)面面垂直的判定可得平面ACBi1平面BBigC；

(2)取AiCi的中點E,連ACi，AE,B隹,可證NAEB1為二面角A-ARi-B1的平面角，計算可得結(jié)果.

【詳解】(1)連BC】、BiC交于D,則D為BCi、BiC的中點，連AD,

因為AC=ABi，所以AD_LBiC,

因為側(cè)面BBigC為菱形，zCBBi=60°,AB=BC=2,AC=AB1=&,

所以BD=g,AD=1,所以AB?=BD2+AD2,即AD1BD,

因為B]CnBD=B,B]C,BDu平面BBigC,

所以AD_L平面BBigC,因為ADu平面ACBi，

所以平面ACBi1平面BBigC.

(2)取AiCi的中點E,連A"AE,B】E,

由(1)知，AD1BD,又BD=Dg,所以Ag=AB=2,

又AAi=Cg=2,所以AE_LAiCi，同理得B】E_LAig,

所以NAEBi為二面角A-AiJ-Bi的平面角，

在八AEBi中，AE=JAA”AIE2=^4-(y)2=苧，

BiE=JA同一人住2=14一(苧下=當(dāng)，ABI=&，

所以二面角A-AiQ-Bi的余弦值為*

8.如圖，在直三棱柱ABC-481cl中，AC1BC,且AC=BC/B=BB1=4,E為A4的中點，尸為線段/C

上一點，設(shè)CF=/LCBi.

⑵當(dāng)三棱錐的-4BF的體積為軻，求4的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵入=；或入=*

【分析】（1）由題，取BC的中點G,連接GF,GA,通過證明四邊形EFGA為平行四邊形可證明結(jié)論；（2）

注意到VC[-ABF=VA-C[BF，AC為二棱錐A—BC\F的IWJ,VA-CC^BI=了=2VA-C[BF，貝U可得F至!jBg的距禺

為C到BCi的距離的%據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)當(dāng)入=g時，F(xiàn)為B￡的中點，取BC的中點G,連接GF,GA,

有GF〃BBi，MGF=1BB1=2,在直三棱柱ABC-ASig中，AA//BB1，

所以GF〃AAi.因為AE=1AAi=2,所以FG〃AE且FG=AE,

所以四邊形EFGA為平行四邊形，所以EF〃AG.

又EFC平面ABC,AGu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)三棱錐J-ABF的體積相當(dāng)于三棱錐A-BC/的體積，

因為eg1平面AB&ACu平面ABC,所以CCJAC,MAC1BC.

因為BCCCCi=C,BC,CCiu平面BCC1B1，所以AC_L平面BCCiBi，即AC為三棱錐A—BgF的高.

在平面BCgBi中，△8和(：的面積1乂4*2/=4魚，

那么三棱錐A-BCiC的體積V=(x4立x2位=4=2VCI_ABF，

且這兩個三棱錐的高相等，可得％BCiC=2SABC1F,

可得F至IJBC1的距離為C至!JBC1的距離的也

因此F為BiC的四等分點，即入=；或入=*

A

9.如圖，四棱柱力BCD-4中心小的側(cè)棱44J底面ABCD,四邊形ABCD為菱形，E,廠分別為CC「AA1

的中點.

(1)證明:一四點共面;

(2)若AB=441=2,乙DAB=全求點A到平面的距離.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取DiD的中點為G,通過證明FDJ/AG、AG//BE,進而證明FD/BE即可.

(2)運用等體積法VA-BEF=VB-AEF即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)取DiD的中點為G,連接AG,GE,由E,G分別為Cg,DD1的中點，

所以EG〃DC〃AB,且EG=DC=AB,

所以四邊形ABEG為平行四邊形，

故AG〃BE,

又因為F是AAi的中點，

所以FDJ/AG,

所以FDJ/BE,故B,F,Di，E四點共面.

(2)易知四邊形BED#為菱形,且BE=遙,BDi=JBD?+Dp=V22+22=2金,EF=AC=2療,BD=

2,

所以菱形BED/的面積為（BDi?EF=gx2&x2舊=2遍，

設(shè)點A到平面BEF的距離為d,點B到平面AEF距離為h,且〃AEF=jx1x2A/3=V3,

由ABEFBAEF，得：

V-=V-gSABEF-d=-SAAEF-h,

因為ACJ.BD,AC//EF,

所以BD1EF,

又因為BD1AF,AFClEF=F,AF、EFu面AEF,

所以BD，面AEF,

所以h=^BD=1,

所以1-2A/6-d=V3,1=>d=奈

故點A到平面BED"的距離為當(dāng)

】

10.如圖所示，已知三棱臺ABC—AiBiCi中，ABX1BBr,CBr1BBr,^ABB=4CBB[=60°,AB1BC,

BBi=1.

（1）求二面角力—BiB-C的余弦值；

（2）設(shè)E,F分別是棱AC,&Ci的中點，若EFL平面ABC,求棱臺力BC-&8心的體積.

參考公式：臺體的體積公式為％體=］（S上+Js上S下+S下）兒

【答案】（1）—（

【分析】（1）依題意NABiC為二面角A-BBi-C的平面角，利用余弦定理計算可得；

（2）將棱臺補全為三棱錐，依題意可得BBi1面ABiC,即可得到BBi1EB〉再由EE1平面ABC得到EF1EB,

即可得到F為OE的中點，最后根據(jù)V=Vo-ABC—V（）_A1B1C1=gVo.ABC計算可得.

【詳解】（1）因為ABi^BBi，CBi1BBV所以二面角A-BB1一C的平面角為4ABic.

因為NABB1=NCBB1=60。，BBi=1,所以ABI=CBI=K,AB=CB=2.

因為ABJ.BC,所以AC=2&.

2

因為AC=AB"+CB?-2ABi?CBt-COSNAB?

所以coszAB^C=—p故二面角A—BB]—C余弦值為—g.

(2)因為ABC-AiBig是三棱臺，所以直線AAi、BBnCg共點，設(shè)其交點為0,

因為E、F分別是棱AC、A1。的中點，所以直線EF經(jīng)過點O.

因為ABJBBi，CBi1BB1；AB〔CCB1=B1且AB1,CB】u面AB?所以BB】_L面AB?

又EBiU面ABC所以BB—EBi.

因為EB=&,BBj=1,所以NBjBE=45。.

因為EE_L平面ABC,EBu平面ABC,所以EF_LEB,

所以EF=BBI?sin/EBBi=苧，OE=EB=&,故F為OE的中點.

三棱臺ABC-A隹iCi的體積V=V0.ABC-V0.A1B1C1=(VO_ABC

71CLc711OO7A/2

=-X—xOExSARC=-x—x72x—x2x2=—

83△AAH83212

11.如圖，在四棱錐P-A8MN中，△PNM是邊長為2國的正三角形，AN1NP,AN//BM,AN=3?BM=

V3,AB=2V6,C,。分別是線段AB,NP的中點.

A

(1)求證：CD〃平面PBM；

(2)求四棱錐P-力BMN的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵12

【分析】(1)取MN中點Q,連接CQ,DQ,則由已知條件結(jié)合線面平行的判定可證得DQ||平面BMP,CQ||

平面BMP,則平面CDQ||平面BMP,再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)過B作BE||MN交AN于E,可證得AEJ.BE,貝!JAN_LNM,得AN_L平面NMP,再由面面垂直的判

定可得平面ANMB1平面NMP,再利用面面垂直的性質(zhì)可得PQ上平面ANMB,從而可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，取MN中點Q,連接CQ,DQ,

因為D是線段NP的中點

所以DQ||MP,

因為DQC平面BMP,MPu平面BMP,

所以DQ||平面BMP.

因為在梯形ABMN中，Q為MN的中點，C是AB的中點,

所以CQ||MB,

因為CQC平面BMP,MBu平面BMP,

所以CQII平面BMP,

因為DQCCQ=Q,DQ,CQu平面CDQ,

所以平面CDQ||平面BMP,

因為CDu平面CDQ,

所以CD||平面BMP；

(2)如圖，在梯形ABMN中，過B作BE||MN交AN于E,則四邊形MNEB為平行四邊形，

所以MN=EB=2V3,

在AAEB中，得AE=2%,BE=2b，AB=2逐，

則AB2=AE2+BE2,所以AE_LBE,

因為BE||MN,

所以AN1NM,

XAN1NP,NMnNP=N,NM,NPu平面NMP,

所以AN_L平面NMP,

XANu平面ANMB,

平面ANMB1平面NMP,

連接PQ,因為APNM為等邊三角形，Q為MN的中點，

所以PQ1MN,

又平面ANMBC面NMP=MN,PQu平面MNP,

所以PQ，平面ANMB,

因為在等邊APNM中，MN=2V3,Q為MN的中點，

所以PQ=3,

所以四棱錐P-ABMN的體積為：

IXS梯形ABMNXPQ=ixix(3g+g)x2bx3=12.

12.如圖所示，在直四棱柱力BCD中，AB//CD,ABLAD,且AB=AD=1,CD=2,M是的

中點.

(1)證明：BClBjM；

⑵若為M1CM,求四棱柱力BCD-48修1%的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)372

【分析】(1)連接BD,求出BD、BC,即可得至(JBC1BD,由線面垂直得到BB11BC,即可證明BC1平面

BiBDDi，從而得證；

(2)設(shè)AAi=2a(a>0),利用勾股定理表示出當(dāng)!^、CM2,BiC2,再由B】M_LCM求出a,最后根據(jù)柱體

體積公式計算可得.

【詳解】(1)如圖，連接BD,?；AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AB1AD,

BD=VAB2+AD2=V2,BC=J/+(2-1產(chǎn)=V2,

vBBi1平面ABCD,BCu平面ABCD,BB11BC,

又BBiCBD=B,BBi，BDu平面BiBDDi，BC_L平面B$DDi，

???BiMu平面BiBDDi，BCIBiM.

(2)設(shè)AAi=2a(a>0),則由已知可得RjM?=B。：+DiM?=2+a?,

CM2=CD2+MD2=4+a2,BjC2=BB^+BC2=2+4a2,

1CM,BiM?+CM2=8也2,BP2+a2+4+a2=2+4a2,

解得a=V2(負值舍去)，??.AAi=2V2,

二四棱柱ABCD-AiBiJDi的體積V=S梯形ABCD-AAJ=1X(1+2)X1X2V2=3A/2.

13.在四棱錐P-力BCD中，ABCD為等邊三角形，ADAB=120°,AD=AB=PD=PB=2,點E為PC

的中點.

(1)證明：8￡7/平面PAD；

(2)已知平面PBD_L平面力BCD,求三棱錐P-4BE的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)作出輔助線，證明出面面平行，進而得到線面平行；

(2)作出輔助線，由面面垂直得到POL平面ABCD,結(jié)合AD=AB=PD=PB=2,求出各邊長，利用

線段比例關(guān)系和等體積法求解三棱錐的體積.

【詳解】(1)證明：取CD的中點M,連EM,BM,

；E為PC中點，

/.EM//PD,

又EMC平面PAD,PDu平面PAD,EM〃平面PAD,

又：ABCD為等邊三角形，AMBXCD,

?/Z.DAB=120°,AD=AB,

/.Z.ADB=NABD=30°,ZADC=ZCDB+ADB=60°+30°=90°,

AAD±CD,

/.MB//AD,

又MB0平面PAD,ADu平面PAD,

，MB〃平面PAD,EMnMB=M,EM,MBc3p?EMB,

平面EMB〃平面PAD,

VEBu平面EMB,

；.EB〃平面PAD.

(2)連接AC交BD于O,連接PO,

因為BC=CD,AD=AB,AC垂直平分BD,

故。為BD中點，AC±BD,

因為PD=PB=2,所以PO_LBD,

:平面PBD_L平面ABCD,交線為BD,POu平面PBD,

；.PO_L平面ABCD,

VAD=AB=PD=PB=2,

/.BO=OD=2cos30°=V3,

由勾股定理得PO=AO=J22-V32=1,

法1：因為ADJ_CD,CD=2V3,所以SAACD=；AD?CD=2百，

因為EM〃PD,M為CD中點，

所以Vp-ABE=Vp_ADE=VE_PDA=VM-PDA=Vp-MDA=|Vp_CDA=|X|X2近X1=

法2：因為ABLBC,BC=2V3,所以S&ABC=*B?BC=2百，

因為E為PC中點，所以Vp_ABE=VB-APE=^VB-APC=^Vp-ABC=gxgx2V3X1=奈

14.如圖，平面多邊形ZBCDE,EA=ED=AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,^BAD=p將△ADE沿

著AD翻折得到四棱錐P-ABCD,使得PB=粕,F、G分別是PB、CD的中點.

（1）證明：FG〃平面PAD；

（2）求點G到平面/MB的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2喑

【分析】（1）先利用中位線定理得到FH〃PA,再利用線面平行的判定得到FH//平面PAD,同理得至UGH〃

平面PAD,從而利用面面平行的判定得到平面FGH〃平面PAD,由此利用面面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）先利用線面垂直的判定和面面垂直的判定與性質(zhì)得到P01平面ABCD,再利用體積相等即可求解.

【詳解】（1）如圖，取AB中點H,連接FH,GH.

VF,H分別是PB,AB的中點，AFH//PA.

VPAu平面PAD,FH，平面PAD,；.FH〃平面PAD.

VG,H分別是CD,AB的中點，.-.GH//DA,

VDAu平面PAD,GH仁平面PAD,；.GH〃平面PAD.

又；FH,GHu平面FGH,FHnGH=H,

平面FGH〃平面PAD,

：FGu平面FGH,；.FG〃平面PAD.

(2)如圖，取AD中點0,連接P0,B0.

:AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,/BAD=泉

.-.0A=0D=1,OB=DC=V3,OB1AD,AB=2.

；PA=PD=AD=2,APO1AD,PO=百，

又PB=VS,貝！JPO2+BC>2=PB2,APO1OB,

又P010D,ODnOB=0,OD,OBu平面ABCD,，PO1平面ABCD,

SAGAB=SABCD-SAGBC-SAADG=1x(l+2)xV3--|xlXy--|x2Xy=苧,

VP-GAB-&AGAB,PO=Ix學(xué)xV3=I，SAPAB=IxV6xJ2?一(苧)=苧,

設(shè)點G到平面PAB的距離為d,VG-PAB=^SAPAB.d=gX

3位

d=

10

15.如圖，矩形力BCD所在的平面與平面ABE垂直，且AE_LBE.已知力B==2BE=2.

⑴求證：BE1DE；

(2)求四棱錐E-A8CD的表面積.

【答案】(1)證明見解析

77+2遮+5

(2)2

【分析】(1)由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明AD_L平面ABE,由此可得BEJ.AD,結(jié)合AE_LBE根據(jù)線

面垂直判定定理證明BE1平面ADE,由此可得結(jié)論；

(2)由條件依次求出各各面的面積相加即可.

【詳解】(1)因為平面ABCD_L平面ABE,平面ABCDn平面ABE=AB,

且ADJ.AB,ADu平面ABCD,

，AD1平面ABE,又BEu平面ABE,

ABE1AD,XAE1BE,且AEnAD=A,AE,ADu平面ADE,

/.BE1平面ADE,又DEu平面ADE,

ABE1DE.

(2)因為AB=2AD=2BE=2,

所以矩形ABCD的面積為2,

在R3ABE中，BE=1,AB=2,故AE=百，

故^ABE的面積為圣

RtAADE和RtABCE的面積分別為看吟

而EC=&,DE=2,CD=2,

故CE邊上的高為工4一；=

故4CDE的面積為(xV2x^p=y,

故四棱錐E—ABCD的表面積為2+9+亨+[+/=必等里

16.已知四棱錐P-力BCD的底面是正方形，ACCiBD=0,PA=PD=V5,PO=V3,4D=2,E是棱PC上任

p

(1)求證：平面BDE1平面PAC；

⑵若PE=2EC,求點4到平面BDE的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2嚕

【分析】（1）由勾股定理證得P010A,P010D,得到P01平面ABCD,證得POLBD,從而證得BD，

平面PAC,進而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面BDE，平面PAC；

（2）根據(jù)題意點A到平面BDE的距離轉(zhuǎn)化為C到平面BDE的距離，過點C作CM10E證得CM,平面BDE,

轉(zhuǎn)化為AOCE邊0E的高CM,在AOCE中，利用面積相等，即可求解.

【詳解】（1）證明：因為ABCD是正方形，且AD=2,可得AO=DO=?,且AC1BD,

又因為P02+0A2=PA2,PO2+0D2=PD2,可得P01OA,PO10D,

因為OAC0D=0且OA,ODu平面ABCD,所以P0，平面ABCD,

又因為BDu平面ABCD,所以PO1BD,

因為ACnPO=O,且AC,POu平面PAC,所以BD1平面PAC,

又因為BDu平面BDE,所以平面BDE1平面PAC.

（2）解：因為AC與平面BDE交點為。，且OA=OC,

可得點A到平面BDE的距離等于C到平面BDE的距離，

過點C作CM10E于點M,

由（1）知BD1平面OCE,且CMu平面OCE,所以BD1CM,

因為BDC0E=0且BD,OEu平面BDE,所以CM_L平面BDE,

即C到平面BDE的距離為^OCE邊0E的高CM,設(shè)為h=CM,

過E作EG_LOC于G,貝ljEG=1PO=/,OG=：OC=『，所以0E=^,

所以h=竽=尊=等，即點A到平面BDE的距離等于萼.

OEV—1111

17.在三棱錐?！?8C中，AB==OB==120°,平面BC。1平面ABC,S.OB1AB.

o

(1)證明：OB，AC；

(2)若尸是直線。C上的一個動點，求直線AF與平面4BC所成的角的正切值最大值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)證明即可；

(2)作出直線AF與平面ABC所成的角，并得到該角正切的函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)求解作答.

【詳解】(1)在三棱錐O-ABC中，在平面ABC內(nèi)過點B作直線BDLBC,如圖，

因為平面BCO1平面ABC,平面BCOn平面ABC=BC,BDu平面ABC,

所以BD1平面BCO,又OBu平面BCO,所以O(shè)B_LBD,

因為OB1AB,ABCBD=B,AB,BDu平面ABC,

所以又ACu平面ABC,

所以O(shè)BJ.AC.

(2)過F作FH〃OB交BC于H,連接AH,由(1)知FH1平面ABC,

因此NFAH是直線AF與平面ABC所成的角，

又AH,BCu平面ABC,所以FH1AH,FH1BC,

設(shè)FH=t,由OB=BC=2,OB1BC,得NFCH=45°,CH=FH=t,

又AB=BC=2,/ABC=120°,所以NACB=30°,AC=2BCcos30°=2日，

在AACH中，由余弦定理，

得AH2=AC2+CH2-2AC-CHcos30°=12+t2-2X2倔X—=t2-6t+12,

所以tan2/FAH=黑=-=東=白韋W4,當(dāng)且僅當(dāng)t=4時取等號,

所以直線AF與平面ABC所成的角的正切值最大值為2.

18.如圖，在四棱錐P-2BCD中，平面P481平面4BCD,底面力BCD為菱形，△PAB為等邊三角形，且P4=2,

PCLCD,。為4B的中點.

(1)若E為線段PC上動點，證明：AB10E-,

(2)求點B與平面PCD的距離.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)因E為線段PC上動點，明顯要證明AB，平面POC,利用線面垂直判定定理，分別證明PC1AB,

OP1AB即可；

(2)利用等體積變換求距離即得.

連接OC,0P.

：APAB為等邊三角形，二OP1AB,OA=1,OP=百,

又,??平面PAB_L平面ABCD,平面PABC平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

OP_L平面ABCD,

又???OCU平面ABCD,OP1OC,

?-?PC1DC,CD||AB,.-?PC1AB,

x---OP1AB,OPu平面POC,PBu平面POC,OPnPC=P,

AB平面POC

又；OEu平面POC,AB1OE

（2）由（1）矢口AB1平面POC

OCu平面POC,AAB1OC.

由題意BC=AB=PA=20B=2,

/.PO=OC=V3,PC=V6,

△BOC中，ZCBO=p

/.△BDC中，ZBCD=y,

...△BDC中，由余弦定理得BD=2V3,

設(shè)點B到平面PCD的距離為h,

則VB-PCD=VP-BCD即（SAPCD'h=|SABCD-OP,

ihxix2xV6=ixV3xix2x2xsin—,

32323

得h=當(dāng)，

故點B與平面PCD的距離為當(dāng)

19.如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形力BCD與2BEF均為直角梯形，AD//BC,AF//BE,D41平面4BEF,

AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2,G在4尸上，且力G=1.

(1)求證：BG〃平面DCE；

⑵若BF與CE所成的角為60°,求多面體A8CDEF的體積.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）延長DC交AB于點M,連接EM,根據(jù)已知求得BM=AB=2,易證AGEB為平行四邊形，

WEG//AB,則BMEG為平行四邊形，即BG〃EM,最后應(yīng)用線面平行的判定證結(jié)論；

（2）取AD的中點N,可得CE〃NG,在平面ABEF內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P,得NNGP=60。,

證明GP為AAFB的中位線，由棱臺結(jié)構(gòu)特征確定ABCDEF為棱臺，最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積.

【詳解】（1）延長DC交AB于點M,連接EM,則EM在面DCE內(nèi)，

由BC〃DA,則粵=裂，又AD=AB=2BC=2,

AMDA

所以懸=3可得BM=AB=2,

由AF〃BE,G在AF上且AG=BE=1,故AGEB為平行四邊形，

則EG〃AB,且EG=AB,又A,B,M共線，

所以EG〃BM,且EG=BM,故BMEG為平行四邊形，則BG〃EM,

所以NCEG為平行四邊形，貝！JCE//NG,

在平面ABEF內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P,

所以BF與CE所成的角，即為NG與GP所成角，貝此NGP=60°,

DA1?平面ABEF,AG,APu平面ABEF,則DA_LAG,DA1AP,而AN=AG=1,

設(shè)AP=x,則ANGP中，NG=VAG2+AN2=&,NP=VAP2+AN2=Vx2+1,

PG=VAG2+AP2=Vx2+1,4NGP=60°,則4NGP為等邊三角形，

故Vx2+1=V2,即X=1,

所以在AAFB中，P為AB的中點，且GP〃FB,故GP為AAFB的中位線,

所以AF=2AG=2,易知多面體ABCDEF為棱臺，且BC1BE,且BC=BE=1,

體積V=VM_AFD-VM_BEC=|xiXAFxADxMA-|x|xBExBCxMB=^.

20.如圖1,E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊48、CD、4)的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三

角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形2BCFG沿著線段EF折起，連接48、CG就得到了一個空間五面體，如圖2.

圖1圖2

(1)若。是四邊形EBCF對角線的交點，求證：A。//平面GCF；

(2)若NAEB=p求三棱錐力-BE尸的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)在圖2中取線段CF中點H,連接OH、GH,證明出四邊形AOHG是平行四邊形，可得出AO//HG,

再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)證明出EF1平面ABE,計算出AABE的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐A-BEF的體積.

【詳解】(1)證明：在圖2中取線段CF中點H,連接OH、GH,如圖所示：

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB,

因為0是線段BF與CE的中點，所以，OH〃BC且OH=(BC,

在圖1中，AG〃EF且AG=^EF,而EF〃BC且EF=BC.

所以在圖2中，AG//BCMAG=|BC,

所以，AG〃OH且AG=OH,

所以，四邊形AOHG是平行四邊形，則AO〃HG,

由于AOC平面GCF,HGu平面GCF,所以，AO〃平面GCF.

(2)解：翻折前，EF1AE,EF1BE,

翻折后，貝IJEF1AE,EF1BE,AE、BEu面ABE,AEnBE