2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 圓錐曲線的方程 3.1 橢圓 3.1.2 第1課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案 新人教A版選擇性必修第一冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.2第1課時(shí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案新人教A版選擇性必修第一冊課題：科目：班級：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.1.2節(jié)，即橢圓的簡單幾何性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容主要包括橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)和離心率的定義及性質(zhì)。這些內(nèi)容與學(xué)生在之前學(xué)過的平面幾何中的圓、二次曲線等知識(shí)點(diǎn)有密切聯(lián)系。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)性質(zhì)，如半徑、直徑、圓心等。在本節(jié)課中，橢圓可以看作是圓在平面內(nèi)的一種特殊拉伸，從而引出橢圓的幾何性質(zhì)。此外，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中還掌握了二次方程的解法和圖形繪制，這為理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像奠定了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步深化對圓錐曲線的認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線等打下基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。通過橢圓的簡單幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠抽象出橢圓的概念，理解橢圓與圓之間的聯(lián)系與區(qū)別，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在探索橢圓性質(zhì)的過程中，學(xué)生運(yùn)用邏輯推理能力，從特殊到一般，歸納出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何特性，加強(qiáng)邏輯思維能力。同時(shí)，學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，建立橢圓模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，為解決復(fù)雜問題奠定基礎(chǔ)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法本節(jié)課的重點(diǎn)在于橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用。難點(diǎn)在于橢圓離心率的理解及其與橢圓幾何性質(zhì)之間的關(guān)系。

解決方法及突破策略：

1.對于橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，通過引入實(shí)際生活中的橢圓實(shí)例，如地球公轉(zhuǎn)軌道、體育場的跑道等，幫助學(xué)生形象化理解橢圓的概念。通過動(dòng)態(tài)幾何軟件演示橢圓的畫法，讓學(xué)生直觀感受標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。

2.針對橢圓離心率的難點(diǎn)，設(shè)計(jì)階梯式問題，從橢圓的長軸、短軸到焦距，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)離心率與橢圓形狀之間的關(guān)系。采用小組討論的形式，讓學(xué)生在合作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解離心率的含義及其計(jì)算方法。

3.教學(xué)中結(jié)合具體例題，讓學(xué)生通過解答問題，鞏固重點(diǎn)知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)解決難點(diǎn)問題。適時(shí)給予提示和引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立解題思路，形成解決問題的策略。同時(shí)，通過變式訓(xùn)練，提高學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用能力，突破難點(diǎn)。四、教學(xué)方法與策略本節(jié)課將采用講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法。首先，通過講授法向?qū)W生介紹橢圓的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)。其次，設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生針對橢圓離心率等難點(diǎn)問題進(jìn)行探討，提高學(xué)生的參與度和互動(dòng)性。此外，結(jié)合案例研究，引入實(shí)際問題，如橢圓在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)活動(dòng)中，組織學(xué)生進(jìn)行角色扮演，模擬科學(xué)家探索橢圓性質(zhì)的過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性。同時(shí)，利用多媒體教學(xué)工具，如幾何畫板和動(dòng)態(tài)演示軟件，幫助學(xué)生直觀理解橢圓的幾何特性，提高教學(xué)效果。通過以上教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，提高課堂學(xué)習(xí)效率。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)總時(shí)長：45分鐘

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-利用多媒體展示地球繞太陽公轉(zhuǎn)的動(dòng)畫，提問學(xué)生：“這個(gè)軌道是什么形狀？它與我們之前學(xué)過的圓有什么關(guān)系？”

-學(xué)生觀察并回答，引出橢圓的概念，激發(fā)學(xué)生對橢圓學(xué)習(xí)的興趣和求知欲。

2.講授新課（15分鐘）

-介紹橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，如焦點(diǎn)、離心率等。

-結(jié)合動(dòng)態(tài)幾何軟件，直觀演示橢圓的畫法和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。

-強(qiáng)調(diào)橢圓與圓的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

-設(shè)計(jì)具有代表性的練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

-引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論，共同解決問題，促進(jìn)師生互動(dòng)和生生互動(dòng)。

4.課堂提問（5分鐘）

-針對橢圓的幾何性質(zhì)，提出具有思考性的問題，如：“橢圓的離心率與哪些因素有關(guān)？”

-鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過邏輯推理和數(shù)學(xué)建模解決問題。

5.創(chuàng)新教學(xué)環(huán)節(jié)（5分鐘）

-角色扮演：讓學(xué)生扮演科學(xué)家，探索橢圓的性質(zhì)，匯報(bào)研究成果。

-情境創(chuàng)設(shè)：提出實(shí)際問題，如橢圓在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，讓學(xué)生思考如何運(yùn)用橢圓知識(shí)解決問題。

6.解決問題及核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-針對難點(diǎn)問題，設(shè)計(jì)梯度性問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問題，突破難點(diǎn)。

-結(jié)合數(shù)學(xué)建模和邏輯推理，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

7.總結(jié)與反思（5分鐘）

-對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

-鼓勵(lì)學(xué)生反思自己在課堂上的表現(xiàn)，提出改進(jìn)措施，為下一節(jié)課做好準(zhǔn)備。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)注重師生互動(dòng)，凸顯教學(xué)重難點(diǎn)，通過創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、角色扮演等多種教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。在教學(xué)過程中，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，注重課堂創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，提高課堂學(xué)習(xí)效果。六、知識(shí)點(diǎn)梳理1.橢圓的定義

-橢圓是平面上到兩個(gè)固定點(diǎn)（焦點(diǎn)）距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

-這兩個(gè)固定點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)之間的距離稱為焦距，記為2c。

-到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和等于橢圓的長軸長度，記為2a。

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（焦點(diǎn)在x軸上）或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（焦點(diǎn)在y軸上）。

-其中，a為半長軸，b為半短軸，且a>b。

-當(dāng)焦點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡化為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。

3.橢圓的幾何性質(zhì)

-焦點(diǎn)：橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，位于長軸的兩側(cè)。

-離心率：橢圓的離心率e定義為$c/a$，表示橢圓形狀的扁平程度，0<e<1。

-半軸：橢圓有兩個(gè)半軸，長軸2a和短軸2b。

-弓形：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率e。

-對稱性：橢圓具有兩條對稱軸，分別為x軸和y軸（取決于焦點(diǎn)的位置）。

4.橢圓的簡單應(yīng)用

-計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

-根據(jù)給定的焦點(diǎn)和半軸長度，繪制橢圓的圖像。

-計(jì)算橢圓上一點(diǎn)的切線斜率。

-解決與橢圓有關(guān)的實(shí)際問題，如橢圓軌道的物體運(yùn)動(dòng)分析。

5.橢圓與圓的關(guān)系

-圓是橢圓的特殊情況，當(dāng)橢圓的離心率e=0時(shí)，橢圓退化為圓。

-圓的半徑等于橢圓的半長軸和半短軸。

6.橢圓的推導(dǎo)和證明

-利用橢圓的定義推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程。

-證明橢圓的幾何性質(zhì)，如焦點(diǎn)、離心率、對稱性等。

7.練習(xí)題

-根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，解決基本的幾何問題。

-應(yīng)用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問題，如橢圓的面積計(jì)算、焦點(diǎn)定位等。七、課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《圓錐曲線的數(shù)學(xué)歷史與發(fā)展》

-視頻資源：《橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用》

2.拓展要求：

-鼓勵(lì)學(xué)生閱讀《圓錐曲線的數(shù)學(xué)歷史與發(fā)展》，了解橢圓等圓錐曲線的起源、發(fā)展及其在數(shù)學(xué)史上的重要地位。

-觀看《橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用》視頻，了解橢圓在建筑、工程、天文學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

-學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)過程中，如遇到疑問，可向教師尋求指導(dǎo)和幫助。

-布置一道綜合性的思考題，要求學(xué)生結(jié)合閱讀材料和視頻內(nèi)容，探討橢圓在現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)具體應(yīng)用實(shí)例，并撰寫小論文。八、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)

-通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)。

-強(qiáng)調(diào)橢圓與圓的關(guān)系，理解橢圓的離心率及其幾何意義。

-學(xué)會(huì)運(yùn)用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

2.當(dāng)堂檢測

（1）選擇題

1.以下哪個(gè)選項(xiàng)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

A.$x^2+y^2=a^2$

B.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

C.$x^2-y^2=a^2$

D.$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

2.橢圓的離心率e滿足以下哪個(gè)條件？

A.0<e<1

B.e>1

C.e=1

D.e<0

（2）填空題

1.橢圓的焦點(diǎn)位于________軸上，且距離原點(diǎn)的距離為________。

2.橢圓的離心率e等于________