北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義-角與角的比較8類(lèi)重點(diǎn)題型訓(xùn)練（原卷版）

第02講角與角的比較（8類(lèi)熱點(diǎn)題型講練）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握角的定義及其表示及角的分類(lèi);

2.掌握角的單位轉(zhuǎn)化及計(jì)算；

3.掌握鐘面角與方位角的計(jì)算.

4.掌握角的大小比較的方法；

5.掌握角平分線(xiàn)的定義及相關(guān)計(jì)算；

6.掌握角的〃等分的相關(guān)計(jì)算；

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01角的概念

定義1:有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊.

定義2：一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.

知識(shí)點(diǎn)02角的表示方法

表示方法圖例記法適用范圍

0AZAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫(xiě)

用三個(gè)大寫(xiě)字母表示

或“04在中間

用一個(gè)大寫(xiě)字母表示AZA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加

上弧線(xiàn)表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘

用希臘字母表示oTZa字母

知識(shí)點(diǎn)03鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°,時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,

時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)04角的大小比較

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.

如比較NAOB和的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得44。氏/4。0；由圖⑵可得NAOB=N4。的；

由圖（3）可得/.

知識(shí)點(diǎn)05角的和、差關(guān)系

如圖所示，ZAOB是/I與N2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；Z1是與/2的差，記作:

Z1=ZAOB-Z2.

【說(shuō)明】（1）用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻

度尺上的零度線(xiàn)重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線(xiàn)的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知識(shí)點(diǎn)06角平分線(xiàn)

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).如圖所示，OC是

NA08的角平分線(xiàn)，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

題型精講

題型01角的概念及表示方法

【典例1】(2023春?河北承德?七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試)下列說(shuō)法中，正確的是()

A.一個(gè)周角就是一條射線(xiàn)B.平角是一條直線(xiàn)

C.角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大D.N4O3也可以表示為ZBQ4

【變式1】(2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題)如圖所示，回答下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出能用一個(gè)字母表示的角：；

(2)寫(xiě)出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角；

(3)圖中共有個(gè)小于平角的角.

【變式2](2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))根據(jù)給出的圖回答下列問(wèn)題:

⑴N1表示成NA,這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正?

⑵圖中哪個(gè)角可以用一個(gè)字母來(lái)表示？

(3)以A為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)表示出來(lái).

(4)24X?與NACD是同一個(gè)角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑸圖中共有幾個(gè)小于平角的角？

題型02鐘面角

【典例2】（2023春?陜西西安?七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）8點(diǎn)30分時(shí)刻，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為

度.

【變式11（2023秋?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）李老師7:15從家出發(fā)去單位上班，到單位的時(shí)間是7:50,

那么這段時(shí)間，分針走了。，時(shí)針走了°，

【變式2］（2023春?山西太原?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我校下午到校時(shí)間為14時(shí)10分，則此時(shí)刻鐘表上的

時(shí)針與分針的夾角為度.

題型03與方向角有關(guān)的計(jì)算題

【典例3］（2023春?湖北十堰?七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在燈塔。處觀(guān)測(cè)到輪船A位于北偏西54。的方向,

同時(shí)輪船3在南偏東15。的方向，那么—AO3的大小為（）

A.141°B.111°C.159°D.69°

【變式1］（2023秋?河北張家口?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲從點(diǎn)A出發(fā)向北偏東60。方向走到點(diǎn)8,乙從點(diǎn)

A出發(fā)走到點(diǎn)C,若/B4C=140。，則乙從點(diǎn)A出發(fā)沿（）方向走到點(diǎn)C

A.南偏西30°B.西偏南40°C.南偏西20°D.西偏南20。

【變式2］（2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題）小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店。碰面，

小麗家A在早餐店南偏西20。方向上，小影家在點(diǎn)。處，小華家C在早餐店?yáng)|南方向上，/COS=77。，且

早餐店到小華家與小麗家的距離相等.

⑴在圖中畫(huà)出小華家的位置c；

(2)求ZAOS的度數(shù)；

⑶若/DOS=85。，請(qǐng)說(shuō)出小影家。相對(duì)于早餐店的位置.

題型04角的單位與角度制

【典例4】(2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題)計(jì)算：

(1)49.9°=°'；

(2)25°42f=°；

(3)18。46'55"+27。17'24〃=.

【變式1】(2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題)(1)1周角=—平角=一直角;

(2)1°=—z=〃；

(3)1.25°='，5400"=_。.

【變式2](2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題)計(jì)算：

(1)180。-46。42'=；

(2)28。36'+72。24'=；

(3)50。24&3=；

(4)49。28'52"+4=.

題型05角的比較

【典例5】(2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，ZAOB=ZCOD,則/AOC與NDO5的大小關(guān)系是(

D

C

A.ZAOC>ZDOBB.ZAOC<ZDOB

C.ZAOC=ZDOBD.NAOC與/DOB無(wú)法比較大小

【變式1】（2023秋,湖南郴州?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，若NAOB>/COD,則ZAOD與NBOC的

大小關(guān)系是（）.

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOD<ZBOC

C.ZAOD>ZBOCD.不能確定

【變式2］（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在圖中所示的4x4的網(wǎng)格中，記ADEF=/3,NCGH=y,

則P，%從小到大的排列順序是.

題型06三角板中角度計(jì)算問(wèn)題

【典例6】（2023春?山東淄博?六年級(jí)校考階段練習(xí)）將一副直角三角尺如圖放置，若ZBOC=160。，貝|ZAOD

【變式11（2023秋,江西九江,七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直角三角板COD的直角頂點(diǎn)。在直線(xiàn)AB上，線(xiàn)段OC,

。。是三角板的兩條直角邊，射線(xiàn)0E是48的平分線(xiàn).

⑴當(dāng)NCOE=30。時(shí)，求，BOD的度數(shù)；

（2）當(dāng)NCOE=<z時(shí)，NBOD=（用含a的式子表示）.

【變式2］（2023春?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，以直線(xiàn)A8上的一點(diǎn)。為端點(diǎn)，在直線(xiàn)A3的上

方作射線(xiàn)OP,使40尸=70。.將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，且直角三角尺（/MON=90。）

在直線(xiàn)A3的上方.設(shè)/5?！?〃。（0<〃<90）.

（1）當(dāng)”=32時(shí)，求NPON的大?。?/p>

（2）若0<〃<70時(shí)，求NAON—NPOAf的值.

題型07角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算

【典例7］（2023秋?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知。為直線(xiàn)A8上一點(diǎn)，NCOE是直角，。尸平分NAOE.

（1）如圖①，若NCOF=34°,則ZBOE=；若ZCOF=nf,則ZBOE=；ZBOE與ZCOF

的數(shù)量關(guān)系為；

（2）當(dāng)射線(xiàn)0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，（1）中/BOK與NCOb的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【變式4（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，NAO3是平角，分別是NAOCNBOD的平分線(xiàn).

⑴當(dāng)NMON=140。時(shí)，求NCOD的度數(shù);

⑵當(dāng)NCO￡>=x。時(shí)，求NMON的度數(shù).

【變式2］（2023秋?江蘇徐州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1所示，已知ZAOB=120。，OC平分,

OD、OE分別平分/AOC、ZCOB,求/DOE的度數(shù)；

（2）如圖2,在⑴中把“OC平分-4OB"改為"OC是-403內(nèi)任意一條射線(xiàn)”，其他任何條件都不變,

試求/DOE的度數(shù)；

（3）如圖3,在（1）中把"OC平分—AO3"改為"OC是—AO3外的一條射線(xiàn)且點(diǎn)C與點(diǎn)8在直線(xiàn)AO的

同側(cè)"，其他任何條件都不變，請(qǐng)你直接寫(xiě)出NDOE的度數(shù)

題型08角〃等分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算

【典例8】（2023秋?山西大同?七年級(jí)統(tǒng)考期末）在4OB的內(nèi)部作射線(xiàn)OC,射線(xiàn)OC把分成兩個(gè)

角，分另1J為NAOC和13OC,ZAOC-1ZAOBZBOC-1ZAOB,貝U稱(chēng)射線(xiàn)OC為NAO3的三等分

線(xiàn).若NAO3=60。，射線(xiàn)OC為—AO3的三等分線(xiàn)，則/AOC的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【變式1】（2023秋?浙江湖州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：從-AO3的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線(xiàn)OC,

把1403分成1:2的兩部分，射線(xiàn)OC叫做4OB的三等分線(xiàn).若在NMON中，射線(xiàn)OP是NMON的三等

分線(xiàn)，射線(xiàn)OQ是/MOP的三等分線(xiàn)，設(shè)=則NMON用含x的代數(shù)式表示為（）

9,,999,9.9

A.-x或3x或一xB.—龍或3x或9尤C.一龍或一元或9xD.3x或一龍或9x

424422

【變式2］（2023秋?福建龍巖?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知ZAOB=120。，以射線(xiàn)為起始邊，按順時(shí)針?lè)较蛞来?/p>

作射線(xiàn)OC、OD,使得NCOD=60。，設(shè)NAOC=6,0°<0<180°.

⑵備用圖①，當(dāng)60。<。<120。時(shí)，試探索ZAOD與—BOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶備用圖②，當(dāng)120。49<180。時(shí)，分別在/AOC內(nèi)部和內(nèi)部作射線(xiàn)OE,Ob，使ZAOE=：ZAOC,

ZDOF=^ZBOD,求NEOP的度數(shù).

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023秋,七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列表示角的方法，錯(cuò)誤的是（）

A.N1與/AOB表示同一個(gè)角B./49C也可用/O來(lái)表示

C.圖中共有三個(gè)角：NAOB,ZAOC,NBOCD.4?表示的是N3OC

2.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若ZA=20oi8',/B=20oi5'30",NC=20.25。，則（）

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZB

D.ZC>ZA>ZB

3.（2023秋?山西忻州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.34.5°=34°5'B.90°-23°45,=66°15,

C.12°34,x2=25°18,D.24°24'=24.04°

4.（2023春?山東荷澤,七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，ZAOB=140°,過(guò)點(diǎn)0作射線(xiàn)OC,使得

/30C=100。，則ZAOC為（）

A.40°B.120°C.40。或90°D.40?；?20°

5.（2023春?河南信陽(yáng)?七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)。是直線(xiàn)A3上一點(diǎn)，OC平分NAOE,NDOE=90,

則以下結(jié)論：①N4OD與/BOE互為余角；@ZAOr>=|zCO￡；③NBOE=2NCOD；④若ZBOE=58,

則NCOE=61.其中正確的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

二、填空題

6.（2023春?山東泰安?六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：65。19'48?+35。17&=_.

7.（2023春?廣東河源?七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，ZAOC=50°,0B平分NCOE,ZCOE=36°,則NAO3=

度.

A

8.（2023秋?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，如果

ZAOD=126°,那么

D

9.（2023秋,七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明利用星期天搞社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8：00出發(fā)，中午12：30到家，小

明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是.

10.（2023春?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知NAO3=90。，射線(xiàn)OC繞點(diǎn)。從。4位置開(kāi)始，以

每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線(xiàn)繞點(diǎn)。從。3位置開(kāi)始，以每秒1。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并且

當(dāng)OC與。4成180。角時(shí)，OC與。。同時(shí)停止旋轉(zhuǎn).則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)一秒，OC與。。的夾角是

30°.

11.（2023秋?河南漠河?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，。為直線(xiàn)上一點(diǎn)，ZMOC=140°,Q4平分NMOC,

ZAOB^90°.

⑴填空：ZAOC=°；

（2）求/30N的度數(shù)；

⑶試判斷。3是否平分NNOC,并說(shuō)明理由.

12.（2023秋?吉林松原?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，貨輪?？吭?。點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的東北（東偏北45?；?/p>

北偏東45。）方向上.貨輪3在碼頭。的西北方向上.

西77