2025高考數(shù)學專項復習：立體幾何小題壓軸練（解析版）

立體幾何小題壓軸練-2025新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通

用）

一、單選題

1.（2023?山東濟寧?統(tǒng)考一模）已知直三棱柱N8C-N4G，。為線段4片的中點，E為

線段CG的中點，4?過△/GE的內(nèi)切圓圓心，且4D_LZ）G，CA=y[3,AB=2,則

三棱錐D-ABC的外接球表面積為（）

272727

A.—JiB.—7iC.—兀D.27it

842

2.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_中，

AB=2AtBt,AAX=2>/3,M為棱瓦G的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截

該正四棱臺的截面面積是（）.

A.巫B.C.1073D.6亞

42

3.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐。-/2C中，^ABC是

以NC為底邊的等腰直角三角形，△D/C是等邊三角形，/C=2后，又8。與平面/DC

所成角的正切值為正，則三棱錐N8C外接球的表面積是（）

2

A.8兀B.12兀C.14KD.16兀

4.（2023秋?湖南湘潭?高三校聯(lián)考期末）點M,N分別是棱長為2的正方體

ABCD-A^QD,中棱BC,CG的中點，動點P在正方形5CG4（包括邊界）內(nèi)運動.若

尸4〃面則P4的長度范圍是（）

5.（2023春?湖南?高三統(tǒng)考階段練習）正方體Z3CD-44的棱長為1,點P在三棱

錐G-BCD的表面上運動，且吊尸=走，則點P軌跡的長度是（）

3

AV3+2V6R2V3+V6

66

「V3+V6n2V3+V6

63

6.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有

幾何體“芻蔑”.現(xiàn)有一個芻薨如圖所示，底面48co為正方形，E尸〃平面48cD,四邊

形ABFE,CDE尸為兩個全等的等腰梯形，EF=；AB=2,且/￡=遙，則此芻薨的外

接球的表面積為（）

EF

7.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐尸-N8CD的五個頂點都在球面。上，底

面48CD是邊長為4的正方形，平面尸平面/BCD,且PA=PD=5則球面。

的表面積為（）

A.39兀B.407rC.41兀D.427t

8.（2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測）在矩形/BCD中，已知48=2/0=4,

E是N3的中點，將V/DE沿直線DE翻折成△耳￡?￡,連接4。，當二面角4-。E-C

的平面角的大小為60。時，則三棱錐4-CDE外接球的表面積為（）

4

二、多選題

9.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）蜜蜂是自然界的建筑大師，在18世紀初，法國數(shù)學家

馬拉爾迪指出，蜂巢是由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房（如圖）構成，其中每個蜂

房的底部都是由三個全等的菱形構成，每個菱形鈍角的余弦值是-；，則（）

A.ABII平面EDD[E]

B.ABVEF

C.峰房底部的三個菱形所在的平面兩兩垂直

D,該幾何體的體積與以六邊形4月G2&G為底面，以84為高的正六棱柱的體積相等

10.（2023春?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試）在四面體/BCD的四個面中，有公共棱/C

的兩個面全等，40=1,CD=42>ZCDA=90°,二面角8-/C-Z）大小為。，下列

說法中正確的有（）

A.四面體48CD外接球的表面積為3萬

B.四面體/BCD體積的最大值為也

6

C.若4D=4B,AD1AB,則6=120。

D.若4D=BC,6=120°,貝

3

11.（2023春?江蘇南京?高三南京市第五高級中學?？茧A段練習）已知正四棱臺

48co-44GA的上下底面邊長分別為4,6,高為正，￡是/畫的中點，則（）

B.平面8QD，平面44。。

C./￡〃平面

D.正四棱臺ABCD-A^QD.的外接球的表面積為104K

12.（2023秋?遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末）在正方體/G中，M為中點，N為BC中

點，尸為線段CG上一動點（不含C）過N,尸的正方體的截面記為則下列判斷

正確的是（）

A.當P為eq中點時，截面a為六邊形

CP1

B.當記＜5時，截面a為五邊形

C.當截面a為四邊形時，它一定是等腰梯形

D.設。，中點為。，三棱錐尸河乂的體積為定值

13.（2023春?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學考試）六面體48co-44GA中，底面/BCD、

44GA分別是邊長為4和2的正方形，側面CDDG、側面8CC4均是直角梯形，且

CG=3,CQ1CD.若該六面體為臺體，下列說法正確的是（）

A.六面體ABCD-A{BXCXDX的體積為28

9

B.異面直線。2與3片的夾角的余弦值為A

C.二面角的正弦值為迤

13

D.設P為上底面上一點，且則尸的軌跡為一個圓

14.（2023?山東?沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知圓錐頂點為S,高為1,底面圓

。的直徑N5長為2形.若C為底面圓周上不同于43的任意一點，則下列說法中正確

的是（）

A.圓錐S。的側面積為6島

3

B.AS/C面積的最大值為二

C.圓錐SO的外接球的表面積為9兀

D.若AC=BC,E為線段NC上的動點，貝、SE+BE的最小值為小+4行

15.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測）如圖，在正四面體/8CD中，棱N5的中點為M,棱

C。的中點為N,過的平面交棱8c于尸，交棱4。于0,記多面體C4MPN0的體積

為匕，多面體的體積為匕，則（）

A

AQBP

A.直線MQ與尸N平行B.

~AD~^C

C.點C與點。到平面"PNQ的距離相等D.匕=匕

16.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）已知異面直線a與b所成角為60。，

平面a與平面耳的夾角為80。，直線。與平面a所成的角為20°,點P為平面a、"外一

定點，則下列結論正確的是（）

A.過點P且與直線。、。所成角都是60。的直線有4條

B.過點尸且與平面/所成角都是30。的直線有4條

C.過點尸且與平面￡、口所成角都是40。的直線有3條

D.過點P與平面a成60°角，且與直線。成60°的直線有3條

17.（2023春?湖南?高三長郡中學校聯(lián)考階段練習）某同學參加綜合實踐活動，設計了

一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示，是由等高的半個圓柱和1個圓柱拼接而成，其中

四邊形/BCD是邊長為4的正方形，點G是弧上的動點，且C,￡,SG四點共面.下

列說法正確的有（）

A.若點G為弧C。的中點，則平面BED,平面BCG

B.存在點G,使得8G〃。尸

C.存在點G,使得直線CF與平面3CG所成的角為60。

D.當點G到平面8。尸的距離最大時，三棱錐G-3DF外接球的半徑R=2g

18.（2023春?江蘇南通?高三海安高級中學?？茧A段練習）如圖的六面體中，CA=CB

=CD=\,AB=BD=AD=AE=BE=DE=41>則（）

D

E

cy7/

A

A.CD，平面/8CB./C與所成角的大小為gC.CE=^

D.該六面體外接球的表面積為3兀

19.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會召開期間，某學

校組織了“喜慶二十大，永遠跟黨走，奮進新征程，書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的

冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，若球的體積為三；如圖②，托盤由邊長為4的

圖①圖②

A.直線與平面5環(huán)所成的角為冷

6

B.經(jīng)過三個頂點4優(yōu)。的球的截面圓的面積為:

C.異面直線/。與CF所成的角的余弦值為:

O

D.球離球托底面的最小距離為G+逅-1

3

20.（2023?廣東?高三校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形/BCD中，AB=4,BC=2,E為

邊45的中點，沿將VNDE折起，點A折至4處（4W平面N3CD）,若M為線段4c

的中點，平面與平面。E8C所成銳二面角。，直線4E與平面。所成角為"，

則在V/DE折起過程中，下列說法正確的是（）

A.存在某個位置，使得

B.△4EC面積的最大值為2逝

C.sintz=A/2sin/3

D.三棱錐4-EDC體積最大時，三棱錐4-EDC的外接球的表面積16兀

21.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）如圖，已知正三棱臺/2C-44G的上、下底面邊長分

別為2和3,側棱長為1,點P在側面2CG4內(nèi)運動（包含邊界），且/尸與平面BCC4

所成角的正切值為迷，則（）

A.C尸長度的最小值為6-1

B.存在點尸，使得/PLBC

C.存在點尸，存在點。eBC，使得/P〃4。

D.所有滿足條件的動線段/P形成的曲面面積為叵

3

22.（2023?江蘇南通?二模）如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐。-P3C的側棱長均為亞,

BC=2.若將正三棱錐/-網(wǎng)C繞3C旋轉，使得點/,尸分別旋轉至點H，尸'處，且H,

B,C,。四點共面，點H,。分別位于8c兩側，貝!I（）

D

A.A'D1CP

B.PP'〃平面WBDC

C.多面體尸PHADC的外接球的表面積為6兀

D.點4,P旋轉運動的軌跡長相等

23.（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829-1905）,德國機械工程專

家，機構運動學的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)

的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個

平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒

洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部

分圍成的幾何體.如圖所示，設正四面體Z8CD的棱長為2,則下列說法正確的是（）

A

A.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-逅

2

B.勒洛四面體被平面45。截得的截面面積是2（兀-百）

C.勒洛四面體表面上交線NC的長度為三

D.勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于2

24.（2023秋?浙江?高三浙江省永康市第一中學校聯(lián)考期末）正方體N3CD-4片的

棱長為1,中心為。，以。為球心的球與四面體的四個面相交所圍成的曲線的總

長度為其況，則球。的半徑為（）

3

.V15口亦「小「昭

?---D?---?-----J-/?-----

241263

三、填空題

25.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學?？寄M預測）已知矩形/BCD在平面C的同

一側，頂點A在平面上，AB=4,BC=2也，且48，5c與平面a所成的角的大小分

別為30。，45°,則矩形48cZ）與平面。所成角的正切值為.

26.（2023春?江蘇南通?高三?？奸_學考試）在直四棱柱中，底面/BCD

是邊長為1的正方形，側棱44=2,M為側棱54的中點，N在側面矩形/。烏4內(nèi)（異

于點2）,則三棱錐N-MCD\體積的最大值為.

27.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學?？计谀┰谌忮F尸-48c中，

AC=BC=PC,且/APC=NB尸C=4CS=30。，則直線尸C與平面/8C所成角的余

弦值為.

28.（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）已知正四棱柱的體積為16,E是棱

的中點，尸是側棱幺4上的動點，直線C/交平面于點P,則動點P的軌跡長度

的最小值為.

29.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？茧A段練習）蹴鞠（如圖所示），又名蹴

球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠

的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月

20日，蹴鞠作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產(chǎn)名錄.

已知某鞠（球）的表面上有四個點4,3,C,P,且球心。在PC1.,AC^BC=4,ACJ.BC,

tanZPAB-tanAPBA=—,貝U該鞠（球）的表面積為.

30.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習）在正四棱錐S-ABC。中，M為SC的中點，

過作截面將該四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為小匕，則9的

最大值是

立體幾何小題壓軸練-新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）

一、單選題

1.（2023?山東濟寧?統(tǒng)考一模）己知直三棱柱。為線段的中點，E為

線段CG的中點，4?過—GE的內(nèi)切圓圓心，且4D，0G，C/=百，48=2,貝！I

三棱錐D-ABC的外接球表面積為（）

272727

A.—JiB.—7iC.—兀D.27it

842

【答案】B

【分析】計算C/=G4=VLCG=2,過q，a分別作平面◎瓦平面。的垂線，

兩垂線交于點O,點。為三棱取。-/2C的外接球球心，計算q=竽，2=（,再利

用勾股定理得到尺2=3,計算表面積得到答案.

16

【詳解】如圖，。為線段44的中點，ADVDC,,44,平面//G，￡>GU平面44G，

故N4_LOC|,ADr\AAx=A,u平面,故Z）G_L平面

u平面ABB/1,故。G，，

故G4=C[Bi=CA=CB=C,

因為E為線段CG的中點且4石過△/QE的內(nèi)切圓圓心，

故幺的=N&EA=ZAEC,即NAEC=1.

所以CG=2G￡=2EC=2.

取A8的中點/，連接CF、DF,

分別在CF、。尸上取△C/8、ADIB的外接圓圓心。|、O2.

過Q,Q分別作平面平面。45的垂線，兩垂線交于點O,

則點O為三棱取D-ABC的外接球球心.

AC2+BC2-AB2V32+V32-22_1

cosZ24c5==一,

2ACBC2X>/3XV33

所以sin//CB=^

3

設△CN5、AZMB的外接圓半徑分別為斗、弓，三棱錐D-/2C的外接球半徑為R.

AB

2。還，解得「斗,同理，

sinZACB

所以001=02尸=:，R2=OC2=OOf+Ofi2=孚］+

所以三陵錐八雙的外接球表面積為S=4/=4"1r丁.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了線面垂直，三棱錐的外接球表面積，意在考查學生的

計算能力，空間想象能力和轉化能力，其中，確定過圓心的垂線交點是球心再利用勾股

定理求解是解題的關鍵，此方法是?？挤椒?，需要熟練掌握.

2.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）在正四棱臺中,

48=244，441=2幾，M為棱5G的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截

該正四棱臺的截面面積是（）.

A.—B.聞?C.10V3D.6V2

42

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面

積公式進行求解即可.

【詳解】設/8=244=-，上底面和下底面的中心分別為O,過4作

該四棱臺的高。。=人，

在上下底面由勾股定理可知，；J(2x)2+(2x)2=岳,AO=:,4X)2+(4x)2=)志.

2222222

在梯形4。1。/中，A,A=AH+AtH^12=(242x-41x)+h^>h=12-2x,

所以該四棱臺的體積為P=](16]2+J16X2-4X2+4f)%=T幺力，

KCrirz278422；278422/nT.2、/784(x1+x--112-2x2

所以憶2=——x2-x-h=——x-x?(12-2x)<——--------------，

999(3)

當且僅當》2=12-2尤2,即x=2時取等號，此時48=8,44=4,OtO=h=2.

取CQi/C的中點N,E,連接NM,ND,顯然有MN//D6〃。5,

由于MV。平面BOu平面/BCD,所以MN//平面48CD,因此平面AffiDN

就是截面.

顯然MN=；BR=20BD=8萬，

在直角梯形。1〃石。中，ME=d#+(OE-OMf=力4+4=2也,

因此在等腰梯形4GC5中，MB=-S!ME2+EB2=J8+16=276，

同理在等腰梯形BGCO中，DN=2屈,

在等腰梯形中，設MF//DN,MG1BD,

則MF=2A/6,BF=8垃-2垃=6叵,

MG=j(2府-(1x6V2)2=V6,

所以梯形AfflDN的面積為巫謔x6=10>/3,

2

故選：C.

【點睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題

思維流程如下：

(1)根據(jù)空間中的線面關系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關系，

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求長度下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于長度的方程，并求解.

3.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐/2C中，“3C是

以NC為底邊的等腰直角三角形，△D/C是等邊三角形，/C=2后，又8。與平面/DC

所成角的正切值為正，則三棱錐。-45。外接球的表面積是（）

2

A.8兀B.12兀C.1471D.16兀

【答案】B

【分析】根據(jù)線面角算出點3到平面NOC的距離，從而找到球心的位置，利用幾何關

系算出球的半徑即可.

【詳解】取/C的中點E,連接BE,DE,則班_LNC,DE1AC,可得/C_L平面DEB.

又/Cu平面NOC,故平面4DC_L平面且平面4DCCI平面BDE=DE.

在平面DEB中，過點3作8〃_LDE于點H,則BH1平面ADC,

/AD8是直線8D與平面/DC所成角的平面角.

設.BH=x,則=易求DE=娓,BE=4i，處EH=在-瓜.

由勾股定理可得8"=8加+即2,即2=/+（指-屬『，解得x=W，于是

FH一瓜

nrL---，

點〃恰好是正△D/C的中心（外心），故球心。必在38上，

RIAA4c的外心為E,連接O￡,則_L平面/8C,_L3E,設三棱錐。-45C外接球

的半徑8。=火，

在RtABE。中，由射影定理可得即2=38尺，解得尺=石，

3

三棱錐D-ABC外接球的表面積S=4無霜=12兀.

故選：B.

4.（2023秋?湖南湘潭?高三校聯(lián)考期末）點M,N分別是棱長為2的正方體

ABCD-AMA中棱BC,Cq的中點，動點P在正方形5CG4（包括邊界）內(nèi)運動.若

尸4〃面則尸4的長度范圍是（）

A.[2,3B.[竽，石C.停WD.[2,3]

【答案】B

【分析】取用G的中點E，34的中點尸，連結耳￡,A1F,EF,取斯中點。，連結4。,

證明平面WN//平面4跖，從而得到尸的軌跡是線段，從而得出P4長度范圍.

【詳解】取4G的中點￡,5片的中點尸，連結耳￡,AtF,EF,取斯中點。，連結4。，

?.?點M,N分別是棱長為2的正方體群CD-44中棱2C,CG的中點,

:.AAJ!BB},AAX=BB、,BBJ/EM,BB}=EM,

AAJIEM,AAX=EM,四邊形A.AME為平行四邊形，

:.AXEHAM,而在平面48CG中，易證MNHEF,

平面MW,4Vfu平面WW,.1&E//平面/ACV,

EP0平面/MN,ACVu平面/MN,:.EF//平面AMN,

又；A[EcEF=E,尸u平面4上戶，平面/A/N//平面4跖，

:動點尸在正方形&CGA（包括邊界）內(nèi)運動，且24〃平面

點P的軌跡是線段EF,

?;4E=A/=正+1=瓜￡F=#+1=V2-AO1EF,

亞、30

當尸與。重合時，尸4的長度取最小值4。=（病2-

2J2

???△4所為等腰三角形，，P在點E或者點尸處時，此時尸4最大，最大值為VL

即尸4的長度范圍為［券，石

故選：B.

5.（2023春?湖南?高三統(tǒng)考階段練習）正方體的棱長為1,點尸在三棱

錐G-8C。的表面上運動，且“尸=巫，則點尸軌跡的長度是（）

3

AV3+2V6?2V3+V6

66

「A/J+A/6n2-\/3+y/6

63

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，點P在以4為球心，半徑五=姮的球面上，進而依次討論該球與

3

三棱錐G-的表面的交線即可得答案.

【詳解】解：由題設知點P在以4為球心，半徑a=嫗的球面上，

3

所以點P的軌跡就是該球與三棱錐G-88的表面的交線.

由正方體性質易知三棱錐4-QBD為正四面體，

所以，點4到平面JBD的距離〃=空，

3

所以球4在平面C.BD上的截面圓的半徑4=個出一￡=1，

所以，截面圓的圓心。是正AC/D中心，正立:/。的邊長為行，其內(nèi)切圓。的半徑

因此，點P在面C.BD內(nèi)的軌跡是圓。在&BD內(nèi)的弧長，

如圖所示.COSNMO/=2&=%=YZ,所以

OtMrx24

Oy

B

TT

所以

所以，點尸在此面內(nèi)的軌跡長度為外

因為，平面48C。，所以球4在平面NBCr?上的截面圓心為力,

其半徑2=］火2_初：=豐,又等<,<1,

所以點尸在平面5CD內(nèi)的軌跡是一段弧際，

如圖所示，cosZGAE=—=—,

AE2

由于對稱性，點尸在平面C/D和平面qco內(nèi)的軌跡長度都是血,

9

故點尸在三棱錐G-BCD的表面上的軌跡的長度是叵+3x外=6+2>

696

故選：A

6.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有

幾何體“芻薨”.現(xiàn)有一個芻薨如圖所示，底面N8CD為正方形，EF〃平面Z8CD,四邊

形4BFE,CD昉為兩個全等的等腰梯形，EF=；AB=2,且/￡=&,則此芻薨的外

接球的表面積為（）

A.607rB.647rC.687rD.727r

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出點E到平面/BCO的距離，再由幾何體的結構特征確定球

心位置，結合球面的性質求解作答.

【詳解】取40、中點N、M,正方形48。中心。，E尸中點Q，連接

EN,MN,FM,OO2,

根據(jù)題意可得。。2，平面48cD,E尸〃48//跖V,點。是的中點，MN=AB=4,

在等腰△/￡￡>中，ADVEN,EN=個AE?-AN2=亞，

同理EM=&，

則等腰梯形EFMN的高為00廣JEM一產(chǎn);=1,

根據(jù)幾何體的結構特征可知，芻薯的外接球的球心J在直線00,上，連接QE,O/,CM,

正方體ABCD的外接圓的半徑。4=2近，

⑴￡[0/2=0/2+00：

122

"[QE'=O2E+O2O^'

而。M=0]￡,O2E=^EF=1,

當點。?在線段。2。的延長線（含點。）時，視。Q為非負數(shù)，若點。在線段。2。的

延長線（不含點O）時，視。。I為負數(shù),

即有。2。1=020+。0]=1+oot,

貝|J（20『+oo；=1+（1+oq）2,解得。。1=3,

則芻喘的外接球的半徑為r=OlA="+（2何=后,

則芻薨的外接球的表面積為$==68%，

故選：C.

7.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐尸-/BCD的五個頂點都在球面。上，底

面488是邊長為4的正方形，平面尸平面/BCD,且尸4=PD=5則球面O

的表面積為（）

A.39兀B.4071C.4171D.42兀

【答案】C

【分析】如圖，取4。中點為E,三角形尸4D外接圓圓心為。I,正方形/BCD外接圓

圓心為。2,過Q，&做平面尸4D，底面垂線，則兩垂線交點為四棱錐外切球球

心。.由題目條件，可證得四邊形。也■。為矩形，設外接球半徑為七則

R=OA=J。。：+40；—yjo產(chǎn)°+.后可得答案.

【詳解】如圖，取中點為E,三角形尸40外接圓圓心為。?,正方形N8CA外接圓

圓心為。2,過Q，a作平面尸底面/8C。垂線，則兩垂線交點為四棱錐外接球球

心O.

因平面PAD1平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,OXE_LAD,O、Eu平面PAD,

則O\E±平面ABCD.又EO2u平面ABCD,則OXE1EO2.

JI

因=ZOXEO2=ZOO2E=則四邊形。山。2。為矩形.

設三角形尸/。外接圓半徑為，則a尸=。/二/，又AE=2,PE=yJpA2-AE2=1,

25

則（尸一1）+4=r2=>r=—.

則QE=OO2=g,設外接球半徑為凡則R=OA=）00；+=麻2+,

又40?==2亞，

則尺=則球。表面積為：4?；?-4171.

8.（2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測）在矩形/BCD中，已知45=24）=4,

E是N3的中點，將V/DE沿直線翻折成△4DE,連接&C,當二面角4-。E-C

的平面角的大小為60。時，則三棱錐4-CDE外接球的表面積為（）

4

【答案】A

【分析】取DE的中點為尸，證明取C。的中點為H,證明"T_LD￡,根

據(jù)二面角的定義證明N4FH=60。，根據(jù)球的截面性質確定三棱錐4-CDE外接球的球

心位置，解三角形求球的半徑，由此可得三棱錐4-CDE外接球的表面積

【詳解】由已知/8=4,E是的中點，

TT

所以AE=2,乂AD=2，Z.DAE=—,

2

所以VNDE為等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，

取DE的中點為尸，則HDE,

因為AE=2,又AD=2,Z.DAE=—,所以DE=2-\/2

同理可得CE=20，又CD=AB=4,

所以CELOE,取C。的中點為H,連接

則FH//CE,所以FHLDE,

所以NA/H為二面角A1-DE-C的平面角，

所以乙4/〃=60°,

因為其尸=；Z）E=拒，F(xiàn)H=；CE=五,N&FH=60。,

所以A/JH為等邊三角形，取E修的中點為M,則

因為NK_LDE,FHIDE,AlFC\FH=F,4尸，尸平面4",

所以DE工平面4萬月，4/u平面4萬〃，

所以QE，/]“，又AMLFH,DECFH=F,DE,FHu平面CDE,

所以4M_L平面COE,

因為ADEC為直角三角形，C。為斜邊，

所以HE=HD=HC,所以H為AOEC的外接圓的圓心，

設0為三棱錐4-CDE外接球的球心，則0/7_L平面CDE,

設OH=d,三棱錐4-CDE外接球的半徑為五,

貝UR=OC=J/+4,

若球心O和點4位于平面CDE的兩側，

延長4M到點N,使得血W=27。,

因為OH_L平面CDE,4"_L平面CDE,所以MN///7O,

所以四邊形HAW0為平行四邊形，

所以ON=HM=J,A、N=A、M+MN=A、M+0H=^~+d,

21112

所以7?=Afi=,^-+d+—?

K2J2

所以，如+/+1=^74,

W2J2

所以〃=如，R2=d2+4=—,

33

若球心O和點4位于平面CDE的同側,

因為OH_1平面CDE,&W_L平面CZ)E,所以4〃7/HO,

過點。作OP/W,則四邊形以0。為平行四邊形,

B/7

所以。P=W=J,A.P=AM-MP=A.M-OH=---d

21112

所以R=4(9=

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認

真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，作出合適的截面圖,

解三角形確定球的半徑.

二、多選題

9.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）蜜蜂是自然界的建筑大師，在18世紀初，法國數(shù)學家

馬拉爾迪指出，蜂巢是由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房（如圖）構成，其中每個蜂

房的底部都是由三個全等的菱形構成，每個菱形鈍角的余弦值是-；，則（）

A.N8〃平面石。24

B.AB1EF

C.峰房底部的三個菱形所在的平面兩兩垂直

D.該幾何體的體積與以六邊形44G2及《為底面，以為高的正六棱柱的體積相等

【答案】AD

【分析】對A：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對B、C：根據(jù)空間中的垂直關系

分析判斷；對D：通過補形，結合錐體體積分析判斷.

【詳解】對A：因為/8〃尸G,FG//ED,則

EDu平面EDDXEX,且平面EDD^,

故48〃平面瓦故A正確；

對B：每個菱形鈍角的余弦值是-g,即ED不垂直EP,

因為即48不垂直￡尸，故B錯誤；

對C：若蜂房底部的三個菱形所在的平面兩兩垂直，

可知平面BCDGc平面FEDG=DG,則DG_L平面ABGF,

48u平面/8Gb,所以。G_LNB,

且DG/EF,故跖_L4B,這與48不垂直EF矛盾，故C錯誤;

對D：如圖，補形可知：過昆。，尸作正六邊形ABQD當廠，

VABGF為菱形，則AG的中點在BF上,故點4G到平面A2BC2DE2F的距離相等,

故—G-OBAF=^A-OBA2Fi

同理可得：vG.OBC2D=—C-OBAzFVG-ODE#=^E-ODEZF，

故該幾何體的體積與以六邊形M4CQZ遂為底面，以8月為高的正只棱柱的體積相等,

所以D正確;

故選：AD.

10.（2023春?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試）在四面體/BCD的四個面中，有公共棱/C

的兩個面全等，40=1,CD=6，^CDA=90°,二面角大小為0,下列

說法中正確的有（）

A.四面體48CD外接球的表面積為3萬

B.四面體455體積的最大值為立

6

C.若，D=4B,ADIAB,則9=120°

所

D.若4D=BC,6=120°,P1!]SZ)=—

3

【答案】ACD

【分析】選項A：找出四面體得外接球得外接圓圓心和半徑即可；選項B：先確定底面,

底面積確定，利用夾角的變化確定體積最大的時候的高即可；選項C：直接畫出二面角,

然后計算其夾角即可；選項D：先過點。畫/C的垂線，垂足為過點B畫/C的垂線,

垂足為N,然后二面角為血與加的夾角，利用基底法計算2。長度即可.

【詳解】由題的示意圖，畫NC中點為E,連接DE,BE

選項A：由題可知在△/DC中，AC2^AD2+CD2^3,所以NC=g,

又因為有公共棱NC的兩個面全等，ZCDA=90°,故N/3C=90。，

由直角三角形的性質可知，￡4=”=七。=即,故該三棱錐的外接球球心為點石，直徑為

/C=5

(巧丫

所以外接球表面積為萬—=3兀，故正確；

S=4I2JA

選項B：要使四面體Z5CD的體積最大，則只需以。8C為底面，A/C。在邊/C上的

高〃為高即可；

因為公共棱NC的兩個面全等，所以S=S'云=1xlxV2=—,所以有=立,

4Am2222

V2

已知NC=百，所以〃=,所以體積最大時，該四面體的體積為

耳

1?,16亞V3,,**、n

=rx-X_7T=_'故8珀1天;

JJ273y

選項C：分別過點AB畫邊/c的垂線，顯然垂足均為尸，則得示意圖

V2

由選項B可知。尸=8尸=又AD=4B=1AD1AB,所以BO?=4》+加=2,

由余弦定理的cos。=DF2+BF2—BD2J,因為在三角形中，所以6=120。，故C

2DF?BF2

正確；

選項D:如圖所示，過點。畫NC的垂線，垂足為過點3畫/C的垂線，垂足為N,

因為/O=BC=1,所以A/OC且ACBN,

因為9=120。，所以福與血的夾角為120。,

由選項B可知，|麗卜ft萬卜展,所以=產(chǎn)=9,同理=1

由選項A可知/C=6所以MN=/C-CN-

麗=麗+麗7+赤=一福+而7+庇,所以得

?\2/，?,2

BD]=（-NB+NM+MD

?、2/?\2/?\2,,,??,

-NBJ+（；W）+（A?）-2NB-NM-2NB-MD+2NM^MD=-

所以如耍故D正確;

故選：ACD

11.(2023春?江蘇南京?高三南京市第五高級中學?？茧A段練習)已知正四棱臺

月BCD-44G。的上下底面邊長分別為4,6,高為亞，￡是4片的中點，貝IJ()

G坊

B.平面3QD，平面44CC

C./￡〃平面

D.正四棱臺/8CD-4用GA的外接球的表面積為104K

【答案】BCD

【分析】對于A：直接代入正四棱臺的體積公式即可求解;對于B：先證3D，平面N4QC,

再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；對于C：取24的中點尸，連接NREF,

AlCl^EF=G,連接/G,先證四邊形GG。?/是平行四邊形，易得G///平面CR。，

斯//平面CXBD,根據(jù)面面平行判定定理可證平面CXBD//平面AEF,再根據(jù)面面平行

的性質即可證明/￡〃平面8CQ；對于D：分球心在正四棱臺內(nèi)、外兩種情況討論，且

球心必在002上或的延長線上，再利用勾股定理列出關于球半徑的方程即可求解.