2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊：三角形全等幾何模型（手拉手）專項(xiàng)練習(xí)

專題1.12三角形全等幾何模型（手拉手）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，C為線段NE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在/E同側(cè)分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)、P,BE與CD交于點(diǎn)、Q,連結(jié)

PQ.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B

E

A.A405=60°B.AP=BQ

C.PQUED.DE=DP

2.如圖，在△0/8和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,zAOB=^COD=40°,連接

AC,BD交于點(diǎn)、M,連接（W,下列結(jié)論：

①AAOCMBOD；②AC=BD；③4Affl=40°；④河。平分A8A/C.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，己知A42c與都是等邊三角形，點(diǎn)、B、C、。在同一條直線上，4D與BE

相交于點(diǎn)G,8E與/C相交于點(diǎn)尸，與CE相交于點(diǎn)況則下列結(jié)論①A4CD三△8CE

②乙4G2=60。③蝦=/?④△CW是等邊三角形⑤連CG,貝此2GC=ZDGC.其中正確

的個(gè)數(shù)是（）

試卷第1頁，共6頁

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

4.如圖，C為線段ZE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/、E重合），在NE同側(cè)分別作正和正

xCDE,AD與BE交于點(diǎn)、O,AD與BC交于點(diǎn)、P,BE與C。交于點(diǎn)。，連接尸。.以下五個(gè)

結(jié)論：?AD=BE；@PQ//AE.③4P=3°；@DE=DP；⑤N/O8=60°.

恒成立的結(jié)論有.（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

5.已知：如圖，正方形N8C。中，對角線/C和5。相交于點(diǎn)O,E、/分別是邊力。、CD

上的點(diǎn)，若4E=4cm,CF=3cm,5.OELOF,連接斯，則￡尸的長為.

6.在A48C中，//。8=90。,/8=60。,N3=4,點(diǎn)。是直線8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接N。，在直

線的右側(cè)作等邊△NOE,連接CE,當(dāng)線段CE的長度最小時(shí)，線段C。的長度為

7.如圖，在放ZV18C中，48c=90。，N8=3C,點(diǎn)。為三角形右側(cè)外一點(diǎn).且乙BOC=

9

45°.連接4。，若A4C。的面積為三，則線段C。的長度為

O

試卷第2頁，共6頁

D

8.如圖，CA=CB,CD=CE,zACB=zDCE=50°,AD、BE交于點(diǎn)H,連接CH,則

ZCHE=

9.如圖，ZDAB=ZEAC=60°,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,4B和CD相

交于P,則的度數(shù)是

10.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE

和正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：

①BG=CE；@BG1CE；③AM是4AEG的中線；（4）zEAM=zABC.其中正確的

是.

試卷第3頁，共6頁

三、解答題

11.如圖，已知/BAD=NC4E,AB=AD,AC=AE,求證：ZB=ZD.

12.如圖，A48C和都是等邊三角形，連接CD.求證：AE=CD.

13.如圖，己知。3c是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)尸在斜邊48所在的直線上，以PC為直角

邊作等腰直角△尸C0,其中NPCQ=90。，探究并解決下列問題：

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在線段43上時(shí)，猜想尸T，PB"尸行三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在的延長線上，在(1)中所猜想的尸牙，PB。,PQ2三者之間的數(shù)量

關(guān)系仍然成立，請利用圖2進(jìn)行證明.

14.如圖，4ACB和4DCE均為等腰三角形，ZACB=ZDCE=9O°,點(diǎn)A,D,E在同一條直

線上，連接BE.

(1)求證：AD=BE；

(2)若NCAE=15。，AD=4,求AB的長.

試卷第4頁，共6頁

15.在A48C中，=點(diǎn)。是直線3C上一點(diǎn)，連接40,以4D為邊向右作△4DE,

使得ZDAE=ABAC,連接CE.

⑴①如圖1,求證：AABD沿AACE；

②當(dāng)點(diǎn)。在3c邊上時(shí)，請直接寫出A/8C,4CD,的面積(S/Bc，S./8,

S^ACE)所滿足的關(guān)系;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在3c的延長線上時(shí)，試探究。3C,"CD,的面積(S.ABC，SAACD,

S.ACE)所滿足的關(guān)系，并說明理由.

16.如圖，在A/BC中，ZC=90°,/C=8C,點(diǎn)。是48中點(diǎn)，AMON=90°,將NMON

⑴當(dāng)NMON轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接CO,求證：^COD=^BOE；

(2)當(dāng)/MCW轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段CD、CE、/C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請

說明理由.

17.如圖，“8C和A￡Q)都是等邊三角形，直線4E,BD交于點(diǎn)F.

試卷第5頁，共6頁

(1)如圖1,當(dāng)/,C,。三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，乙4必的度數(shù)為,線段/￡與AD的數(shù)

量關(guān)系為.

⑵如圖2,當(dāng)AECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(O”eV36O。)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若

不成立，請說明理由：若成立，請就圖2給予證明.

(3)若4C=4,CD=3,當(dāng)AECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請直接寫出8。長的取值范

圍.

18.已知在中，AB=AC,過點(diǎn)8引一條射線。是8M上一點(diǎn)

【問題解決】

(1)如圖1,若N/8C=60。，射線8M在//3C內(nèi)部，N4DB=60°,求證：ZBDC=60°,小

明同學(xué)展示的做法是：在即/上取一點(diǎn)￡使得=通過已知的條件，從而求得NBDC

的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；

【類比探究】

(2)如圖2,已知NABC=ZADB=30°.

①當(dāng)射線8M在//8C內(nèi)，求NADC的度數(shù)

②當(dāng)射線8W在3c下方，如圖3所示，請問Z8OC的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由,

若改變，請求出的度數(shù)；

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BCWDE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC3E=NDE0,于是

UOB=4DAC+乙BEC=4BEC+乙DEO=3EC=60°,得出A正確；^^ACQB=ACPA(ASA),

得出B正確；由AACDmABCE彳導(dǎo)乙CBE=5AC,加之乙1C2=〃)C￡=6O。，AC=BC,得到

ACQB=ACPA(ASA),再根據(jù)NPC0=6O。推出△PCQ為等邊三角形，又由乙P0C=zZ>C￡,

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)NCDE=60。，

ADQE=^ECQ+/LCEQ=60°+^CEQ,可矢口屏NCDE,得出D錯(cuò)誤.

【詳解】解：,?,等邊人43。和等邊△CDE,

：.AC=BC,CD=CE,UCB=zJ)CE=60。,

；.UCB+乙BCD=ADCE+乙BCD,即AACD=^BCE,

在△/CD與△8CE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

■■.AACD=ABCE(SAS),

：./-CBE=/-DAC,

又?：UCB=LDCE=60°,

.-.ABCD=60°,即乙4cp=N8CQ,

又;AC=BC,

在△CQ8與4CPA中，

'NACP=ZBCQ

<4C=BC,

APAC=ZCBQ

??.△CQBmACPA(ASA),

：.CP=CQ,

又???"C0=6O?？芍鱌C。為等邊三角形，

：.乙PQC=LDCE=60°,

■■.PQ//AE,

故C正確，

■.■ACQB=ACPA,

答案第1頁，共22頁

：.AP=BQ,

故B正確，

■：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

■：ADQE=AECQ+ACEQ=60°+ACEQ,乙CDE=60°,

：.^DQE^CDE,故D錯(cuò)誤；

■：/-ACB=/-DCE=6Q°,

.■.^BCD=60°,

?.?等邊

AEDC=600=乙BCD,

：.BCHDE,

：./-CBE=/JJEO,

：.UOB=^DAC+^BEC=z.BEC+/.DEO=^DEC=60°,

故A正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題

的關(guān)鍵是找到不變量.

2.A

【分析】由題意易得NAOC=zBOD,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角平分線的判定定理可

進(jìn)行求解.

【詳解】解：???NAOB=NCOD=40。，NAOD是公共角，

zCOD+zAOD=zBOA+zAOD,即zAOC=zBOD,

???OA=OB,OC=OD,

??.△AOCsABOD(SAS),

.?.AC=BD,zOAC=zOBD,zODB=zOCA,故①②正確；

過點(diǎn)。作OE1AC于點(diǎn)E,OF1BD于點(diǎn)F,BD與OA相交于點(diǎn)H,如圖所示：

答案第2頁，共22頁

???ZAHM=ZOHB,zAMB=180°-zAHM-zOAC,zBOA=180°-zOHB-zOBD,

,?.ZAMB=ZBOA=40°,

.-.ZOEC=ZOFD=90°,

???OC=OD,ZOCA=ZODB,

.?.AOEC=AOFD(AAS),

,?,OE=OF,

.?.OM平分NBMC,故③④正確；

所以正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角

形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.D

【詳解】試題分析：功C￡=60。，

；/BCE=UCD,在△2CE和A4CD中，

■：BC=AC,^BCE=/-ACD,CE=CD,

:ABCE三5CD(SAS\故①正確；

???△BCE三AACD,

：./.CBF=/.CAH.

??ZBFC=UFG,

.?■Z.AGB=Z.ACB=60°,故②正確；

在△8CF和A4C7/中，乙CBF=￡CAH,BC=AC,乙BCF=UCH,

:ABCFmAACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正確；

■：CF=CH,乙4c77=60°,

.?.△CEH■是等邊三角形；故④正確；

連接CG,過C點(diǎn)作CM12E,作CN14D,

答案第3頁，共22頁

■.■ABCE=AACD,CM1BE,CN1AD,

：.CM=CN,

,?.GC平分NBGD,

；/BGC=3GC,故⑤正確.

故選：D.

A

考點(diǎn)：L全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的判定與性質(zhì).

4.①②③⑤

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定以及性

質(zhì).

①由于"3C和ACDE是等邊三角形，可知/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

從而利用SAS證出“DCgABEC,可推知4D=8E；②由“DC之ABEC得CD=CE,

ZDCP=NECQ=60。,/ADC=/BEC,得到△(?￡)產(chǎn)會△CE。，再根據(jù)推出為△尸C0等

邊三角形，又由/QPC=NBC4,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；③由①和②

可得出。尸=,即可證/尸=B。；④根據(jù)ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+CEQ,,

ZCDE=60°,可知乙DQEHCDE,DE>QE,S.DP=QE,得出DE>DP,可知④錯(cuò)誤;

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)得出8C〃DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCBE=NDE。，于是

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正確.

【詳解】解：①???正”8C和正ACDE,

:.AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=60°,

N4CD=ZACB+/BCD,NBCE=ZDCE+/BCD,

:.NACD=/.BCE,

在△/DC和ABEC中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

答案第4頁，共22頁

??.AADC^ABEC(SAS),

AD=BE,NADC=NBEC,

故①正確；

②又?.?CQ=CE,/DCP=/EC。=60。,NADC=NBEC,

.?.△CD尸絲△CE0(ASA).

CP=CQ,

ZCPQ=ZCQP=60°,

ZQPC=ZBCAf

??.PQ//AE,

故②正確；

③???△CD尸也△C￡Q,

；,DP=QE,

???△4QC知BEC

*'.AD=BE,

AD-DP=BE-QE,

:,AP=BQ,

故③正確；

@-.-DE>QE,且DP=QE,

DE>DP,

故④錯(cuò)誤；

⑤?:NACB=NDCE=60°,

ZBCD=60°,

???△DCE是等邊三角形，

ZEDC=60°=NBCD,

BC//DE,

NCBE=NDEO

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,

故⑤正確.

正確的有：①②③⑤.

答案第5頁，共22頁

故答案為：①②③⑤.

5.5cm##5厘米

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出乙4?！?功。尸，z.EOD=z.COF,利用全等

三角形的判定和性質(zhì)得出入4￡。="）尸。，\DEO=NCFO,DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,再由

勾股定理求解即可.

【詳解】解：???四邊形4BC。為正方形，對角線/C和AD相交于點(diǎn)。，

山。D=NCOD=90°,ZJDAO=/LADO=AODC=^OCD=45°,AO=DO=CO,

,-OELOF,

.^EOF=90°,

'.^AOE+Z-EOD=^EOD+^DOF=90°,2DOF+^EOD=LDOF+乙COF=90。,

；?，4OE=3OF,乙EOD=4OF,

在AAEO與AD中,

NAOE=NDOF

<AO=DO,

ZEAO=ZFDO

^\AEO=\DFO,

同理AnEOBACF。

.?.DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,

連接瓦

EF=y/DE2+EF2=5cm,

故答案為：5cm.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解三角形等，理

解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

6.3

【分析】在/C的左側(cè)作等邊三角形/C/，連接CE、BF、FD、CF,再證明

答案第6頁，共22頁

^ADF^AEC,可得CE=DF,再利用_L3C時(shí)，。尸最短，從而可得答案.

【詳解】解：在/C的左側(cè)作等邊三角形4CF,連接C￡、BF、FD、CF,

■：ZACB=90°,NB=60°,則ABAC=30°,

則ZFAB=NFAC-ABAC=60°—30°=30°,

故點(diǎn)C、尸關(guān)于48對稱，

貝UNABF=NABC=60°,BF=BC=-AB=-x4=2,

22

MFC,4DE均為等邊三角形，

:.ZFAD+ZDAC=60°,ZDAC+ZEAC=60°,AF=AC,AD=AE,

NFAD=ZEAC,

NADF=AAEC(SAS),

DF=EC,

當(dāng)。尸，BC時(shí)，。尸最小，

由ZABC=ZABF=60°,BC=BF=2,

4FBD=60°,ZDFB=30°,

i^BD=-BF=-x2=l,

22

故。的長度為8O+C8=l+2=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含30。

的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.

7.2

2

【分析】過點(diǎn)3作交DC的延長線于點(diǎn)E,連接4E,由題意易得△￡8。是等腰直

角三角形，然后可證△BCD三△2E4則有r&DC=NA￡4=45。，AE=CD,進(jìn)而根據(jù)三角形面

積公式可進(jìn)行求解.

答案第7頁，共22頁

【詳解】解：過點(diǎn)5作交。。的延長線于點(diǎn)E,連接/及如圖所示:

???/ABE+ZEBC=4EBC+ZCBD=90°,

???/ABE=ZCBD,

??2BZ)C=45。，乙EBD=90。,

.?.△￡班是等腰直角三角形，

工(BDC=LBED=45。,BE=BD,

?：AB=BC,

SBCDzABAE(SAS),

???乙BDC=^BEA=45。,AE=CD,

??.AAED=AAEB+/BED=90°,

19

^S^ACD=-CD-AE=~,

：.CD2=~,

4

：.CD=--

2

故答案為:3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)

鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，抓住等腰直角三角形的特征.

8.65°

【分析】先判斷出MCDMASCE,再判斷出A4cM三A8CN即可得到CH平分,即可

得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，；ZACB=NDCE,

ZACD=ZBCE,

答案第8頁，共22頁

CA=CB

在A4CD和ABCE中，＜ZACD=/BCE

CD=CE

:.MCD=ABCE(SAS)；

過點(diǎn)。作。以_L40于"，CN1BE于N,

\-MCD=ABCE,

/CAM=/CBN,

ZCAM=/CBN

在ZUCM和MCN中，＜ZAMC=ZBNC=90°

AC=BC

\ACM二ABCN,

/.CM=CN,

CM=CN

在RtACMH與RtACNH中＜

\CH-CH

RtACMH=RtACNH(HL),

AMCH=ZNCH,

:.CH平分NAHE；

\'AACD=ABCEf

/CAD=ZCBE,

?「ZAFC=ABFH,

:.ZAHB=ZACB=50°f

:.ZAHE=lS00-50o=130°,

ACHE=-AAHE=-xl30°=65°,

22

故答案為：65°.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌

握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

答案第9頁，共22頁

9.120

【分析】先得出NDAC=/EAB,進(jìn)而利用ASA得出aADC工ZkAEB,進(jìn)而得出乙E=4ACD,

再利用三角形內(nèi)角和定理得出ZEAF=ZCOF=60°,即可得出答案.

【詳解】如圖所示：

vzDAB=zEAC=60°,

/.ZDAB+ZBAC=zBAC+zEAC,

.-.ZDAC=ZEAB,

在AADC和AAEB中，

'AD=AB

<NDAC=NEAB,

AC=AE

.-.△ADC^AABE(SAS),

.,.z.E=zACD,

XvzAFE=zOFC,

.-.ZEAF=ZCOF=60°,

.-.ZDOE=120°.

故答案是：120.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出

AADC=AAEB是解題關(guān)鍵.

10.①②③④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明A48G三A4EC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可

判斷①；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N,AC,8G相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相

等可得G2,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NCNG=NC4G=90。，于是可判斷

②；過點(diǎn)￡作的延長線于P,過點(diǎn)G作GQ1/M于。，如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即

可判斷④；利用AAS即可證明A45X三可得EP=4H,同理可證G0=4W,從而得

答案第10頁，共22頁

到￡P(guān)=G。，再利用AAS可證明△EPAfeaGQW,可得￡"=GM,從而可判斷③，于是可

得答案.

【詳解】解：在正方形和NC尸G中，AB=AE,AC^AG,乙BAE=4CAG=9Q°,

:.4BAE+乙BAC=Z.CAG+/.BAC,

即Z,C4￡=48NG,

.?.△ABGmA4EC(SAS),

:.BG=CE,故①正確；

設(shè)2G、CE相交于點(diǎn)N,AC.2G相交于點(diǎn)K,如圖1,

圖1

■■■^ABG^AAEC,

.-.AACE=^AGB,

?:UKG—NKC,

；/CNG—CAG=90°,

■■.BGLCE,故②正確；

過點(diǎn)E作￡尸1期的延長線于P,過點(diǎn)G作GQUM于。，如圖2,

圖2

?:AHLBC,

：.AABH+^BAH=90°,

?./BAE=90°,

答案第11頁，共22頁

??/EAP+乙BAH=90。,

,"BH—EAP,即乙45C,故④正確；

?"HB=d=90。,AB=AE,

；.AABH三AEAP(AAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

,:在4EPM和△G0M中，

2尸=ZMQG=90°

<ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

'.AEPM=AGQM(AAS\

:?EM=GM,

.?.，/是A4EG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作

輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

11.見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、AAS、ASA、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三

角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

利用SAS判定再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可證得

/B=/D.

【詳解】證明：???4840=/C4E,

??.ABAC=ZDAE.

在^ABC和/XADE中,

AB=AD

<ABAC=ZDAE,

AC=AE

答案第12頁，共22頁

??,"Bg"DE(SAS).

ZB=ZD.

12.見解析

【分析】證明三△C5。即可解決.

【詳解】???八45。和△￡5。都是等邊三角形，

??.AB=CB,BE=BD,UBC=cDBE=6G。,

：.Z.ABC-乙4BD—DBE-^ABD,

^/.ABE=Z.CBD,

在AABE和△CAD中,

'AB=CB

<NABE=ZCBD,

BE=BD

-.AABE=ACBD(MS),

??AE=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握這兩部分知

識是關(guān)鍵.

13.(1)PB2+PA2=PQ2

(2)PB2+PA2=PQ2

【分析】(1)連接8。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到A。尸之A。"。，進(jìn)而得到

NPBQ=90°,PA=BQ,在Rt△尸50中利用勾股定理即可得到三邊的關(guān)系；

(2)連接2。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到△。尸0AC20,進(jìn)而得到/必。=90。,

PA=BQ,在中利用勾股定理即可得到三邊的關(guān)系；

【詳解】(1)解：結(jié)論：PB2+PA2=PQ2,理由如下：

如圖，連接2。,

圖1

答案第13頁，共22頁

?.7BC、△PC。均為等腰直角三角形，ZACB=ZPCQ=9。。,

：,CA=CB,CP=CQ,

???ZACP+NPCB=NPCB+ZBCQ=90°

???/ACP=/BCQ

在CP和△C30中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

???尸名△C30(SAS)

:?PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

??.ZPBQ=/ABC+ZCBQ=90°,

在RtAPS。中，

■.PB2+BQ1=PQ'

PB2+PA2=PQ2?

(2)如圖，連接5。，

圖2

；BC、均為等腰直角三角形，4cB=400=90。,

：,CA=CB,CP=CQ,

vZACB+NPCB=ZPCB+ZPCQ,

:./ACP=/BCQ,

在△€%尸和△C80中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

???△CAP學(xué)△CBQ(SAS)

：,PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

答案第14頁，共22頁

...AABQ=ZABC+ZCBQ=90°,即：ZPBQ=90°

在Rt△尸3。中，

?：P?+B0=PC

PB2+PA2=PQ2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角的余角相

等，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，合理構(gòu)造輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

14.（1）見解析;（2）8

【分析】（1）直接證明△/CD之即可得出結(jié)論；

（2）由（1）可進(jìn)一步推出匹為直角三角形，且/E4B=30。，從而由43=22￡求解即

可.

【詳解】（1）???△ACB和ADCE均為等腰三角形，zACB=zDCE=90°,

:.NADC=NBCE,

在"CD與ABCE中,

AC=BC

<ZACD=NBCE

DC=EC

:.AACDABCE（SAS）,

AD=BE；

（2）???△48。是等腰直角三角形，

/ABC=45°,

由（1）可知，ZCAE=ZCBE=15°,BE=AD=4,

/ABE=/ABC+ZCBE=45°+15°=60°,

/ABE=/ACB=90°,

則在放中，/EAB=3。。,

AB=2BE=8.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，及含30。角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“手拉

手”模型證明全等，并推導(dǎo)出直角三角形是解題關(guān)鍵.

15.（1）①證明見解析；②S.ABC=S.ACD+S.ACE，理由見解析

（2）SAACE=S^ABC+^^ACD,理由見解析

答案第15頁，共22頁

【分析】（1）①先證明再利用SAS證△45Z汪△4C￡即可；②利用全等

三角形的性質(zhì)得到S.ABD=S.ACE，再由S=S?CD+S△皿即可得到結(jié)論;

(2)由已知條件可得證出，/\ABD咨AACE,推出=8“底，再由

S￡\ABD~S^ABC+S^ACD，即可得到%CE=^/\ABC+^/\ACD?

【詳解】(1)證明：①?：/BAC=/DAE,

???ABAC-/CAD=ZDAE-ACAD,即ABAD=/CAE.

在△43。和△4CE中，

AB=AC

</BAD=/CAE。

AD=AE

AABD^AACE(SAS).

(DS"BC=S&ACD+S”cE?理由如下：

?：△ABDQAACE,

.c—c

??°AABD~Q&ACE，

???^/\ABC=S叢ACD+S^ABD，

S&ABC=S"CD+S&ACE；

(2)解：ACE=S.BC+S/CD，理由如下：

ABAC=ZDAE,

ABAC+Z1=ADAE+Z1,BPABAD=ACAE.

在△48。和中，

AB=AC

<ABAD=NCAE

AD=AE

；."BD必ACE(SAS),

??凡ABD=S.ACE，

答案第16頁，共22頁

"S&ABD=St\ABC+^/\ACD，

S44CE=S&ABC+S&ACD?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

16.⑴見解析

Q)CE-CD=AC.理由見解析

【分析】(1)結(jié)論：CD+CE=4C.連接OC.證明ACOD*BOE(ASA)；

(2)結(jié)論：CE-CD=AC,證明方法類似(1).

【詳解】(1)證明：?.?/C=8C,ZC=90°,AO=OB,

OCLAB,OC=AO=OB,

ZOCD=NB=45°,

ZMON=ZCOB=90°,

ZDOC=ZEOB,

在△COD和△BOE中，

AOCD=NB

<OC=OB,

NOCD=NBOE

“COD三.BOE(ASA).

(2)解：CE-CD=AC.

理由：連接。C.

答案第17頁，共22頁

EhM

A\

圖二

?；AC=BC,ZC=90°,AO=OB,

OC1AB,OC=AO=OB,

NOCD=NB=45°,

NDOC=NCBE=135°,

???AMON=NCOB=90°,

NDOC=NEOB,

在△CQD和中，

ZOCD=ZB

<OC=OB,

ZOCD=ZBOE

.-.△CO￡>=A5O￡,(ASA),

CD=BE,

:.CE-CD=CE-BE=BC=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

正確尋找全等三角形解決問題.

17.(1)60°,AE=BD-,

(2)成立，理由見解析

(3)1<57?<7

【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

(I)利用等邊三角形的性質(zhì)證明A/CE名ABC。，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論；

(2)同(1)中方法證明之ABCD,得出=N2=N3,再根據(jù)三角形的內(nèi)角

和得出ZAFB=60°；

答案第18頁，共22頁

(3)當(dāng)B、C、。三點(diǎn)共線時(shí)得出5。的最大和最小值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???△45。是等邊三角形，

:.AC=BC,ZACB=60°,

■「△EC。是等邊三角形，

/.CE=CD,ZDCE=60°,

/.ZACB=ZDCE=60°

ZACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=ZBCD,

在和△BCD中，

AC=BC

</ACE=/B