第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式原卷版

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一、求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)或者參數(shù)問題考點(diǎn)二、兩點(diǎn)間的距離問題考點(diǎn)三、點(diǎn)到直線的距離或參數(shù)問題考點(diǎn)四：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題考點(diǎn)五：求直線關(guān)于直線對(duì)稱問題考點(diǎn)六、兩平行線間的距離考點(diǎn)七：直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱問題考點(diǎn)八、距離的綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一兩條直線的交點(diǎn)1．兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點(diǎn)A(a，b)．(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度夾在兩條平行直線間公垂線段的長(zhǎng)圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例題詳解】題型一、求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)或者參數(shù)問題1．（2324高二上·四川涼山·期末）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2021高二·全國）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021高二上·安徽蕪湖·期中）已知直線與射線恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．題型二、兩點(diǎn)間的距離問題4．（2223高二上·全國·階段練習(xí)）已知菱形的對(duì)角線與軸平行，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．（2324高二上·山東濟(jì)寧·期中）已知，，，為四個(gè)實(shí)數(shù)，且，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．56．（2223高二上·湖北宜昌·期中）函數(shù)的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．題型三、點(diǎn)到直線的距離或參數(shù)問題7．（2324高二上·四川綿陽·期末）已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則（

）A． B．6 C．或4 D．4或68．（2324高二上·北京·期中）點(diǎn)到兩條直線：，距離相等，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（2324高二上·河南南陽·期末）點(diǎn)為兩條直線和的交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離最大為（

）A． B． C． D．5題型四：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題10．（2324高二上·山東泰安·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．11．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．12．（2324高二上·河南商丘·期中）已知點(diǎn)，，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．題型五：求直線關(guān)于直線對(duì)稱問題13．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．14．（2324高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線過點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．15．（2324高二上·湖北武漢·期中）一束光線從點(diǎn)射出，沿傾斜角為的直線射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．題型六、兩平行線間的距離16．（2324高二上·湖北孝感·期末）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．1 C． D．17．（2223高二上·天津和平·期中）已知直線與直線和平行且距離相等，則直線的方程為（

）A． B．C． D．18．（2122高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，，則與直線平行且距離為2的直線方程為（）A． B．C．或 D．或題型七：直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱問題19．（2324高二上·全國·期末）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．（1，0）20．（2324高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．21．（2023·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．題型八、距離的綜合應(yīng)用22．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線，試求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程．23．（2223高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知直線：，.(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.24．（2122高一下·江西宜春）已知直線及點(diǎn)和點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求的最小值并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，直線經(jīng)過點(diǎn)且與軸正半軸?軸正半軸分別交于?兩點(diǎn)，當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積取得最小值時(shí)，求直線的方程．【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、單選題25．（2324高一下·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．26．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．27．（2324高二上·福建福州·期末）已知直線與直線間的距離為2，則（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或1628．（2324高三上·廣東·期末）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．29．（2324高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線與直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．30．（2324高二上·廣東·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過兩條直線：，：的交點(diǎn)，且的一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．31．（2324高二上·河南·階段練習(xí)）在中，已知，若直線為的平分線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．32．（2324高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題33．（2324高二上·山東濰坊·期末）已知直線，點(diǎn)，則（

）A．過點(diǎn)A與l平行的直線的方程為B．點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)A到直線l的距離為D．過點(diǎn)A與l垂直的直線的方程為34．（2324高二上·廣東深圳·期中）已知直線：，下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為C．點(diǎn)到直線的最大距離為D．直線一定經(jīng)過第四象限35．（2324高一上·云南昆明·期中）已知直線：，：，且，則（

）A． B．C．與直線垂直 D．與與間的距離為36．（2223高二上·山東青島·期中）已知直線：，：，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．直線過定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，或C．當(dāng)時(shí)，和相交 D．當(dāng)時(shí)，兩直線，之間的距離為1三、填空題37．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為．38．（2324高二上·北京石景山·期末）直線與直線之間的距離為.39．（2324高二上·福建莆田·期末）已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值．40．（2324高二上·江西新余·開學(xué)考試）光線從射向軸上一點(diǎn)，又從反射到直線上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則BC所在的直線方程為．41．（2223高二上·江蘇蘇州·期中）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，則取得最小值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．四、解答題42．（2324高二上·江蘇無錫·期中）已知直線，點(diǎn).(1)已知直線與平行，求的值；(2)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).43．（2324高二上·山東青島）已知頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.(1)求直線的方程：(2)求的面積.44．（2324高二上·福建三明·期中）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為．求：(1)直線的一般式方程