人教版九年級數學下冊銳角三角函數《解直角三角形及其應用（第2課時）》示范教學設計

解直角三角形及其應用（第2課時）教學目標1．熟練掌握解直角三角形的方法．2．能靈活運用解直角三角形的知識解決與直角三角形有關的圖形計算問題．教學重點靈活運用解直角三角形的知識解決與直角三角形有關的圖形計算問題．教學難點靈活運用解直角三角形的知識解決與直角三角形有關的圖形計算問題．教學過程知識回顧1．什么叫做解直角三角形？【答案】一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．2．直角三角形中，除直角外，五個元素之間有怎樣的關系？【答案】如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C外的五個元素之間有如下關系．（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°；（3）邊角之間的關系：上述（3）中的A都可以換成B，同時把a，b互換．【設計意圖】回顧解直角三角形的相關知識，為本課時進一步解決解直角三角形的相關題目作準備．新知探究類型一解直角三角形【問題】1．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解這個直角三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝31，c＝31，解這個直角三角形．【師生活動】學生獨立思考作答，請一名學生板演，教師總結．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，因為所以∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．（2）因為所以∠A＝45°．所以∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°．所以∠A＝∠B．所以b＝a＝31．【歸納】已知兩邊解直角三角形的方法：（1）已知兩直角邊：通常先利用勾股定理求出斜邊，再利用兩條直角邊的比得到其中一個銳角的正切值，求出該銳角，最后利用直角三角形兩銳角互余的關系求出另一個銳角；（2）已知斜邊和一直角邊：通常先利用勾股定理求出另一條直角邊，再利用已知直角邊與斜邊的比得到其中一個銳角的正弦（或余弦）值，求出該銳角，最后利用直角三角形兩銳角互余的關系求出另一個銳角．【問題】2．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解這個直角三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解這個直角三角形（精確到0.001，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）．【師生活動】請兩名學生板演解題步驟，教師總結．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°－60°＝30°．因為，所以BC＝AB·sinA＝10×sin60°＝5．因為，所以AC＝AB·cosA＝10×cos60°＝5．（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°－35°＝55°．因為，所以BC＝AC·tanA＝3×tan35°≈3×0.7002≈2.101．因為，所以．【歸納】已知一銳角和一邊解直角三角形的方法：（1）已知一銳角和斜邊：先利用直角三角形的兩銳角互余求出另一個銳角，再利用已知角的正弦和余弦求出兩條直角邊；（2）已知一銳角和一直角邊：先利用直角三角形的兩銳角互余求出另一個銳角，再利用已知角的正切求出另一條直角邊．當已知直角邊是已知銳角的對邊時，利用這個角的正弦求斜邊；當已知直角邊是已知銳角的鄰邊時，利用這個角的余弦求斜邊．（在這個過程中，也可利用勾股定理求其中的某條邊）【設計意圖】通過問題1，2，讓學生能靈活運用知識解決與解直角三角形相關的問題，加深學生對相關知識的理解，進一步明確直角三角形邊、角之間的關系．類型二“化斜為直”解非直角三角形【問題】3．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的長．【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流，并派代表回答，教師板書．【答案】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D．在Rt△ACD中，因為∠A＝30°，所以CD＝AC·sin30°＝＝，AD＝AC·cos30°＝＝3．在Rt△BCD中，因為tan45°＝，所以BD＝CD＝．所以AB＝AD＋BD＝3＋．【歸納】“化斜為直”解非直角三角形的方法：一般情況下，直角三角形是求解或運用銳角三角函數的前提條件，當題目中所提供的是非直角三角形時，需先通過作垂線（或高）添加輔助線，將非直角三角形分割成兩個直角三角形，再運用銳角三角函數解決問題．若條件中有線段的比或銳角三角函數，則也可以設一個輔助未知數，列出方程求解．【設計意圖】通過問題3，讓學生熟悉“化斜為直”解非直角三角形的方法．類型三解直角三角形與三角形面積的綜合應用【問題】4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC的面積．【師生活動】小組交流討論，然后學生代表作答，教師補充．【答案】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E．因為AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，所以DE＝CD＝6．在Rt△BDE中，BD＝12，．又因為∠B是銳角，所以∠B＝30°．在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝18，AC＝BC·tanB＝＝，所以△ABC的面積為．【歸納】解與三角形有關的面積問題的方法：先作輔助線構造直角三角形，再利用銳角三角函數求三角形的底或高，最后利用三角形面積公式求面積．【設計意圖】通過問題4，讓學生掌握與三角形有關的面積問題的解題方法．類型四運用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積【問題】5．如圖所示，已知四邊形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四邊形ABCD的面積．【師生活動】學生獨立思考作答，請兩名學生板演，教師總結．【答案】解：（方法1）如圖所示，延長DA，CB交于點E，則∠ABE＝60°，∠E＝30°．在Rt△EAB中，AE＝AB·tan60°＝30×＝90，，所以CE＝BE＋BC＝60＋50＝110．在Rt△DCE中，DC＝CE·tan30°＝＝110，所以S四邊形ABCD＝S△DCE－S△EAB＝＝．（方法2）如圖所示，過點B作BE∥AD，交CD于點E，過點E作EF∥AB，交AD于點F，則BE⊥AB，EF⊥AD，所以四邊形ABEF是矩形．所以∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°．在Rt△BCE中，，EC＝BC·tan∠CBE＝50×tan30°＝50．在Rt△DEF中，．所以AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130．所以S四邊形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC＝×(130＋100)×30＋×50×50＝4700．【歸納】用割補法求不規(guī)則圖形的面積：（1）分割原有圖形為規(guī)則圖形；（2）粘補原有圖形為規(guī)則圖形；（3）綜合運用分割、粘補的方法，使原有圖形變?yōu)橐?guī)則圖形．【設計意圖】通過問題5，讓學生能夠用割補法求不規(guī)則圖形的面積．類型五解直角三角形與圓的綜合性問題【問題】6．如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半徑．【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流，并派代表回答，教師板書．【答案】解：（1）直線CE與⊙O相切．證明：連接OE．因為四邊形ABCD是矩形，所以BC∥AD，∠ACB＝∠DAC．又因為∠ACB＝∠DCE，所以∠DAC＝∠DCE．因為OA＝OE，所以∠DAC＝∠AEO＝∠DCE．因為∠DCE＋∠DEC＝90°，所以∠AEO＋∠DEC＝90°．所以∠OEC＝90°．所以直線CE與⊙O相切．（2）因為，BC＝2，所以AB＝BC·tan∠ACB＝．所以．因為∠ACB＝∠DCE，所以．又因為DC＝AB＝，所以DE＝DC·tan∠DCE＝＝1．在Rt△CDE中，．設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即，解得r＝．【歸納】解直角三角形與圓的綜合題時，要注意角之間的相互關系．當題目涉及切線時，要注意切線的判定定理與性質定理的應用．【設計