甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文含解析

PAGE16-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文（含解析）說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘．答案寫(xiě)在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上．）1.已知集合，，則為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，依據(jù)函數(shù)定義域的求法得到集合，于是可得．【詳解】由題意得，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題以不等式的解法和函數(shù)定義域的求法為載體考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)函數(shù)f(x)＝－alnx，若f′(2)＝3，則實(shí)數(shù)a的值為()A.4 B.－4C.2 D.－2【答案】B【解析】f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可以對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一篩選，選項(xiàng)A、B、C呈現(xiàn)的函數(shù)是基本初等函數(shù)很簡(jiǎn)潔推斷，選項(xiàng)D則須要借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推斷【詳解】解：選項(xiàng)A：在（0,1）上是增函數(shù)，故解除；選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，且滿意，為奇函數(shù)，同時(shí)是冪函數(shù)，在（0,1）上的減函數(shù)，所以符合題意，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：依據(jù)奇偶性定義，可得到是定義域上偶函數(shù)，故解除；選項(xiàng)D：依據(jù)奇偶性定義，可得到是定義域上偶函數(shù)，故解除.【點(diǎn)睛】探討函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，可以借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)的定義來(lái)解決.4.曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判定點(diǎn)是否為切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線上．則在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具探討曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點(diǎn)處干脆求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以干脆利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．5.若，且，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選B.6.若函數(shù)且在上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)且在上為減函數(shù)可得，結(jié)合，再依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，得出結(jié)論.【詳解】由且在上為減函數(shù)，則，令，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為關(guān)于對(duì)稱(chēng)的偶函數(shù).函數(shù)的圖像，時(shí)是函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位得到的.故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的圖像，可利用函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.7.視察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A.28 B.76 C.123 D.【答案】C【解析】【詳解】由題視察可發(fā)覺(jué)，，，，即,故選C.考點(diǎn)：視察和歸納推理實(shí)力.8.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】試題分析：如下圖所示，畫(huà)出的函數(shù)圖象，從而可知交點(diǎn)，∴不等式的解集為，故選C．考點(diǎn)：1．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．9.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大?。驹斀狻?；；．故．故選A．【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)分對(duì)待．10.若函數(shù)的最小值3，則實(shí)數(shù)的值為（）A.5或8 B.或5 C.或 D.或【答案】D【解析】試題分析：由題意，①當(dāng)時(shí)，即，，則當(dāng)時(shí)，，解得或（舍）；②當(dāng)時(shí)，即，，則當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或；③當(dāng)時(shí)，即，，此時(shí)，不滿意題意，所以或，故選D.11.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿意：，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由定義在上的偶函數(shù)滿意可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較大小，從而可得所求結(jié)論．【詳解】因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，．又當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即．故選B．【點(diǎn)睛】解題時(shí)留意兩點(diǎn)：一是知道函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性中的兩特性質(zhì)可推出第三特性質(zhì)；二是比較函數(shù)值的大小時(shí)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行探討，利用單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系．12.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，，?duì)隨意，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用推斷出為減函數(shù)，結(jié)合，求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，則，所以為減函數(shù)，又，所以依據(jù)單調(diào)性可知，即解集是.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解抽象函數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（將答案寫(xiě)在答題卡上．）13.若函數(shù)____.【答案】32【解析】【詳解】當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以，.故答案為32.14.把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑（其中，為直角三角形兩直角邊長(zhǎng)）．類(lèi)比此方法可得三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為，，且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑______．【答案】【解析】【分析】利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑，類(lèi)比矩形的對(duì)角線為外接圓的直徑，由此求得.【詳解】，，兩兩垂直，則可將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，也即外接球的半徑.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題.15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的，，，四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)料如下：甲說(shuō)：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng)，然后推斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿意題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿意題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿意題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿意題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．【點(diǎn)睛】本題屬于信息題，可依據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所須要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采納依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿意題目條件來(lái)推斷其是否正確．16.已知函數(shù)，則方程實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，將代入，得，因?yàn)榭傻玫絻汕€相切，有一個(gè)零點(diǎn)，又易知在處的切線的斜率為1，可得到在切線的上方，故會(huì)有一個(gè)交點(diǎn).【詳解】當(dāng)時(shí)，將代入，得，因?yàn)?，所以與相切.又易知,在處的切線的斜率為.直線在切線的上方，所以與有一個(gè)交點(diǎn)，故題中方程的根的個(gè)數(shù)為2.故答案為2.【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以相互轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，假如是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù)，留意變形時(shí)讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)潔一些．三、解答題17.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2；（2）（1，3]．【解析】【分析】（1）利用為奇函數(shù)，滿意，由此求得的值.（2）由（1）推斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，所以又為奇函數(shù)，所以，于是時(shí)，，所以.（2）由（1）知在[，1]上是增函數(shù)，要使在[，]上單調(diào)遞增，則所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是（1，3]．【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.18.已知．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知（其中，），求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集；（2）利用基本不等式，求得，由此證得.【詳解】（1），即.①當(dāng)時(shí)，，得；②當(dāng)時(shí)，，得，不成立；③當(dāng)時(shí)，，得.綜上，所求的的取值范圍是.（2）因?yàn)?，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，得，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有肯定值的不等式的解法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.19.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫(xiě)出直線與圓的交點(diǎn)極坐標(biāo)及直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先解出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)；由題直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）將的參數(shù)方程代入圓的一般方程，結(jié)合韋達(dá)定理與參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1）聯(lián)立方程，解得，.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，則對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為，.由題得，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）將的參數(shù)方程代入圓的方程中，得，化簡(jiǎn)整理，得，且，設(shè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)，，所以，又由，的幾何意義可知，.【點(diǎn)睛】求極坐標(biāo)可先求直角坐標(biāo)，通過(guò)直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)，兩者之間的關(guān)系為；直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）直線與圓錐曲線交于，兩點(diǎn)，P為直線上定點(diǎn)，則.20.設(shè)函數(shù)，若曲線在處的切線方程為直線．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間為；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)切點(diǎn)和斜率列方程組，解方程組求得的值.（2）利用求得的單調(diào)區(qū)間.（3）依據(jù)的極值，求得的取值范圍.【詳解】（1）由已知得切點(diǎn)（1，），斜率因?yàn)?，所以，解得?）由（1）知，因此令即得或令即得故的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間為.（3）由（2）可知函數(shù)極大值為，微小值為.要使得有三個(gè)零點(diǎn)，則曲線與直線有三個(gè)不同交點(diǎn)所以實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的切線，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題.21.某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺(jué)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①；②；③；④；⑤；（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（2）依據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺(jué)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）選擇②式，（2）.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）選擇②式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及二倍角公式，求出常數(shù).（2）猜想.法一：利用兩角差的余弦公式綻開(kāi)，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證得結(jié)論成立.法二：利用提公因式法，結(jié)合兩角差的余弦公式、平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此證得結(jié)論成立.法三：利用降次公式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此證得結(jié)論成立.【詳解】（1）選擇②式，計(jì)算如下：.（2）三角恒等式為.法一：.法二：.法三：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.22.已知函數(shù)（）．（1）探討函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，（0，），恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）時(shí)，在（0，）上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0，）上有一個(gè)極值點(diǎn).（2）【解析】【分析】（1）首先求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成和兩種狀況，探討的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）利用求得的值，將不等式分別常數(shù)，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】