2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)綜合測評課后習(xí)題含解析新人教B版必修第三冊

PAGE綜合測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)y=4sin2x(x∈R)是()A.周期為2π的奇函數(shù) B.周期為2π的偶函數(shù)C.周期為π的奇函數(shù) D.周期為π的偶函數(shù)解析周期為2π2=π,因為定義域為R,以-x替換x,得4sin(-2x)=-4sin2x,答案C2.sin140°cos10°+cos40°sin350°=()A.12 B.-12 C.32 D解析依題意,原式=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin(40°-10°)=sin30°=12,故選A答案A3.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα=()A.55 B.15 C.33解析∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α,∵α∈0,π2,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴sinα=55.故選A答案A4.在邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中點,則AC·AE=(A.3+33 B.92 C.3解析由題意知∠ABC=120°,BA·BC=2×2×cos120°=-2,AC·AE=(BC-BA)·(BE-BA)=(BC-BA)·12BC-BA=12BC2-32答案D5.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖像如圖所示,為了得到g(x)=sin2x的圖像,可將f(x)的圖像()A.向右平移π6個單位 B.向右平移πC.向左平移π12個單位 D.向左平移π解析因為f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),函數(shù)圖像過點7π12,-1,所以-1=sin7π6+φ,可得φ=π3,因此函數(shù)f(x)=sin2x+π3的圖像向右平移π6個單位得到函數(shù)g(x)=sin2x的圖像,故選A答案A6.一個半徑為R的扇形,它的周長是4R,則這個扇形所含的弓形的面積是()A.12(2-sin2)R2 B.14RC.12R2 D.R21-sin22解析弧長l=4R-2R=2R,扇形的圓心角α=lR=2RR=2,S扇形=12lR=12×2R×R=R2,S三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin22·R2,S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin22·答案D7.已知cosα=-45,α∈(-π,0),則tanα-π4=()A.17 B.7 C.-17 D.解析∵cosα=-45,α∈(-π∴α∈-π,-π2,∴sinα=-35,tanα=3則tanα-π4=tanα-11+tanα=3答案C8.黃金三角形有兩種,其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形,它是一個頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).如圖所示,五角星是由五個黃金三角形與一個正五邊形組成,在其中一個黃金△ABC中,BCAC=5-12.依據(jù)這些信息,可得A.1-254C.-5+14 D.解析由題圖可知,∠ACB=72°,且cos72°=12所以cos144°=2cos272°-1=-5+1則sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=-5+1答案C二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對得3分,有選錯的得0分.9.若將函數(shù)f(x)=2sin2x+π3的圖像向右平移φ個單位,所得函數(shù)為偶函數(shù),下列選項中,滿意φ的取值的是()A.5π12 B.π3 C.2π解析由題意知函數(shù)f(x)=2sin2x+π3的對稱軸滿意2x+π3=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ2+π12(k∈Z),當k=-1時,可得位于y軸左側(cè)的對稱軸方程為x=-5π12,此時φ=5π12.當k=0時,可得位于綜上可得A,D滿意題意,故選AD.答案AD10.下列四個選項中,結(jié)果正確的是()A.cos(-15°)=6B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=0C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=1D.sin14°cos16°+sin76°cos74°=1解析選項A:原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×3選項B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B正確;選項C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12,C正確選項D:原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°=cos(76°-16°)=cos60°=12,D正確答案BCD11.在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,在下列命題中,是真命題的有()A.若a·b>0,則△ABC為銳角三角形B.若a·b=0,則△ABC為直角三角形C.若a·b=c·b,則△ABC為等腰三角形D.若c·a+c2=0,則△ABC為直角三角形解析在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,①若a·b>0,則∠BCA是鈍角,△ABC是鈍角三角形,選項A錯誤;②若a·b=0,則BC⊥CA,△ABC為直角三角形,選項B③若a·b=c·b,則b·(a-c)=0,即CA·(BC-AB)=0;CA·(BC+BA)=0,取AC的中點D,則CA·2BD=0,所以BA=BC,即△ABC為等腰三角形,④因為c·a+c2=AB·BC+AB2=AB·(BC+AB)=0,所以AB故選B,C,D.答案BCD12.對于函數(shù)f(x)=12cos2x-π2,給出下列結(jié)論,其中正確的是()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)在π6,C.函數(shù)f(x)在π4D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點-π2,0對稱解析由誘導(dǎo)公式可得:f(x)=12cos2x-π2=12sin2x所以T=2πω=2π2=π≠2若x∈π6,π2,則2x∈π3,π,12sin2x∈0,12,故函數(shù)令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ(k∈Z),即π4+kπ≤x≤3π4+kπ(k∈Z),函數(shù)f(x)在π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z)上單調(diào)遞減,當令2x=kπ(k∈Z),則x=kπ2(k∈Z),函數(shù)f(x)=12sin2x的對稱中心為kπ2,0(k∈Z),當k=-1時,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點-π2,0對稱,選項D答案CD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若sinθ2=45,且sinθ<0,則θ是第解析由倍角公式得cosθ=1-2sin2θ2=1-2×452=-725<0,又sinθ<0,因此,θ是第三象限角答案三14.設(shè)α為銳角,若cosα+π6=45,則sin2α+π12的值為.

解析設(shè)β=α+π6,則sinβ=35,sin2β=2sinβcosβ=2425,cos2β=2cos2β-1因此sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2β-π4=sin2βcosπ4-cos2βsinπ答案1715.已知平面對量a,b,c滿意|a|=1,|b|=1,|c-(a+b)|≤|a-b|,則|c|的最大值為.

解析當|c|為定值時,|c-(a+b)|當且僅當c與a+b同向時取最小值,此時|c-(a+b)|=|c|-|a+b|≤|a-b|,所以|c|≤|a+b|+|a-b|.因為|a|=|b|=1,所以(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=4,所以(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b|·|a-b|≤2[(a+b)2+(a-b)2]=8,所以|c|≤|a+b|+|a-b|≤22,當且僅當a⊥b且c與a+b同向時取等號.答案2216.函數(shù)y=cos2x-4sinx的最小值為,最大值為.

解析y=cos2x-4sinx=1-sin2x-4sinx=-(sinx+2)2+5,因為sinx∈[-1,1],所以當sinx=-1時,ymax=-1+5=4;當sinx=1時,ymin=-9+5=-4.答案-44四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知f(a)=sin(1)化簡f(a);(2)若f(a)=18,且π4<a<π2,求cosa-sin解(1)f(a)=si=sin2a·cosa·tana(2)由(1)知,f(a)=12sin2a=18,得sin2a=所以(cosa-sina)2=1-sin2a=34因為π4<a<π2,所以cosa-sin所以cosa-sina=-3218.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).(1)若a-tb與c共線,求實數(shù)t;(2)求|a+tb|的最小值及相應(yīng)的t值.解(1)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),又a-tb與c共線,c=(3,-1),∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=35(2)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),∴|a+tb|=(-=5(t-45)

2+495≥495=719.(12分)如圖所示,在平面直角坐標系中,銳角α,β(β>α)的終邊分別與單位圓交于A,B兩點,點A的坐標為45,3(1)若點B的坐標為513,1213,求cos(α+β)(2)若OA·OB=310解(1)因為α、β是銳角,且A45,35,B513,1213在單位圓上,所以sinα=35,cosα=45,sinβ=1213,cosβ=513,故cos(α+β)=cosαcosβ-sin(2)因為OA·所以|OA||OB|cos(β-α)=310且|OA|=|OB|=1,所以cos(β-α)=31010,可得sin(β-α)=1010(β>α),且cosα=45,sin故sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=3520.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,解(1)因為f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx,所以f(x)=sinωxcosωx+1+cos2ωx2=12sin2ωx+12cos2由于ω>0,依題意得2π2ω=π,所以ω(2)由(1)知f(x)=22sin2所以g(x)=f(2x)=22sin4當0≤x≤π16時,π4≤4x+π4≤π2,所以22≤sin4x+π4≤1故g(x)在區(qū)間0,π1621.(12分)向量a=cosx,-12,b=(3sinx,cos2x),x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=a·b.(1)求f(x)的表達式并化簡;(2)求出f(x)的最小正周期并在下圖中畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的簡圖;(3)若方程f(x)-m=0在[0,π]上有兩個根α,β,求m的取值范圍及α+β的值.解(1)f(x)=3sinxcosx-12cos2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6(2)f(x)的最小正周期T=π.(3)由圖可知,當m∈-1,-12時,α+β2=5π6,即α+β=5π3;當m∈-12,1時,α+β2=π3,即α+β=2π3;所以m的取值范圍為-1,-1222.(12分)已知向量OA=cos3x2,sin3x2,OB=cosx2,-sinx2,且x∈-π4(1)若f(x)=OA·OB,求函數(shù)f(x)關(guān)于x(2)求f(x)的值域;(3)設(shè)t=2f(x)+a的值域為D,且函數(shù)g(t)=12t2+t-2在D上的最小值為2,求a的值解(1)f(x)=OA=cos3x2cosx2-sin=cos3x2+x2=(2)由(1)知f(x)=cos2x,∵x∈-π4,π4,∴2x∈∴cos2x∈[0,1].故函數(shù)f