2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)第11章11.7.1離散型隨機(jī)變量的均值與方差含解析新人教B版

PAGE10-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)六十八離散型隨機(jī)變量的均值與方差(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.3【解析】選A.E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于 ()A.2 B.2或QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.由題意,QUOTE+QUOTE=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE.3.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=1)=QUOTE,P(X=a)=QUOTE,E(X)=QUOTE,則D(2X-1)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閄是離散型隨機(jī)變量,P(X=1)=QUOTE,P(X=a)=QUOTE,E(X)=QUOTE,所以由已知得1×QUOTE+a×QUOTE=QUOTE,解得a=2,所以D(X)=1-QUOTE2×QUOTE+2-QUOTE2×QUOTE=QUOTE,所以D(2X-1)=22D(X)=4×QUOTE=QUOTE.4.節(jié)日期間,某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元,銷售價(jià)為每束5元;節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理.依據(jù)前五年銷售狀況預(yù)料,節(jié)日期間這種鮮花的需求量X聽從如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若購進(jìn)這種鮮花500束,則利潤(rùn)的均值為 ()A.706元 B.690元 C.754元 D.720元【解析】選A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,所以利潤(rùn)是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).5.如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割成125個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,記它的涂油漆面數(shù)為X,則X的均值為EQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.X的分布列為X0123P所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.6.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,若EQUOTE=2,則DQUOTE的值可能是 ()X123PabcA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.由題意可得,EQUOTE=2=a+2b+3c,a+b+c=1,所以a=c,則DQUOTE=a(1-2)2+b(2-2)2+c(3-2)2=a+c,由概率的性質(zhì)可知a+c≤1,因此DQUOTE的值可能是QUOTE.7.若隨機(jī)變量X的分布列如表,且E(X)=2,則D(2X-3)= ()X02aPpA.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.由概率的性質(zhì)知p=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,則EQUOTE=0×QUOTE+2×QUOTE+a×QUOTE=2?a=3,所以DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=1,則DQUOTE=22DQUOTE=4.二、填空題(每小題5分,共15分)8.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次數(shù),則D(X)=________.

【解析】因?yàn)閄～BQUOTE,所以D(X)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.一射擊測(cè)試,每人射擊三次,每擊中目標(biāo)一次記10分,沒有擊中記0分.某人每次擊中目標(biāo)的概率為QUOTE,則此人得分的均值為________,方差為________.

【解析】記此人三次射擊擊中目標(biāo)X次,得分為Y分,則X～BQUOTE,Y=10X,所以E(Y)=10E(X)=10×3×QUOTE=20,D(Y)=100D(X)=100×3×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:20QUOTE10.據(jù)統(tǒng)計(jì),一年中一個(gè)家庭萬元以上的財(cái)產(chǎn)被竊的概率為0.005,保險(xiǎn)公司開辦一年期萬元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn),交保險(xiǎn)費(fèi)100元,若一年內(nèi)萬元以上財(cái)產(chǎn)被竊,保險(xiǎn)公司賠償a元(a>1000),為確保保險(xiǎn)公司有可能獲益,則a的取值范圍是________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解題指南】轉(zhuǎn)化為求保險(xiǎn)公司在參保人身上的收益的期望問題,由此列不等式求解.【解析】X表示保險(xiǎn)公司在參與保險(xiǎn)者身上的收益,其概率分布列為:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-QUOTE.若保險(xiǎn)公司獲益,則期望大于0,解得a<20000,所以a∈(1000,20000).答案:(1000,20000)(15分鐘35分)1.(5分)設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.隨機(jī)變量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量ξ2取值QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE的概率也為0.2.若記D(ξ1)、D(ξ2)分別為ξ1、ξ2的方差,則 ()A.D(ξ1)>D(ξ2).B.D(ξ1)=D(ξ2).C.D(ξ1)<D(ξ2).D.D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān).【解析】選A.令E(ξ1)=0.2(x1+x2+x3+x4+x5)=t,則E(ξ2)=0.2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)=t,D(ξ1)=0.2[QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE]=0.2[(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+5t2];記QUOTE=x′1,QUOTE=x′2,…,QUOTE=x′5,同理得D(ξ2)=0.2[(xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE)-2(x′1+x′2+x′3+x′4+x′5)t+5t2],只需比較xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE與QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE的大小,xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE=QUOTE[QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE[2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)+(2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1)]<QUOTE[2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)]=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以D(ξ2)<D(ξ1).【秒殺絕技】發(fā)覺E(ξ1)和E(ξ2)相等,其中的智者,更會(huì)發(fā)覺其次組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的兩兩平均值,故比第一組更“集中”、更“穩(wěn)定”,依據(jù)方差的含義,立得D(ξ1)>D(ξ2),而快速攻下此題.2.(5分)為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好,某校確定在每周的同一時(shí)間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》《數(shù)學(xué)建模》四門校本選修課程,甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí),假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響,且每人選擇每一門課程都是等可能的.設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)為____________.

【解析】X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【秒殺絕技】甲、乙、丙三人從四門校本課程中任選一門,可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù),則X～BQUOTE,所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×QUOTE=QUOTE.3.(5分)設(shè)20是等差數(shù)列x1,x2,x3,…,x19的公差,隨機(jī)變量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,則標(biāo)準(zhǔn)差QUOTE=________.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,所以PQUOTE=QUOTE,i=1,2,3,…,19,所以E(ξ)=QUOTE=x10,D(ξ)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE[QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE[QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE=QUOTE=30d2,所以QUOTE=QUOTEd=20QUOTE.答案:20QUOTE4.(10分)某學(xué)校在學(xué)校內(nèi)招募了12名男志愿者和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高編成如圖莖葉圖(單位:cm),若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個(gè)子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”.(1)假如用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?(2)若從全部“高個(gè)子”中選3名志愿者,用X表示所選志愿者中能擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)依據(jù)莖葉圖,有高個(gè)子12人,非高個(gè)子18人,所以利用分層抽樣的方法抽取的高個(gè)子的人數(shù)為QUOTE×5=2人,抽取的非高個(gè)子人數(shù)為QUOTE×5=3人,設(shè)至少有一人是高個(gè)子為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE=QUOTE,即至少有一人是高個(gè)子的概率為QUOTE.(2)依題意知,“女高個(gè)子”的人數(shù)為X,隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.隨機(jī)變量X的分布列是:X0123P數(shù)學(xué)期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=1.5.(10分)貧困戶楊老漢是扶貧政策受益人之一.據(jù)了解,為了幫助楊老漢早日脫貧,負(fù)責(zé)楊老漢家的扶貧隊(duì)長(zhǎng)、扶貧副隊(duì)長(zhǎng)和幫扶責(zé)任人常常到他家走訪,其中扶貧隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為QUOTE,扶貧副隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為QUOTE,幫扶責(zé)任人每天到楊老漢家走訪的概率為QUOTE. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率.(2)設(shè)扶貧隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)、幫扶責(zé)任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X,求X的分布列.(3)楊老漢對(duì)三位幫扶人員特別滿足,他對(duì)別人說:“他家平均每天至少有1人走訪.”請(qǐng)問:他說的是真的嗎?【解析】(1)設(shè)幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事務(wù)為A.P(A)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為QUOTE.(2)隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;P(X=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P(3)E(X)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以E(X)>1,所以楊老漢說的是真的.1.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(QUOTE=1)的值與公差d的取值范圍分別是 ()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.