第04講 一元二次函數(shù)（方程不等式）知識+真題+6類高頻考點 精講（原卷版）-備戰(zhàn)2025年高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練

第04講一元二次函數(shù)（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 3高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 4高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 6高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 7角度1：上恒成立（優(yōu)選法） 7角度2：上成立（優(yōu)選法） 7角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） 8角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） 8角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） 8高頻考點五：分式不等式 10高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用 11第四部分：典型易錯題型 13備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。 13備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負而漏解。 13第五部分：新定義題（解答題） 13第一部分：基礎(chǔ)知識1、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點：①函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)是方程的實根.②當(dāng)且()時，恒有()；當(dāng)且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根，()有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2).練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為.2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎希?1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；(2)當(dāng)時，求不等式的解集.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)若，求實數(shù)的值；(2)求不等式的解集.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；(2)若，，解關(guān)于的不等式．高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┤舨坏仁降慕饧癁镽，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．角度2：上成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠?！じ咭恍Ｂ?lián)考期中）命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為.角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（

） B． C． D．角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)校考期中）（1）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域為的奇函數(shù)，（其中為實數(shù)）．(1)求的值；(2)是否存在實數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．高頻考點五：分式不等式典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求的取值范圍.例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┮阎希?(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（2024上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┰O(shè)全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)（填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？例題2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數(shù)的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值.練透核心考點1．（2024下·西藏·高一開學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為多少米？第四部分：典型易錯題型備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。1．（2023上·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）一元二次不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負而漏解。2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式的解集