第七章《隨機變量及其分布》章末復(fù)習(xí)提升與檢測（原卷版）

第七章《隨機變量及其分布》章末復(fù)習(xí)提升與檢測知識體系能力整合一、條件概率與全概率公式1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率．2．掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【例1】(1)（2023?甲卷（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1(2)某飲料廠生產(chǎn)兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（

）A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【解題技法】計算條件概率要注意以下三點(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率．(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系，實現(xiàn)三者間的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想．【跟蹤訓(xùn)練】1．某部門對一家食品店的奶類飲品和面包類食品進行質(zhì)檢，已知該食品店中奶類飲品占，面包類食品占，奶類飲品不合格的概率為0.02，面包類食品不合格的概率為0.01．現(xiàn)從該食品店隨機抽檢一件商品，則該商品不合格的概率為（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.0152.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為．二、離散型隨機變量的分布列、均值和方差1．均值和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．2．掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養(yǎng)．角度1二項分布的均值、方差【例2】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．角度2超幾何分布的均值、方差【例3】某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2023年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．【解題技法】(1)關(guān)于二項分布的應(yīng)用把握二項分布的關(guān)鍵是理解隨機試驗中n次、獨立、重復(fù)這些字眼，即試驗是多次進行，試驗之間是相互獨立的，每次試驗的概率是相同的，判定隨機變量符合二項分布后結(jié)合相應(yīng)的公式進行計算．(2)關(guān)于超幾何分布的應(yīng)用不放回取次品是超幾何分布的典型試驗，可以將取球、選隊員等試驗歸入超幾何分布問題，再利用其概率、均值公式進行計算．【跟蹤訓(xùn)練】1．2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國隊員的點球，表現(xiàn)神勇，撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點球的個數(shù)X的期望為（

）A． B． C． D．22．某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為，則甲通過自主招生初試的概率為，.三、正態(tài)分布及其應(yīng)用解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時注意以下兩點：(1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．(2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題．【例4】（1）（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等（2）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（

）（若隨機變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【解題技法】利用正態(tài)曲線解決實際問題時常利用其對稱性解題，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率值求解，要注意正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的結(jié)合．【跟蹤訓(xùn)練】1．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)期末考試，每名學(xué)生的成績服從，成績不低于120分為優(yōu)秀，依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為（

）附：若，則.A．23 B．46 C．159 D．3172.（2022?新高考Ⅱ）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則．章末檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率2．已知隨機變量服從二項分布，即等于（

）A． B． C． D．3．“黃梅時節(jié)家家雨，青草池塘處處蛙”，黃梅時節(jié)就是梅雨季節(jié)，每年6月至7月會出現(xiàn)持續(xù)天陰有雨的天氣，它是一種自然氣候現(xiàn)象.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計，長江中下游某地區(qū)在黃梅時節(jié)每天下雨的概率為.假設(shè)每天是否下雨互不影響，則該地區(qū)黃梅時節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為（

）A． B． C． D．4．若隨機變量的分布列為X0123P0.10.20.10.30.10.2則當時，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（

）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.9396．若隨機變量服從兩點分布，其中，則（

）A． B． C． D．7．2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會”精神，舉辦“學(xué)兩會，知國事”知識競賽．高二學(xué)生代表隊由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生B也被抽到的概率為（

）．A． B． C． D．8．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．一個袋中有個同樣大小的黑球，編號為，還有個同樣大小的白球，編號為.現(xiàn)從中任取個球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．表示取出的最大號碼B．表示取出的最小號碼C．取出一個黑球記分，取出一個白球記分，表示取出的個球的總得分D．表示取出的黑球個數(shù)10．設(shè)離散型隨機變量的分布列為：012340.40.10.20.2若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B． C． D．11．下列關(guān)于隨機變量X的說法正確的是（

）A．若X服從正態(tài)分布，則B．已知隨機變量X服從二項分布，且，隨機變量Y服從正態(tài)分布，若，則C．若X服從超幾何分布，則期望D．若X服從二項分布，則方差三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%、2%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到的次品的概率為．13．已知隨機變量的分布列如表：012mn若，則．14．一個質(zhì)地均勻的正方體的六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)連續(xù)拋擲該正方體n次，發(fā)現(xiàn)落地后向上數(shù)字大于4的平均次數(shù)不小于3，則拋擲次數(shù)n的最小值為．四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)的概率．16.（本小題滿分15分）作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現(xiàn)的是博大精深的中華文化．為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，小明作為選手參加．除小明以外的其他參賽選手中，50%是一類棋手，25%是二類棋手，其余的是三類棋手．小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.3、0.4和0.5．(1)從參賽選手中隨機選取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率．17.（本小題滿分15分）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規(guī)定：每位同學(xué)有次投籃機會，若投中次或次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進行投籃訓(xùn)練，每人投籃次.已知甲同學(xué)每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立.(1)求甲同學(xué)通過測試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立.設(shè)經(jīng)過測試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為，求的分布列與均值.18.（本小題滿分17分）近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；(2)若預(yù)測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求的取