2024年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程 知識(shí)歸納與題型突破 （含答案）

第二章一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破一2024九年

級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記.巧練（北師大版）

第二章一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（八類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、一元二次方程的有關(guān)概念

1.一元二次方程的概念：

通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般式：j.-.J+6'.x+c-U（tJrC1）

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點(diǎn)：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再

將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0,看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.

對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

二、一元二次方程的解法

1.基本思想一元二次方程降次一＞一元一次方程

2.基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.

要點(diǎn)：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法.

三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

1.一元二次方程根的判別式

一元二次方程+bx+c=0（aw0）中，b'-4ac叫做一元二次方程a/+bx+c=0（a^Q）的根的

判別式，通常用“A”來表示，即A=人2—4ac

（1）當(dāng)△＞（）時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)△=（）時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）當(dāng)△＜（）時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

bQ

如果一元二次方程。/+歷:+c=0（aw0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否，x2,那么/+%2=——，七馬=一.

aa

注意它的使用條件為a#0,ANO.

要點(diǎn)：1.一元二次方程=°）的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問題：

（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題.

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

（2）已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程.

四、列一元二次方程解應(yīng)用題

1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答（寫出答案，切忌答非所問）.

4.常見應(yīng)用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(rùn)（銷售）問題、形積問題等.

要點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問

題的解決.

03題型歸納

題型一一元二次方程的概念及求參數(shù)

例題

1.下列方程中，一定是關(guān)于X的一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=OB.3X2-2X=3（X2-2）

C.x（x2-l）=xD.%2=1

鞏固訓(xùn)練

2.把N工-2）=4/-3；1化成一般形式為,二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)

項(xiàng)為________

3.關(guān)于x的方程（4+2）￡-2一3》-1=0是一元二次方程，則。的值是（）

A.a=±2B.a=-2C.a=2D.a為任意實(shí)數(shù)

4.要使方程（。-3）/+優(yōu)+1、+C=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A.a/）B.a扭C.且以-1D.際3且厚-1且（#0

題型二一元二次方程的根及其應(yīng)用

例題

5.已知關(guān)于x的一元二次方程2/+〃a-6=0的一個(gè)根是3,則加的值是—.

鞏固訓(xùn)練

6.若利是方程4/-2X-7=0的一個(gè)根，則代數(shù)式機(jī)一2療+3的值是—.

7.若尤=3是關(guān)于x的方程辦2-bx=6的解，則2024-9a+3b的值為.

題型三一元二次方程的解法

例題

8.一元二次方程石卜-6了=3石的實(shí)數(shù)根為（）

A.=0,=2\/3B.Xj=0,x2=5/3C.=V3,x0——\/3D.—2\/3,x2——\[3

鞏固訓(xùn)練

9.方程V=-a有實(shí)數(shù)根的條件是（）

A.a<0B.a>0C.a>0D.。為任何實(shí)數(shù)

10.方程4（2尤-l）2-25（x+l）2=0的解為（）

x=

A.xI=x2=-7B.=-7,X2=C.芯=；,々=7D.=-7,2^

11.形如（辦+加2=以〃/0）的方程，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.。>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.。=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.。<。時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根D.原方程的根為x=心士立

a

12.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）

A.爐_2尤-99=0化為（尤一I/=100B.爐+8戈+9=0化為（*+4）2=25

C.2/-7r-4=0化為=￡D.3x2-4x-2=0化為[一切=y

13.用配方法解方程/+6x+c=0（W0）,四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）

4ac-b2

A.

4/

b1-4ac

B.

2a2

(尤+)b1—4ac

C.?2=

2a4"

(X+/)2=b1+lac

D.

2a24

14.方程J—16=0的根的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

15.若實(shí)數(shù)加，，滿足"+2/+5乂m2+2/-5）=。，則機(jī)2+21的值為（

A.5B.2.5C.2.5或一5D.5或-5

16.一元二次方程x（2x-5）=以-10的根是

17.方程（%+1）（%—3）=5的解是（）

A.xi=\,%2—3B.xi=4,X2=—2

C.xi=-\,X2—3D.xi——4,%2=2

18.用求根公式解方程3^+4=12x,正確的是)

22

八12±A/12-3X4-12±V12-4X3X4

A.x=---------------------B.x=---------------------------

22x3

12±A/122+3X412±^(-12)2-4X3X4

C.xD.X—

22x3

19.當(dāng)。K0力2-4的20時(shí)，下列一元二次方程中兩個(gè)根是實(shí)數(shù)、士的是（）

2a

A.ax2++c=0B.ax2-bx+c=0C.ax2+bx=cD.:2=bx+c

20.解下列方程：①2x2—18=0；②9x2—12x—1=0；③3x?+10x+2=0；(4)2(5x-l)2=2(5x-1).用較簡(jiǎn)

便的方法依次是（）

A.①直接開平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法

B.①直接開平方法，②公式法，③、④因式分解法

C.①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法

D.①直接開平方法，②、③公式法，④因式分解法

21.用適當(dāng)方法解下列方程:

⑴(25=9；

(2)12x2-45x-525=0;

⑶(3X_1)2_(X+1)2=0；

(4)(X-2)2+X(X-2)=0；

（5）1%2-5V2X+1=0；

（6）0.3x2+0.5%=0.3x+2.1.

22.下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的問題.

解一元二次方程：6x2-2x=l-3x

解：原方程可以化為：2x（3x-l）=-（3x-l）第一步

兩邊同時(shí)除以（3x-l）得：2尤=-1第二步

系數(shù)化為1,得：x=第三步

任務(wù)：

（D小明的解法是不正確的，他從第_________步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤;

（2）請(qǐng)你繼續(xù)用因式分解法完成這個(gè)方程的正確解題過程.

題型四一元二次方程的代數(shù)應(yīng)用

例題

23.代數(shù)式尤2一4x+3的最小值為（）.

A.-1B.0C.3D.5

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24.在解一元二次方程廣+.+4=0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q,得到方程的兩個(gè)根是-3,1.小明看錯(cuò)了一

次項(xiàng)系數(shù)P,得到方程的兩個(gè)根是5,-4,則原來的方程是（）

A.-3=0B.y?+2x-20=0C.x2-lx-20=0D.x2-2x-3=0

25.已知根，〃是一元二次方程_?+3x+2=0的兩根，則-的值是（）

m

A.2B.一2C.V2D.-V2

26.方程ax2+bx+c=0(a<0)有兩個(gè)實(shí)根，則這兩個(gè)實(shí)根的大小關(guān)系是()

A—b—-4ac>-b+y/b~—4-cic

2a2a

B-b—J/-44c>-44c

2a2〃

C-b—db2-4〃cv—Z?+VZ72—4-cic

2a2a

D-b—J/-4acv-b+J/-44c

2a2a

k

27.已知多項(xiàng)式-x+（3-J）,若無論x取何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，則上的取值范圍是

28.如果代數(shù)式/+了+2與5尤一2的值相等，那么產(chǎn).

29.已知a2+5a=-2,b2+5Z?=-2,則a+6的值=

30.已知關(guān)于x的一元二次方程a?+b尤+c=o（a,b,c為常數(shù)，且awO）,此方程的解為年=2,x2=3.貝I]

關(guān)于x的一元二次方程9ax2-3bx+c=Q的解為.

題型五一元二次方程的幾何應(yīng)用

例題

31.已知三角形其中兩邊之和為10,第三邊長(zhǎng)是是方程尤2-12x+ll=0的一個(gè)根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）

A.11B.21C.11或21D.11或1

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32.已知：a、b、c是AABC的三邊，且/_2a+b-2病斤+1c-石|+1=0,AABC的形狀是

33.已知2,3,a分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且a是關(guān)于x的一元二次方程（左-1）N-x+R+l=0的根,

則k的值為

34.如圖，在DABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)尸從A開始沿邊AB向點(diǎn)8以lcm/s的速度移動(dòng)，與

此同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)2開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),

兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間/秒.

⑴填空：BQ=cm,PB=cm；（用含/的代數(shù)式表示）;

（2）當(dāng)t為幾秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于4缶m;

（3）是否存在某一時(shí)刻/，使四邊形APQC的面積等于UABC面積的：？如果存在，求出f的值，如果不存在,

請(qǐng)說明理由.

題型六一元二次方程的根的判別式

例題

35.關(guān)于尤的一元二次方程N(yùn)-8x+3=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.無實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無法確定

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36.若關(guān)于x的一元二次方程An?-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<—B.m<——

33

C.—D.m且mNO

33

37.已知關(guān)于彳的方程妙2_2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加可取的最大整數(shù)是.

38.已知a,6,c分別是CIABC的邊長(zhǎng)，則一元二次方程（。+力/+2cx+a+b=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無法判斷

39.小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（aw0）時(shí)，只抄對(duì)了。=2,c=l,解出其中一個(gè)根是尤=1.他核

對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的b比原方程的b值小1,則原方程的根的情況是（）

A.不存在實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有另一個(gè)根是x=-lD.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

40.已知：關(guān)于x的一元二次方程/+（機(jī)+1）工+：機(jī)2-2=0.

（1）當(dāng)機(jī)取何值時(shí)，此方程沒有實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求加的最小整數(shù)值.

41.已知關(guān)于x的方程尤2-（%+3）x+3左=0.

（1）求證：無論上取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）如果這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)，其第三邊長(zhǎng)為4,求口ABC的周長(zhǎng).

42.關(guān)于x的一元二次方程辦2+6x+c=0（aw0）,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若a-6+c=0,則62_4ac20

B.若c是方程ox?+fcr+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則一定有ac+6+l=0成立

C.若方程辦2=c沒有實(shí)數(shù)根，則方程62+法+0=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.若"2是方程以2+Z>x+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則/-4ac=（2a〃z+6『

43.已知一兀二次方程x?+ax+l=0,/+6X+2=0,尤2+GX+4=。，其中a,b,c是正實(shí)數(shù)，且滿足尸=℃.設(shè)

這三個(gè)方程不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)分別為A/】，M2,M.,則下列說法一定正確的是（）

A.若陷=2,M2=2,則加3=。B.若陷=0,%=2,則朋3=0

C.若弧=1,M,=0,則M=0D.若M=0,M2=0,則M=O

題型七一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例題

44.方程尤2-4x=5的根是（）

A.x1x2=5B.芯+々=-4C.=-D.毛+4=4

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8oc

45.已知《、月是一元二次方程無2+2x-9=0的兩根，則土+下的值等于（）

ap

22224

A.——B.——C.——D.-

9999

46.已知卻馬是方程2X2+3X-7=0的兩個(gè)根，則町尤2+西考的值為（）

,21c259八63-133

A.——B.--------C.——D.-------

4888

47.設(shè)毛、巧是一元二次方程-—〃江-6=0的兩個(gè)根，且不+%=1,則|無1-％|=.

48.若4人是關(guān)于尤的一元二次方程/+/工+機(jī)-1=0為正整數(shù)）的兩根，則

202520252025、

（4-1）（4-1）（。2-1）（%-1）（。2024T）（源42T）的值為'

49.關(guān)于x的方程，尤2-2（機(jī)+l）x+療+11=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為演、移

（1）若等腰三角形，DABC其中兩邊的長(zhǎng)度為0馬,且另一邊的邊長(zhǎng)為6,求DABC的周長(zhǎng)；

⑵若X；+考=2卜卜2同+2%無2，求m的值

題型八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

例題

50.截止2023年底，我國(guó)新能源汽車銷量連續(xù)9年位居世界第一.隨著消費(fèi)人群的不斷增多，某品牌新能

源汽車的銷售量逐年遞增，銷售量從2021年的58萬輛到2023年的302萬輛.如果設(shè)從2021年到2023年該

品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x,那么可列出方程是（）

A.58（1+2x）=302B.58（1+%）2=302

C.58+58（1+%）=302D.58[1+。+尤）+（1+無丫]=302

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51.一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)大4.設(shè)

個(gè)位數(shù)字為x,則方程為（）

A.x2+(x-4)2=10(x-4)+x-4B.x2+(x—4)2=10(x—4)+x+4

C.X2+（X-4）2=10X+X-4-4D.X2+（X+4）2=10（X+4）+X+4

52.某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)32m、寬20nl的長(zhǎng)方形空地上修建三條同樣寬的道路(如圖)，剩余的空地上種植

草坪，使草坪的面積為570m2.設(shè)道路的寬為xm,則下面所列方程正確的是()

A.32x20-2/=570B.（20-x）（32-%）=570

C.（20-x）（32-2尤）=570D.3/=570

53.下圖是某一個(gè)月的日歷表，在表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)(如圖所示).請(qǐng)用方程知識(shí)解答下列問

題:

2023革06〃

日一二三四五

123

兒*節(jié)

45678910

II1213

181920

252627292930

(1)若在圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為84,求最小數(shù).

(2)在圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能為33嗎？請(qǐng)說明理由.

54.小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、8以順時(shí)針、

1Q

逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程/(。9與時(shí)間f(s)滿足關(guān)系：/=1r+j/(/>0),乙以4cm/s的

速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21cm.

(1)甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少？

(2)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？

55.近幾年，漢服的火爆“出圈”，引得不少年輕人為之心動(dòng)，它已然成為當(dāng)下的一種流行趨勢(shì).隨著群體的

喜愛，受眾的普及，漢服市場(chǎng)也在不斷擴(kuò)大，某漢服專賣店統(tǒng)計(jì)了近三年店內(nèi)漢服的銷售量，2021年銷售

量為3000套，2023年銷售量為4320套，且從2021年到2023年銷售量的年平均增長(zhǎng)率相同.

(1)求該款漢服銷售量的年平均增長(zhǎng)率；

(2)若該專賣店打算以進(jìn)價(jià)為100元/套的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批漢服，經(jīng)在市場(chǎng)中測(cè)算，當(dāng)售價(jià)為130元/套時(shí)，年銷

售量為2000套，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/套，則年銷售量將減少20套，為使年銷售利潤(rùn)達(dá)到72000

元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，該款漢服的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元？

56.教育部頒布的《義務(wù)教育勞動(dòng)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，要求以豐富開放的勞動(dòng)項(xiàng)目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)價(jià)

值觀和良好的勞動(dòng)品質(zhì).東北育才學(xué)校生態(tài)園新一年也有了新的規(guī)劃，請(qǐng)你根據(jù)素材完成任務(wù).

東北育才學(xué)校生態(tài)園2024年春季規(guī)劃

市場(chǎng)調(diào)研A,8兩(1)A型勞動(dòng)工具的單價(jià)比B型勞動(dòng)工具少3元.

素材一種型號(hào)的勞動(dòng)工具(2)用3000元購(gòu)買A型勞動(dòng)工具的數(shù)量與用3450元購(gòu)買8型勞動(dòng)工具的

價(jià)格.數(shù)量相等.

計(jì)劃購(gòu)買A,B兩(1)A,B兩種型號(hào)的勞動(dòng)工具共100個(gè).

素材二

種型號(hào)的勞動(dòng)工具(2)8型勞動(dòng)工具的數(shù)量不少于A型勞動(dòng)工具數(shù)量的一半.

(1)苗圃的一一面靠墻(堤于的最大可用長(zhǎng)度為14m),另三邊用木欄圍成，

中「司也用垂直一干墻的木欄隔開分成兩個(gè)區(qū)域，(2)如圖所示，在兩處各留

新規(guī)劃一塊矩形苗2m寬的門(「]不用木欄)修建所用木欄的總長(zhǎng)為32m,

素材三

圃ABCD

7

-1-I-—1-f-C~

門f]

問題解決

任務(wù)一求A,B兩種型號(hào)勞動(dòng)工具的單價(jià)各是多少元.

任務(wù)二求購(gòu)買這批勞動(dòng)工具的最少費(fèi)用.

設(shè)苗圃ABCD的一邊長(zhǎng)為由.

(1)用含x的代數(shù)式表示苗圃靠墻一邊AD的長(zhǎng)是_________m;

任務(wù)三

(2)若苗圃ABC。的面積為96m，求x的值；

(3)苗圃43C。的面積能否為llOn?.________(直接回答“能或不能”.)

第二章一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（八類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、一元二次方程的有關(guān)概念

i.一元二次方程的概念：

通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般式：j.t2+bx+c-I.'ax0）

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點(diǎn)：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再

將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為。，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.

對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為①

二、一元二次方程的解法

1.基本思想一元二次方程降次—>一元一次方程

2.基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.

要點(diǎn)：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法.

三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

1.一元二次方程根的判別式

一元二次方程以2+歷c+c=0（aW0）中，b2-4ac叫做一元二次方程a/+6x+c=0（aw0）的根的

判別式，通常用“A”來表示，即A=》2—4ac.

（1）當(dāng)△＞（）時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)△=（）時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）當(dāng)△＜（）時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

bc

如果一元二次方程。/+bx+c=o（awo）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否，％,那么尤1+巧=一一，再%2=—?

aa

注意它的使用條件為a#0,A＞0.

要點(diǎn)：1.一元二次方程8+°=的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問題：

（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題.

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

（2）已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程.

四、列一元二次方程解應(yīng)用題

1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答（寫出答案，切忌答非所問）.

4.常見應(yīng)用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(rùn)（銷售）問題、形積問題等.

要點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問

題的解決.

03題型歸納

題型一一元二次方程的概念及求參數(shù)

例題

1.下列方程中，一定是關(guān)于X的一元二次方程的是（）

2

A.ax+bx+c=OB.3尤？-2x=3,-2）

C.x（x2-l）=xD.x2=1

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未

知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案.

【解析】A.a=0時(shí)，是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；

B.經(jīng)化簡(jiǎn)，方程是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；

C.經(jīng)化簡(jiǎn)，方程為一元三次方程，故C錯(cuò)誤；

D.方程為一元二次方程，故D正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵在于掌握一元二次方程的判定.

鞏固訓(xùn)練

2.把N工-2）=4/-3；1化成一般形式為,二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)

項(xiàng)為-

【答案】3尤2一尤=03-10

【分析】原式去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，寫出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)即可.

【解析】解：x（尤-2）=4/-3x,,

去括號(hào)：尤2-2彳=4彳2—3x,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)：3X2-X=0,

.,.二次項(xiàng)系數(shù)為：3；一次項(xiàng)系數(shù)為：-1,常數(shù)項(xiàng)為：0；

故答案為：3x2-x=0;3；-1；0.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式為："2+法+,=0（。*0）是解題

的關(guān)鍵.

3.關(guān)于x的方程（°+2）/-2-3無一1=0是一元二次方程，貝匹的值是（）

A.a=±2B.a=-2C.。=2D.4為任意實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得a?一2=2且a+2加，求解即可.

【解析】解：由題意，得/-2=2且”+2加，

解得：。=2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的方程叫做一

元二次方程.

4.要使方程（"3）/+0+1〃+°=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A.啟0B.以3C.存1且屏-1D.存3且厚-1且“0

【答案】B

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【解析】解：根據(jù)一元二次方程的定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為。得，。-3力0,存3.

故選B.

【點(diǎn)睛】一元二次方程的一般形式是：以（a,b,c是常數(shù)且存0）特別要注意存0的條件.當(dāng)a=0

時(shí)，上面的方程就不是一元二次方程了，當(dāng)6=0或c=0時(shí)，上面的方程在存0的條件下，仍是一元二次方

程，只不過是不完全的一元二次方程.

題型二一元二次方程的根及其應(yīng)用

例題

5.已知關(guān)于尤的一元二次方程2d+皿-6=0的一個(gè)根是3,則根的值是—.

【答案】-4

【分析】根據(jù)一元二次方程2寸+如-6=0的一個(gè)根是3,將x=3代入原方程得到關(guān)于洸的一元一次方程進(jìn)

而即可解答.本題考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???關(guān)于x的一元二次方程2/+如-6=0的一個(gè)根是3,

...將x=3代入方程2/+〃zx-6=0得：2x32+3m—6=0,

解得：m=-4,

故答案為：-4.

鞏固訓(xùn)練

6.若根是方程4犬-2x-7=0的一個(gè)根，則代數(shù)式機(jī)-2療+3的值是—.

【答案】

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

7

先根據(jù)一元二次方程解的定義得到4/-2"-7=0,則2機(jī)2=5,再把*2布+3變形為-（2/-,〃）+3,然

后利用整體代入的方法計(jì)算.

【解析】解：“z是方程4/-2》-7=0的一個(gè)根，

4m2—2m—7=0,

2m之—m=—.

2

71

/.m—2m94-3=—（2m?2—m）+3=1-3=——.

22

故答案為：

7.若x=3是關(guān)于x的方程以2_版=6的解，則2024—9a+3b的值為.

【答案】2018

【分析】本題考查了方程的解的定義、代數(shù)式求值，根據(jù)方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，

把x=3代入原方程得出9。-36=6,整理2024-9a+36為2024-（9a-36）,整體代入計(jì)算即可，熟練掌握

方程的解的定義、代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???x=3是關(guān)于x的方程以2_版=6的解，

9a-3b=6,

:.2024—9〃+3Z?

=2024—（9a-3b）

=2024—6

=2018,

故答案為：2018.

題型三一元二次方程的解法

例題

8.一元二次方程石卜-如『=36的實(shí)數(shù)根為（）

A.%=0,無2=2-\/3B.Aj=0,%2=V3

C.xl-V3,x,=—y/3D.&=2-\/3,x,=—y/3

【答案】A

【分析】利用直接開方法解一元二次方程即可得.

【解析】V5（x-V3）2=3V5,

兩邊同除以石得：(X-8『=3,

利用直接開方法得：x-導(dǎo)土日

解得X]=0,9=2>/3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用直接開方法解一元二次方程，熟練掌握直接開方法是解題關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

9.方程有實(shí)數(shù)根的條件是()

A.a<QB.a>0C.a>0D.。為任何實(shí)數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性可以得出-00,再進(jìn)行整理即可.

【解析】解：???方程產(chǎn)=有實(shí)數(shù)根，

/.-a>0(平方具有非負(fù)性)，

：.a<Q；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得出-壯0.

10.方程4(2x-l)2-25(x+l)2=0的解為()

A.Xj=x2=-7B.無]=-7,x2---i

C.X]—?―,無？=7D.玉——7,]

【答案】B

【分析】移項(xiàng)后利用直接開平方法解答即可.

【解析】解：移項(xiàng)，得4(2x-1)2=25汽+1產(chǎn),

兩邊直接開平方，得2(2x-l)=±5(x+l),

即2(2x-1)=5(尤+1)或2(2x-l)=-5(x+l),

解得：%=—7,%2=--.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵.

11.形如(辦+6)2=p(aw0)的方程，下列說法錯(cuò)誤的是()

A.。＞。時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.p=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.。＜。時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根

D.原方程的根為王=從土方

a

【答案】D

【分析】根據(jù)應(yīng)用直接開平方法求解的條件逐項(xiàng)判斷即得答案.

【解析】解：A、當(dāng)。＞。時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

B、當(dāng)。=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

C、當(dāng)時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

D、當(dāng)pN。時(shí)，原方程的根為尤=二人土介,故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基本題目，熟練掌握應(yīng)用直接開平方法求解的條件是關(guān)鍵.

12.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）

A.尤2一2X-99=0化為(尤一1)2=100B.尤2+8尤+9=?；癁?X+4)2=25

C.2/-7f-4=0化為=—D.3/-4尤-2=0化為=y

I4J16

【答案】B

【分析】根據(jù)配方的步驟計(jì)算即可解題.

【解析】X2+8%+9=oy+8x=-9y+8x+16=-9+1+4)2=7

故B錯(cuò)誤.且ACD選項(xiàng)均正確,

故選：B

【點(diǎn)睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步驟：第一步平方項(xiàng)系數(shù)化1;第二步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到

右邊；第三步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第四步左邊寫成完全平方式；第五步，直接開

方即可.

13.用配方法解方程0^+版+°=0（際0）,四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）

.b、,4ac-b2

A.(x+—y=-----—

2a44

2

口，b.2b-4ac

2a2a2

C.（尤+2）：b1-4ac

4〃2

b1+lac

D.(x+—)

24

【答案】C

【分析】根據(jù)配方法的步驟：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的

一半的平方，即可得到答案.

【解析】I?：,**ax1+bx+c=O，

bb

H----X+

alala

I2a）4cr

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握配方法.

14.方程--16=0的根的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】移項(xiàng)得一=16=24然后兩邊同時(shí)開四次方得x-=±2,由此即可解決問題.

【解析】解：x4—16=0

AX4=16=24,

x=±2,

方程X4-16=0的根是x=±2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查高次方程的解法，解題的關(guān)鍵是降次，這里通過開四次方把四次降為了一次.

15.若實(shí)數(shù)機(jī)，“滿足（療+2*+5）（/+2/-5）=0,則加2+2/的值為（）

A.5B.2.5C.2.5或-5D.5或-5

【答案】A

【解析】略

16.一元二次方程x（2x-5）=4x-10的根是.

【答案】占=2,x2=|

【分析】方程變形為無(2%-5)-2(2%-5)=0,然后利用因式分解法解方程.

【解析】解：X(2%-5)=4x-10,

x(2x-5)-2(2x-5)=0,

(x-2)(2x-5)=0,

x-2=0或2x-5=0,

所以%=2,x2=~?

故答案為：x,=2,x2=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通

過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次

方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化

思想)，掌握因式分解解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

17.方程(冗+1)(%—3)=5的解是()

A.xi=l,X2=3B.XI=4,X2=—2

C.制=-1,&=3D.XI=-4,X2—2

【答案】B

【分析】先把一元二次方程展開合并，再根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解.

【解析】；(x+l)(x-3)=5,

??x2,—2x—8=0，

/.(x-4)(x+2)=0,

/.x-4=0或x+2=0,

??%—4,%?=-2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解題的關(guān)鍵.

18.用求根公式解方程3/+4=12x,正確的是()

12±V122-3X4-12±V122-4X3X4

AA.x----------------------6D?x=---------------------------

22x3

C12±V122+3X4D12±J(-12)2-4x3x4

22x3

【答案】D

【分析】先把3/+4=12x化成一般式3尤2_12X+4=0,直接運(yùn)用公式法解題即可.

【解析】解：3/+4=12x,

則一般式是3/_12X+4=0,

則a=3,b=-12,c-4,

那么A=62-4ac=(-12)2-4x3x4,

把a(bǔ)=3,ft=-12,△=/-4叱=(-12)2—4義3乂4者B代入x=中，

2a

得12±^(-12)2-4x3x4,

X~2x3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，正確掌握公式法是解題的關(guān)鍵.

19.當(dāng)。片0,〃-4就20時(shí)，下列一元二次方程中兩個(gè)根是實(shí)數(shù)一“土的是()

2a

A.ax2+bx+c=OB.ax2-bx+c=OC.ax2+bx=cD.ax1=bx+c

【答案】A

【分析】根據(jù)公式法，判斷選項(xiàng)中的一元二次方程的實(shí)數(shù)根是否是題目中給出的那個(gè).

【解析】一元二次方程以2+法+°=0,當(dāng)。#0,的時(shí)候，它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根從士'”-4碇.

2a

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法——公式法，解題的關(guān)鍵是掌握求根公式.

20.解下列方程：①2x2—18=0；②9x2—12x—1=0；③3x2+10x+2=0；@2(5x-l)2=2(5x-1).用較簡(jiǎn)

便的方法依次是()

A.①直接開平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法

B.①直接開平方法，②公式法，③、④因式分解法

C.①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法

D.①直接開平方法，②、③公式法，④因式分解法

【答案】D

【解析】①2