空間直線、平面的平行-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義（新高考專用）解析版

專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）

■目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................14

【考點11直線與平面平行的判定與性質(zhì)........................................14

【考點2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)........................................24

【考點3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用................................................32

【分層檢測】...............................................................43

【基礎(chǔ)篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................54

【培優(yōu)篇】.................................................................62

考試要求:

從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

??知識梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果平面外一條直線

a____

與此平面內(nèi)的一條直a,bua,a//b=>a

判定定理

線平行，那么該直線與//Q

此平面平行

一條直線和一個平面

平行，如果過該直線的a//a,au8,aCB

性質(zhì)定理

平面與此平面相交，那=b^>a//b

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面內(nèi)的

auB,buB,aCib

兩條相交直線與另

判定定理%%/=P,a//a,b//an

一個平面平行，那

X/a//J3

么這兩個平面平行

兩個平面平行，則

其中一個平面內(nèi)的/a/a//0,aua0ali

性質(zhì)

直線平行于另一個A.__/￡

平面

兩個平面平行，如

果另一個平面與這a〃￡,a（~yy=a,

性質(zhì)定理

兩個平面相交,那八:與必J3r\y=b=>a//b

么兩條交線平行

I常用結(jié)論

1.平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a±/3,則a〃及

⑵平行于同一平面的兩個平面平行，即若a〃人/3//y,則a〃/

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若b±a,則

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

▼判定定理判定定理

線線平行空一線面平行.々面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

國真題自測

一、解答題

1.（2024?全國,高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/io,

=■為CO的中點.

(1)證明：EM〃平面BCF；

⑵求點M到ADE的距離.

2.（2023?全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=26,PB=PC=R,

3尸,4尸,3。的中點分別為。,￡,。，點廠在4?上，BF1AO.

⑴求證：〃平面ADO；

⑵若/POP=120。，求三棱錐尸-ABC的體積.

3.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-44G中，平面

ABC,AB±AC,AB=AC==2,=1,〃為BC中點.，N為AB的中點,

（2）求平面AMQ與平面ACQA所成夾角的余弦值；

⑶求點C到平面AMQ的距離.

4.（2022?全國?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面

ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，,應(yīng)如均為正三角形，且它們所在的平面都

與平面ABCD垂直.

(1)證明：EF〃平面ABC。；

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).

5.(2022?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面BCC內(nèi)為正方形，平面BCQ4，平面AB耳A,

AB=BC=2,M,N分別為A耳，AC的中點.

B[M

C

⑴求證：MN〃平面BCC4；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A2與平面所成角的正弦值.

條件①：ABLMN-,

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

參考答案:

1.⑴證明見詳解;

加6而

⑷-~-

【分析】(1)結(jié)合已知易證四邊形EFCM為平行四邊形，可證〃尸C,進而得證;

(2)先證明Q4，平面EDM,結(jié)合等體積法VM_ADE=VA_EDM即可求解.

【詳解】(1)由題意得，EF//MC,且=

所以四邊形是平行四邊形，所以EM/AFC,

又u平面BCF,EMU平面BCF,

所以〃平面BCP；

(2)取。M的中點。，連接。4,0E,因為A3〃MC,且AB=MC,

所以四邊形是平行四邊形，所以AM=BC=W，

又AD二M,故△ADM是等腰三角形，同理是等腰三角形，

^^OAlDM,OE±DM,OA=JAD2=3,0E=]ED?等]=6,

又AE=2百,^VXO^+OE2=AE2,故OA_LOE.

又OA_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以Q4_L平面EDM,

易知S,E7Ml=gx2xJ^=G.

在VADE中，cosZDE4=4+12一,二0

2x2x2。4

所以sinZDEA=叵,S讓4=^x2x2若、巫=叵.

4的242

設(shè)點M到平面ADE的距離為d,由VM_ADE=VA_EDM,

得gSg/qSEaOA,得〃=嚕，

故點M到平面ADE的距離為5坦.

13

AB

B\

E‘F

2.(1)證明見解析

⑵巫

3

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形OD所為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】(1)連接/，設(shè)=則BF=8A+A尸=(l-f)8A+fBC,AO=-BA+^BC,BF1AO,

1215

則BFAO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC-=4(t-V)+4t=0,

22

解得f=則/為AC的中點，由￡>,瓦。產(chǎn)分別為PB,外,3C,AC的中點，

2

于是￡)四〃43,。后=,43,0/〃4氏0歹=工48,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又EF<X平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

(2)過尸作PM垂直尸。的延長線交于點M,

因為PB=PC,。是3c中點，所以尸O18C,

在中，PB=a,BO==BC=后,

2

所以PO=JPB2-OB2=而^=2,

因為尸//AB,

所以O(shè)P_L3C,又POcOF=O,尸。,。/u平面尸。/，

所以3C人平面尸0斤，又孫/u平面尸。尸，

所以又BCFM=O,8C,FMu平面ABC,

所以PW_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為PM，

因為4?0斤=120。，所以NPOAf=60。，

所以刊0=尸(尢皿60°=2*@=6，

2

又名樹=|AB-BC=1X2X2A/2=2V2,

所以/ABC=-S.ABC-PM=-x2s/2xy/3=^-.

r-Aol^3ZAADC3/3

R

D,

3.⑴證明見解析

（靖

嗚

【分析】（1）先證明四邊形MW41G是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決;

（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；

（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解

連接MN，GA.由分別是8C,8A的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且阿=丁=1,

由棱臺性質(zhì)，AG//AC,于是MN//AG，由MN=A￡=1可知，四邊形/G是平行四邊形，則4N〃

MCX,

又4N<Z平面G"A,MC]U平面GK4,于是AN〃平面AMG.

(2)過M作MELAC,垂足為E,過E作垂足為歹,連接M/，GE.

由MEu面ABC,AAJ■面ABC,A4,1ME,又ME_LAC,ACP\AAt=A,AC,A41u平面AC￡4，則

平面ACGA.

由AGu平面4CC|4，故ME_LAG，又斯，AC］,MEcEF=E,平面MEF,于是AG，平

面MEF,

由Wu平面MEF,故AG，MF.于是平面AMC｛與平面ACCtA,所成角即ZMFE.

AB1.22

乂A/E=—=1,cosZCAC]>貝!|sinNCA。,故EF=lxsin/CAC],在RtMEF中,

（3）［方法一：幾何法］

過C1作GPLAC,垂足為尸，作GQLAM,垂足為。，連接尸。，尸M,過尸作PR，G。，垂足為R.

由題干數(shù)據(jù)可得,GA=C\Cf,C[M=[CF+PM2=#>,根據(jù)勾股定理,

由GP，平面AMC,Akfu平面AMC,則GPLAM,又GQLAM,G。C,P=C1,C|Q,C/u平面C￡Q,

于是A加2平面C/Q.

又mu平面。尸。，則尸尺，411,又尸穴，4。，CtQAM=Q,6彼人^^平面0^^故尸我,平面。］；^.

在Rt<PQ中'm=1詈=6=j

F

又C4=2PA,故點C到平面CXMA的距離是p到平面CXMA的距離的兩倍,

,4

即點C到平面AMCt的距離是§.

［方法二：等體積法］

輔助線同方法一.

設(shè)點C到平面AMCX的距離為/Z.

V

ct-AMc=~xCtPxS=jx2x-x^V2)=-,

1

V_z,V_1z1R35/2_/z

xflxSxhxXX

%-C1MA=~,AMCl=--y^—^=--

h24

由％Cj—A/MWC=VCr—CMA2—3—，即〃3.

4.（D證明見解析；

⑵*

【分析】⑴分別取鈿,3C的中點M,N,連接跖V,由平面知識可EM=FN,依

題從而可證平面ABCD,印，平面ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知應(yīng)0/〃W,即可知四邊形

￡WF為平行四邊形，干是EFIIMN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）再分別取AQOC中點K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長方體KmVL-EFGH的體積加上四棱

錐3-肱VFE體積的4倍，即可解出.

【詳解】（1）如圖所示：

G

分別取的中點M,N,連接MN,因為二E鉆.ESC為全等的正三角形，所以,

EM=FN,又平面及1B_L平面ABCQ,平面E4Bc平面ABCD=AB,EMu平面E4B,所以EM_L平面

ABCD,同理可得EV，平面ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知應(yīng)0///W,^EM=FN,所以四邊形

EMNr為平行四邊形，所以EFI/MN,又EP.平面A5C。，MNu平面ABCD,所以防〃平面ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如圖所示：

分別取力D,OC中點K,"由（1）知，EF//MN&EF=MN,同理有，HEI/KM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GFLN,由平面知識可知，BDLMN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,

所以該幾何體的體積等于長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐3-MVFE體積的4倍.

因為MN=NL=LK=KM=4拒,EM=8sin60=46，點8到平面MNFE的距離即為點B到直線“V的

距離d，d=20，所以該幾何體的體積

丫=（4@，4肉4、卜4必4昌2血=128用一百=等技

［方法二］:分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于0,連接。EQFQGQH.則該幾何體的體積等于四棱錐0-EFGH的體積加上三棱錐A-0EH的4

倍,再加上三棱錐E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中點P,連接APQP.則EH垂直平面

AP0.由圖可知，三角形AP0,四棱錐0-EFGH與三棱錐E-0AB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積

V=1.4^-(4V2)2+4---4V2--472-4A/5+4---4^--4V2-472=-^^.

332323

5.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)取A3的中點為K,連接MK,NK,可證平面MKN〃平面BCC4,從而可證〃平面BCC4.

(2)選①②均可證明平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量可求線面

角的正弦值.

【詳解】(])取A3的中點為K,連接

由三棱柱ABC-AgG可得四邊形人344為平行四邊形，

而百則

而平面BCC[4，平面BCC內(nèi)，故MK〃平面BCC4,

而CN=NABK=KA,則腿〃3C,同理可得NK〃平面BCC1耳，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面〃平面BCC4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

(2)因為側(cè)面8CC內(nèi)為正方形，故C3L8耳，

而CBu平面BCCtBt,平面CBB]G，平面ABB}4，

平面CBBXCXn平面ABBlAi=BBt,故C8_L平面AB4A,

因為NKHBC,故NK_L平面AB44，

因為ABu平面ABBiA,故NKJ_AB,

若選①，則AB,朋N,而NKLAB,NKMN=N,

故ABI平面肱VK,而AIKu平面肱VK,故AB_L"K,

所以而CBcAB=B,故8月，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),

故3A=(O,2,O),BN=(l,l,O),BM=(O,l,2),

設(shè)平面BMW的法向量為〃=(x,y,z),

n-BN-0fx+y=0t,、

則…c,從而:n>取z=—l,貝|J〃=-2,2,-1,

設(shè)直線A3與平面BMW所成的角為6,則

sin。=卜os(w,AB，=2~3=J'

若選②，因為NKHBC,故NK_L平面而KMu平面43與A，

故NK1KM,=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB=MN,故BBtM=MKN,

所以NBB、M=ZMKN=90°,故4旦_LBB,,

而C2J.8瓦，CBcAB=B,故2瓦_1平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),

故朋=(O,2,O),3N=(l,l,O),8M=(O,l,2),

設(shè)平面BNM的法向量為"=(x,y,z),

n-BN=0y=0/、

則，從而:c，取z=—1,則〃=一2,2,-1,

n-BM(y+2z=0

設(shè)直線A3與平面BNM所成的角為。，則

考點突破

【考點1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知6是空間內(nèi)兩條不同的直線，a,B,7是空間內(nèi)三個不同的平面，

則下列說法正確的是（）

A.若aua,則a_L/7

B.若aL/3,則aPa

C.若ac0=a,a_L/,則。

D.若ac0=a,bVa,則/?_1_<2或

2.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,0是兩個不同的平面，m，/是兩條不同的直線，且a尸=/則"加〃"是"力//

且加〃tz”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

3.（2024?湖北黃岡,模擬預(yù)測）如圖，正方體ABCD-AgGA的棱長為3,點E、FG分別在棱，RG，

D.ED.F1

4人上，滿足亍緘=染=￡，AG=X4A，記平面與平面ABC。的交線為/,貝（）

￡7]3￡7.CxiJ

Fc.

A.V2e（O,l）,AC〃平面￡FG

B.平面所G截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是240,1）

2

C.4=1時，三棱錐A-瓦6的外接球表面積為24兀

D.4=g時，直線/與平面ABC。所成角的正弦值為唱

4.（2023?遼寧沈陽?二模）在正方體ABCO-A4Gp中，AB=1,點尸在正方體的面內(nèi)（含邊界）

移動，則下列結(jié)論正確的是（）

7T

A.當直線男尸〃平面A3。時，則直線用尸與直線CQ成角可能為;

4

B.當直線耳尸//平面43。時，P點軌跡被以A為球心，!■為半徑的球截得的長度為：

4/

7TJT

C.若直線與尸與平面CGR。所成角為;，則點P的軌跡長度為g

42

D.當直線4PLA8時，經(jīng)過點8,P,2的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為］當,拒

三、解答題

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知平面BCE,CD//AB,3CE是等腰直角三角形，其中

⑴設(shè)線段BE中點為p，證明：CF〃平面ADE；

（2）在線段A3上是否存在點M,使得點B到平面CEM的距離等于受，如果存在，求MB的長.

2

6.（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，ZABC=6Q°,AE//DF,AE.LAD,

AB=AE=2DF=4.

E

⑴判斷AD是否平行于平面CEF,并證明；

(2)若面田:_1_面A6CD；求：

(0)平面ABCD與平面CEF所成角的大?。?/p>

(團)求點A到平面CEF的距離.

參考答案：

1.C

【分析】借助于模型，完成線面關(guān)系的推理可得c項正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結(jié)論,

進行對A,B,D選項的排除.

【詳解】對于A,由a_L/7,aua,設(shè)a(3=1,當。///時，可得。〃故A錯誤；

對于B,由。_1_￡,a，/?可得a〃a或aua,故B錯誤；

對于C,如圖，設(shè)=BY=c,在平面a作不與。重合的直線機，使機_Lb,

因aJ_/,則加J_/,因/?J_/,muB,則〃M/月，因ac￡=a,則加//a,于是a_L7,故C正確;

對于D,當c_L￡,ac[5=a,時，若匕且

則6可以和平面a,6成任意角度，故D錯誤.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求

解.

【詳解】當機///時，比可能在a內(nèi)或者月內(nèi)，故不能推出機///且加//a,所以充分性不成立；

當機//￡且“4/a時，設(shè)存在直線“ua,na。,且“//〃z,

因為機〃尸，所以〃//￡,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知〃〃/,

所以m//l,即必要性成立，故"〃"http://"是"〃"/尸且〃〃/a"的必要不充分條件.

故選：C.

3.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A；畫出截面即可判斷B；建立如圖空間直角坐標系，確定球心和半

徑即可判斷C；作出截面，如圖，確定交線，利用空間向量法求解線面角即可判斷D.

【詳解1A：由題設(shè)及正方體結(jié)構(gòu)特征，有AC//EF且ACU平面EFG,EFu平面EFG,故AC"平面EFG,

故A正確；

B：當4e(0,l)時，平面EfG截正方體所得截面圖形為五邊形或六邊形，

如圖，所以充分性不成立，故B錯誤：

05DFG

C：以。為原點，以D4,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

當2=(時，5(3,3,0),G(0,3,3),G(3,0,l),￡(1,0,3),*0,1,3),

外接球的球心在過線段EG的中點，且垂直于平面4R/M的直線上，

EG的中點加(2,0,2),可記球心0(2/2),外接球的半徑廠=|。同=|。尸|,

所以J1+7+1=J4+(-1)+1,解得t=2,r=y/6,

所以三棱錐A-E/G的外接球表面積為24兀，故C正確;

FG

D：作出截面圖形，交A。于M（2,0,2）,交耳C于

直線/即為直線MN,=又平面ABCD的法向量為〃=（O,（U）,

.川3

2A/6

則/與平面ABCD所成的角夕滿足sin。=cosMN,“故D正確.

I|AW||?|19c9~6~

44

【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

4.BCD

【分析】A應(yīng)用線面平行、面面平行的判定證面A3D//面進而判斷P的軌跡，即可判斷線線角的

范圍；B根據(jù)A分析知：P點軌跡為線段C2，再畫出球與各面的截面形狀,即可判斷;C根據(jù)耳G，面CCRD,

結(jié)合線面角大小確定尸的軌跡，即可求長度；D首先確定尸軌跡為線段CG，再應(yīng)用平面的基本性質(zhì)畫出截

面，進而確定面積范圍.

【詳解】A：如下圖，連接C4、CR、BR,由正方體性質(zhì)知：CB\HDA\,CR//網(wǎng),

由eq。面照＜=面48。，則Cq〃面同理可證CR〃面,

又CgCD,=C,C4，CRu面C4R,故面480//面CBQ,

由耳e面CBQ,面CBQc面CG，O=C，，且尸在正方體的面CG。。內(nèi)，

所以，要使直線4尸〃平面43。，則4Pu面C瓦R,即尸eCR,又國C瓦2為等邊三角形,

故尸在CR上運動時，直線男尸與直線CQ成角為耳,自，錯誤；

B：由A分析知：直線男尸//平面480,P點軌跡為線段CR,

取C2中點H,連接AD1,AH,而回AC2為等邊三角形，則AH=^AD；-HD；==(

以A為球心，!■為半徑的球截C2的長度為2?。?_(當y=g,正確；

JT

C：由4G，面CGA。，顯然用2、3c與面CG2。夾角為：，

4

7T1

所以，要直線男尸與平面CG。。所成角為:，則p軌跡是以G為圓心C2為半徑的:圓,

44

如下圖示:

4D、

171

所以‘軌跡長度為r2k5,正確;

D：若4P_LA8,而AB〃CD,則與尸_LCD,而CD_L面8耳￡。，21€面8月￡。，

又面BBCC1面CCQQ=CG，故尸軌跡為線段CC，

過2作AE//BP交AA于E,連接班，易知：截面BP2E為平行四邊形，如下圖,

當P與C或C1重合時，截面為矩形，此時面積最大，為0；

當P為C￡的中點時，截面為菱形，此時面積最小，為工x6x0=

22

所以截面面積的取值范圍為F卷,④,正確.

故選：BCD

5.(1)證明見解析

(2)存在，MB的長為今詈

【分析】(1)取AE的中點G,根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)設(shè)MB=X,根據(jù)等體積法％-MEC=%-BEC求出X的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)取BE的中點/，AE的中點G,連結(jié)尸G、GD、CF

貝I］有GF=；AB,GFIIAB,

因為DC=LA8,CD//AB,所以CD〃G/且CE>=GE,

2

所以四邊形CFG。是平行四邊形，則CF〃DG,

又。Gu平面ADE,CP<z平面ADE,

所以CP〃平面ADE.

(2)存在.設(shè)河8=%(0<%<4),在Rt^BEC中，EC=BE2+BC2=4-72.

111Qy

x

因為MBJ,面BEC,所以VM_BEC=§$BECMB=—x—xBExBCxMB=-.

因為面BEC,fiEu面BEC,8Cu面BEC

所以MB_LBE,MBLBC,

則-MBE,.MBC均為直角三角形.

在RtAffiE中,ME=dMB。+BE?7￡+16

同理，MC=&+16.

取EC的中點7/,因為ME=MC,所以MHLEC,

而MH=JME2-EH?=6+8.

22

故SMFr=-xECxMH=-x4s/2xy/x+8=y/8x+64.

c22

因為點B到面CEM的距離等于正，

2

所以V-1Sx亞-2J/+8

切"VB-MEC-§3MEC*-

而％MEC=%.BEC，所以也匣，解得x=也.

3315

所以在線段A5上只存在唯一一點M,當且僅當8加=3回時，點3到面CEM的距離等于，2.

152

A

6.（1）4。與平面CEF不平行，證明見解析

（2）⑴f；（H）2忘

【分析】（1）取AE中點G,證明AD//GP,假設(shè)AD//平面CEF,根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明AD//EF,

推出矛盾，可得結(jié)論；

（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解平面與平面的角，（ii）利用向

量方法求點到平面距離.

【詳解】（1）4。不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中點G,

因為AE=2DP,所以AG//D￡AG=D/

則四邊形AGED為平行四邊形，所以AO//G/,

又GFcEF=F,所以AD不平行于EF,

假設(shè)的）〃平面CEF,

因為平面CEFc平面=A￡>u平面ADFE

所以AD/AEF,與AO不平行于防矛盾，

所以假設(shè)不成立，即不平行于平面CEF；

（2）取CD中點連接AM

因為菱形ABCD,ZABC=60°,

所以ACD為正三角形，又/為C。中點，所以40LCD,

由于AB//CD,所以

又面叢6_1_面色8?！?gt;,面E4Bc面ABCD=AB,Wu面ABCD

所以401面E4B,因為AEu面上46,所以

又因為AE_LAD,AMAD=4,政心<=面48<7￡),

所以隹_1_面45。，而AB,AMu面ABCD,所以AE_LAB,

所以如圖，以A為原點，AB,AM,AE所在直線為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),2(4,0,0),。(2,260),現(xiàn)0,0,4),網(wǎng)一2,262)

(i)因為面A3cO,所以AE=(0,0,4)為平面A3C。的一個法向量

設(shè)平面CEF的法向量為n=(x,y,z),因為CE=卜2,-2石,4),"=(-4,0,2)

n-CE=-2x-2s/3y+4z=0\y=

所以，_令x=l,〃=(1,62)

nCF=-4x+2z=0[z=2x

設(shè)平面ABC。與平面CEF所成角為6,

I_I\n-A^\8A/2Jr

所以cos6=cos<況AE>=^^=—^=一,則e

11\n\-\AE\2j2x424

即平面ABCD與平面CEF所成角大小為二；

(ii)因為衣=(2,2"0),由⑴知平面的一個法向量為〃=(1,后2)

所以點A到平面CEF的距離為=12+^01=20.

\n\2V2

反思提升：

(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點).

②利用線面平行的判定定理（a。a,bua,a//b^>a//a）.

③利用面面平行的性質(zhì)（a〃W，aua3a〃￡）.

④利用面面平行的性質(zhì)（a〃A，a&￡,a//a=a〃￡）.

（2）應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

【考點2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?安徽安慶?三模）在正方體-ABC，中，點瓦尸分別為棱的中點，過點及三點

作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱B片的交點是棱2瓦的一個三等分點

c.AC，平面

D.平面〃平面GEF

2.（2024?福建南平?二模）在正四面體A3CO中，尸為棱AD的中點，過點A的平面a與平面P3C平行，平

面a平面=平面a平面AC￡>=",則比，”所成角的余弦值為（）

A.也B.1C.2D.正

3333

二、多選題

3.（23-24高一下?河南?階段練習）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，

規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

角，角度用弧度制.例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為g,故其各個頂點的曲率均為

271_3><=

21'如圖，在直三棱柱MdAB。中，AC=BC=2,A41=|>點C的曲率為■|，2瓦廠分別為

4C,AB，AG的中點，則（）

A,直線8尸〃平面AQE

B.在三棱柱ABC-4耳G中，點A的曲率為957c

0

C.在四面體A]AOE中，點E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小為三

4.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形A5CD中，AB//CD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,將四邊形沿EF進行折疊，使AO到達AD位置，且平面A￡>'FE_L平面3CFE,連接A3,

D'C,如圖2,則（）

DF

EBAE

圖1圖2

A.BE^AD'B.平面A'EB〃平面DFC

7T

C.多面體AEBCD&為三棱臺D.直線AD與平面3CFE所成的角為:

三、解答題

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在圓錐尸。中，P為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，四邊形A3CO

是底面的內(nèi)接正方形，E#分別為PD,PA的中點，過點的平面為a.

⑴證明：平面?！钙矫鍼BC；

（2）若圓錐的底面圓半徑為2,高為石，設(shè)點/在線段EF上運動，求三棱錐尸-MBC的體積.

6.（2024?山東濰坊?三模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB1AC,AB=AC=2AA1,E是棱BC的中

點.

B

⑴求證：AC〃平面

（2）求二面角A-4的大小.

參考答案:

1.B

【分析】將線段阱向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱8的延長線交于G,”，連GG,￡〃分別與棱

BPBG1

B綜D2交于尸,。，可判斷A；利用相似比可得==亍=￡,可判斷B；證明4C，平面3G。即可判斷

C；通過證明AC，平面A用A，可判斷D.

【詳解】對于A,將線段反向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱CO的延長線交于G,H,

連GG，G〃分別與棱叫交于P,Q,得到截面多邊形C/EFQ是五邊形，A錯誤；

對于B,易知△AEF和3EG全等且都是等腰直角三角形，所以G2=A/=；2C,

BPBG1BP1~

所以==即■"二￡,點P是梭BA的一個A二等分點，B正確；

CCjCrCJDD}J

對于c,因為4瓦，平面BCC4，BC]U平面BCG4,所以

又BCJB。,AiB1瓦C=耳，A瓦,用Cu平面44C,所以J.平面44C,

因為ACU平面480,所以ACLBC],同理可證4CLBD,

因為BOcBG=B,BD,BQu平面BC.D,所以A.C，平面BC.D,

因為平面BCD與平面GM相交，所以A。與平面G所不垂直，C錯誤;

對于D,易知BC\〃AD\,BDHB\D\,所以人。，AQ，4C，瓦2,

又AC\cBR=Di，AD1,BRuABR,所以A.C_L平面ABR,

結(jié)合C結(jié)論，所以平面0所與平面A4R不平行，D錯誤.

故選：B.

2.B

【分析】由面面平行的性質(zhì)定理可得機//3P,n//PC,所以機，〃所成角即為/8PC,在△3PC中，由

余弦定理求解即可.

【詳解】因為平面a〃平面BBC,a、平面ASD=m,平面尸BCc面=3尸，

所以m//BP,

因為平面a〃平面P3C,a平面ACD=〃，平面尸3Cc面ACD=PC,

所以“//PC,

所以加，"所成角即為3尸,PC所成角，

而所成角為，3PC,設(shè)正四面體ABCD的棱長為2,

所以AS=AC=AD=3D=3C=2,所以BP=CP=6^2=5

故選：B.

3.ABD

【分析】利用面面平行的判定性質(zhì)判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大

小判斷D

【詳解】對于A,取A4的中點G,連接2G,FG,由DE,歹分別為AC,AB，aa的中點，

得DEIIBCIIB&IIFG,而歹G<Z平面DEu平面4。石，則尸G//平面A^E,

又BE11Afi,BE=Afi,則四邊形AEBG為平行四邊形，\EHBG,

而3G<Z平面A。',AEu平面4?！?則BG//平面AOE,又BGFG=G,

2G,尸Gu平面3FG,于是平面3FG〃平面AQE,由3尸u平面BFG,得〃平面AQE,A正確;

對于B,在直三棱柱ABC-AB。］中，CC,±AC,CCt±BC,

r\

則點C的曲率為2兀一2x'-NACB=g,解得/AC8=W，由AC=5C,得/CAB=^,

JTTTSi?

而因此點A的曲率為2兀一2x^-9=三，B正確；

對于C,過A作AHLED,交石。的延長線于“，連接4",由ML平面A3C,

DEu平面ABC,得A4］，OE,MiAH=A