北京市朝陽(yáng)區(qū)2023屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一數(shù)學(xué)試題

北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，集合，則（）A． D． C． B．2．若，則（）A． B． C． D．3．設(shè)，若，則（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知點(diǎn)，．若直線上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．和27．在長(zhǎng)方體中，與平面相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論一定成立的是（）A． B．C． D．8．聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的一個(gè)周期為B．的最大值為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)9．如圖，圓M為的外接圓，，，N為邊BC的中點(diǎn)，則（）A．5 B．10 C．13 D．2610．已知頂數(shù)為的等差數(shù)列滿(mǎn)足，．若，k的最大值是（）A．14 B．15 C．16 D．17第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．若，則______．12．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．13．經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為_(kāi)_____．14．在中，，，．①若，則______；②）當(dāng)______（寫(xiě)出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)．（15）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）求證：平面BDE；（Ⅱ）求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ABE的距離．17．（本小題13分）設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：的最大值為；條件③：的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．18．（本小題13分）某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別人數(shù)獲獎(jiǎng)人數(shù)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；（Ⅲ）用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．20．（本小題15分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓E的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)為A，直線與E相交于M，N兩點(diǎn)，直線AM與直線相交于點(diǎn)Q．問(wèn)：直線NQ是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．21．（本小題15分）已知有窮數(shù)列滿(mǎn)足．給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)s，，使得對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列A是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．（Ⅰ）判斷數(shù)列A：，1，0，1，0，1，是否為連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？是否為連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？說(shuō)明理由；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；（Ⅲ）若數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列，數(shù)列，0與數(shù)列都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且．求的值．北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．C2．A3．A4．D5．C6．B7．C8．D9．C10．B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11． 12． 13．214．6（答案不唯一） 15．①②④三、解答題（共6小題，共85分）16．（本小題14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，因?yàn)槠矫鍭BC，所以．又D，E分別為AC，的中點(diǎn)，則，所以．因?yàn)?，所以．又，所以平面BDE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．又平面ABC，所以平面ABC．因?yàn)槠矫鍭BC，所以．所以DA，DB，DE兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，則即令，則，．于是．設(shè)直線DE與平面ABE所成角為，則．所以直線DE與平面ABE所成角的正弦值為．（Ⅲ）因?yàn)橹本€DE與平面ABE所成角的正弦值為，所以點(diǎn)D到平面ABE的距離為17．（本小題13分）解：選條件②③．（Ⅰ）（其中，）．根據(jù)條件②可知，函數(shù)的最大值為．又，所以．根據(jù)條件③可知，函數(shù)的最小正周期為，所以．所以．（Ⅱ）由，得，則，所以．當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為0；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為．18．（本小題13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)”，則．（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2．記事件B為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”，事件C為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”．由題設(shè)知，事件B，C相互獨(dú)立且估計(jì)為，估計(jì)為．所以，，．所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）．19．（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．①若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．②若，令，得．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）①若，當(dāng)時(shí)，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．所以符合題意，②若，則．由（Ⅰ）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意．綜上，a的取值范圍為．（Ⅲ）若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則，且，即．欲證：只需證：，只需證：，即證：．由（Ⅱ）知，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．所以．所以．20．（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，得．所以橢圓E的方程為．因?yàn)?，，所以．所以橢圓的離心率．（Ⅱ）直線NQ過(guò)定點(diǎn)．理由如下：由，得．顯然，．設(shè)，，則，．直線AM的方程為．令，得，則．所以直線NQ的斜率為，且．所以直線NQ的方程為．令，則．所以直線NQ過(guò)定點(diǎn)．21．（本小題15分）解：（Ⅰ）數(shù)列A是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以A是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．因?yàn)椋?，，為?，0，1；，，，為1，0，1，0；，，，為0，1，0，1；，，，為1，0，1，，所以不存在正整數(shù)s，，使得．所以A不是連續(xù)項(xiàng)數(shù)（Ⅱ）設(shè)集合，則S中的元素個(gè)數(shù)為．因?yàn)樵跀?shù)列A中，，所以．若，則．所以在，，，…，這個(gè)有序數(shù)對(duì)中，至少有兩個(gè)有序數(shù)對(duì)相同，即存在正整數(shù)s，，使得，．所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí)，數(shù)列A一定是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，若，數(shù)列0，0，1不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．若，數(shù)列0，0，1，1不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．若，數(shù)列0，0，1，1，0不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．若，數(shù)列0，0，1，1，0，不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．若，數(shù)列0，0，1，1，0，，1不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．若，數(shù)列0，0，1，1，0，，1