2025年高考數學一輪復習：對數的概念 專項訓練【原卷版】

2025年高考數學一輪復習-431-對數的概念-專項訓練【原卷版】

[A級基礎達標]

1.若函數y=/(%)是函數y=ax(a>0,且aH1)的反函數，且/(2)=1,則

/(%)=()

-1

A.logxB.—C.logixD.2X~2

222

2.若(g)—3，貝(Ja—log遍譽=()

A.-1B.1C.|D.3

3.已知函數/1(%)=loga%(a>0,aH1),貝!Jy=f(l%l-1)的圖象可能是()

D.

02

4.已知偶函數/(%)在［0,+8)上單調遞減，若a=/(log32),b=/(2-),c=

/(-Ine)，則()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

5.(多選)已知函數/(%)的圖象與g(%)=2久的圖象關于直線y=%對稱，令

九(無)=/(I-|%|)，則關于函數九(%),下列說法正確的是()

A.九(%)的圖象關于原點對稱B.九(%)的圖象關于y軸對稱

C.h(x)的最大值為0D.九(%)在區(qū)間(-1,1)上單調遞增

6.已知函數/(%)滿足：①定義域為(一8,0)U(0,+8);②值域為R；③/(-%)=

/(%)，則一個滿足上述條件的函數/(%)=.

7.已知函數/(%)=logm(x-1)+l(m>O,znH1)的圖象恒過定點P,且點P在直

線ax+by-l(a>0,b>0)上，則ab的最大值為.

8.設函數/(%)是定義在R上的偶函數，當為20時，/(%)=lg(3x+1)-1，則不

等式/(%)>0的解集為.

9.已知/(久)=loga%+loga(4-％)(a>o，且aA1)，且/(2)=2.

(1)求a的值及/(%)的定義域；

(2)求/(%)在［1彳］上的值域.

［B級綜合運用］

10.已知定義在R上的奇函數/(%)在(-8,0］上單調遞增，且/(-2)=-2，則不等

式/Qgx)-/(1g；)>4的解集為()

A.(0喘)B.島,+8)C.(0,100)D.(100,+8)

11.若函數/(久)=loga(久2+梟)(a>0，且aH1)在區(qū)間G，+8)內恒有

/(%)>0，則/(%)的單調遞增區(qū)間為()

A.(0,+oo)B.(2,4-00)C.(1,+oo)D.&+8)

12.定義:區(qū)間%<%2)的長度等于%2-久1.函數y=|10gax|(a>1)的定義

域為［科詞(>1〈元)，值域為［0,1］.若區(qū)間|m,n］的長度的最小值為J，則實數a的

4

值為.

13.已知函數/(久)=loga(8-ax)(a>0,且aHl),若/(%)>1在區(qū)間［1,2］

上恒成立,則實數a的取值范圍是.

14.已知函數/(久)=log2e+a).

(1)若函數/(%)是R上的奇函數,求a的值；

(2)若函數/(無)在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值的差不小于2,求實數a的取值

范圍.

［C級素養(yǎng)提升1

15.(多選)若2。+1=3,2〃=g，則下列結論正確的是()

A.a+b=3B.b—a<lC.—1I1—>2D.R一<ctb<1

ab4

16.設函數g(%)=log3x,且函數y=/(%)的圖象與y=g(%)的圖象關于y=%對

稱.

(1)求函數y=/(%)的解析式；

(2)是否存在實數TH>0，使得對VKGR,不等式27n-3<zn/(%)恒成立？若

存在，求出m；若不存在，說明理由.

2025年高考數學一輪復習43.1-對數的概念-專項訓練【解析版】

［A級基礎達標］

1.若函數y=/(%)是函數y=dx(a>0,且a豐1)的反函數，且/(2)=1,則

/(%)=(A)

X2

A.log2xB.白C.logi%D.2~

22

［解析］選A.由題意知/(%)=logax(x>0).因為/(2)=1,所以loga2=1.所以a=

2.所以/(久)=log2x.

2.若=3，貝(Ja—log7g^=(B)

1

A.-1B.1C.iD.3

5

［解析］選B.因為=3，所以—a=log53,

所以a-log石膏-a-----2葭：i)=a+(-a)+1=1.故選B.

3.已知函數/(%)=logax(a>0,aW1),則y=/(|x|-1)的圖象可能是(B)

B.

［解析］選B.令y=g(x)=/(|%|-1)=loga(|x|-1),因為g(r)=loga(|-x|-

1)=9(久)，所以。(久)為偶函數,排除A,D;當％=3時，y=g(3)=

loga(|3|-1)=loga2，當％=|時，y=9(I)=loga(III-1)=-loga2，所以%=3

與X=|對應的函數值異號，排除

C.故選B.

02

4.已知偶函數/(無)在［0,+8)上單調遞減，若a=/(log32),b=/(2-),c=

/(-Ine)，貝U(C)

A.c>a>bB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

02

［解析］選c.因為0<log32<log33=1=Ine=2°<2，偶函數/(%)在［0,+oo)上

單調遞減,所以/Qog32)>/(Ine)>/(202).又/(一Ine)=/(Ine),即/(logs?)>

/(-Ine)>/(2°,2),所以a>c>b.故選C.

5.(多選)已知函數/(%)的圖象與以久)=2、的圖象關于直線y=%對稱，令

九(%)=，則關于函數九(%),下列說法正確的是(BC)

A.九(久)的圖象關于原點對稱B.九(%)的圖象關于y軸對稱

C.九(久)的最大值為0D.九(%)在區(qū)間(—1,1)上單調遞增

［解析］選BC.由題意得/(%)=log2%，則九(%)=log2(l-|%|)，為偶函數，故A錯

誤,B正確；

根據偶函數性質可知D錯誤；

因為1一|%|W1,所以九(%)Wlog2l=0，故C正確.

6.已知函數/(%)滿足：①定義域為(—8,0)U(0,+8);②值域為R；③/(—%)=

/(%),則一個滿足上述條件的函數/(%)=帥］(答案不唯一).

［解析］/(久)=ln|x|的定義域為(一8,0)U(0,4-00)，值域為R,且/(一x)=ln|-x|=

ln|x|=,因此/(%)=ln|x|符合題意.

7.已知函數/(無)=logm(x-1)+l(m>0,mH1)的圖象恒過定點P,且點P在直

線a%+by-l(a>0,b>0)上，貝［Jab的最大值為:.

［解析］由題意，得/(%)恒過點P(2,l),又點P在直線a%+by=l(a〉0,b>0)

上，

所以2a+b-1>2/2ab,則ab<g,當且僅當2a-b-時等號成立，所以ab的

oZ

最大值為2.

o

8.設函數/(%)是定義在R上的偶函數，當久20時，/(無)=lg(3x+1)-1，則不

等式/(%)>0的解集為(—8,—3)U(3,+8).

［解析］當久20時，由/(久)=lg(3x+1)-1>0，得久〉3.又因為函數/(%)為偶

函數,所以不等式/(久)>0的解集為(―%一3)U(3,+8).

9.已知/(%)=logax+loga(4-x)(a>0,且aAl),且/(2)=2.

(1)求a的值及/(%)的定義域；

［答案］解：由/(2)=2得，loga2+loga(4-2)=2,解得a=2,所以/(%)=

log2x+log2(4-x).

由F>°,解得0<x<4,故/(%)的定義域為(0,4).

14—%>0,

(2)求/(%)在［1彳］上的值域.

［答案］由(1)及條件知/(%)=log2x+log2(4-x)=log2［x(4-x)］=

2

log2［-(x-2)+4］,

設t(K)=一(％-2)2+4,%E［1,1］，則當％=2時，t(%)max=4；

當％=1時，t(x)=3;當％=3時，t(x)=7,

所以當％G［1,1］時，t(x)e8,4］,

Z4

所以/(%)max=10g24=2,/(%)min=1。82；=log27-2,

所以/(%)在［1,3上的值域為［log27—2,2］.

［B級綜合運用1

10.已知定義在R上的奇函數/(光)在(-8,0］上單調遞增，且/(-2)=-2，則不等

式/(Igx)>4的解集為(D)

A.(0,京)B.(總+8)C.(0,100)D.(100,+8)

［解析］選D.因為函數/(%)為奇函數,所以/(-%)=-/(%),又/(-2)=-2,所以

/(2)=2，所以不等式/(1g%)—/(g)>4，可化為2/(lg%)>4=2/(2)，即

/(Igx)>/(2),

又因為/(%)在(-8,0］上單調遞增,所以/(%)在R上單調遞增,所以恒%>2,解

得%>100.故選D.

11.若函數/(%)=log。8+|久)(a>0，且aA1)在區(qū)間G，+8)內恒有

/(%)>0，則/(%)的單調遞增區(qū)間為(A)

A.(0,+oo)B.(2,+oo)C.(1,+oo)D-(As)

［解析］選A.令M=x2+|x，當％e《,+8)時，Me(l,+oo)，恒有/(%)>0,所以

a〉1,所以函數y=10gaM為增函數，又M=(%+3—高，因為M的單調遞增區(qū)

\4/16

間為(一［,+8).又%2+|%>0,所以％>0或無<—|,所以函數/(%)的單調遞增

區(qū)間為(0,+8).

12.定義:區(qū)間<%2)的長度等于X2-久1.函數y=|10gax|(a>1)的定義

域為［風詞01<n)，值域為［0,1］.若區(qū)間|m,n］的長度的最小值為：，則實數a的

4

值為4.

［解析］由題意可作出函數y=Hogax|(a>1)的大致圖象，如圖所示，在區(qū)間和

區(qū)間［1,a］上函數y=|loga%l(a>1)的值域都是［0,1］.因為a—1—(1—5)=a+:—

2>0(a>1)，所以區(qū)間的長度相對于區(qū)間［La］來說較小，故1-［=3，解得

13.已知函數/(%)=loga(8-ax)(a>0,且aHl),若/(%)>1在區(qū)間［1,2］

上恒成立，則實數a的取值范圍是3.

［解析］當a>1時，/(%)=loga(8-ax)在［1,2］上是減函數,由/(%)>1在區(qū)間

［1,2］上恒成立，得/(%)min=loga(8一2a)〉1,解得1<a<|；當0<。<1時,

/(%)在［1,2］上是增函數,由/(%)>1在區(qū)間［1,2］上恒成立，得/(x)min=

loga(8-a)>1,解得a>4,故a不存在.綜上可知，實數a的取值范圍是(1,￡).

14.已知函數/(%)=log2R+a

(1)若函數/(久)是R上的奇函數，求a的值；

［答案］解：若函數/(%)是R上的奇函數,則/(0)=o,

所以log2(l+a)=0,所以a=0.

經檢驗，當a=0時，/(%)=-%是R上的奇函數.

所以a=0.

(2)若函數/(K)在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值的差不小于2,求實數a的取值

范圍.

［答案］由已知得函數/(%)是減函數,故/(%)在區(qū)間［0,1］上的最大值是/(0)=

log2(l+a),最小值是/(I)=log2G+a)-

由題意得log2(l+a)—log2G+a)22,

Mog2(l+a)>log2(4a+2).

r-r-|\Ifl+Cl4。+2,

所以14a+2>0,

解得-1<a<-I-

故實數a的取值范圍是(-表一寸.

［C級素養(yǎng)提升］

15.(多選)若2。+1=3,2〃=?,則下列結論正確的是(BCD)

113

A.a+b=3B.b—a<lC.—I—>2D.—<ctb<1