初中數(shù)學(xué) 認(rèn)識(shí)有理數(shù)（有理數(shù)及其分類）知識(shí)梳理與分類講解

專題2.1認(rèn)識(shí)有理數(shù)（有理數(shù)及其分類）

（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】認(rèn)識(shí)正數(shù)、負(fù)數(shù)

（1）正數(shù)：像+5,+g,萬(wàn)，2.86這樣大于0的數(shù)（“+”通常省略不寫(xiě)）叫做正數(shù)，正數(shù)大

于0;

（2）負(fù)數(shù)：像-5,-4焉，-0.68這樣正數(shù)前面加個(gè)符號(hào)“一”（負(fù)號(hào)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小

O

于0;

（3）0：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，正負(fù)數(shù)以0為界.規(guī)定：0是最小的自然數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)二】正、負(fù)數(shù)的意義

（1）具有相反意義的量：我們把某種量的一種意義規(guī)定為正的，而把與它相反的一種意義

規(guī)定為負(fù)的，負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的.

（2）具有相反意義的量的表達(dá)：描述一對(duì)具有相反意義的量的詞語(yǔ)一般是有一對(duì)反義詞，

習(xí)慣上，把“上升、增加、盈利、收入”等規(guī)定為正，“下降、減少、虧損、支出”等規(guī)定為

負(fù).

【知識(shí)點(diǎn)三】有理數(shù)的概念

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

知識(shí)拓展：有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)；反過(guò)來(lái)，分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)和

無(wú)限循環(huán)小數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)四】有理數(shù)的分類

（-）按定義分類（二）按性質(zhì)分類

*

‘正整數(shù)‘正整數(shù)

正有理數(shù)＜

整數(shù)＜零正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)有理數(shù)■零

【正分?jǐn)?shù)'負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)?負(fù)有理數(shù)，

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

知識(shí)拓展：（1）小數(shù)包括無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，故小數(shù)不能等同于分?jǐn)?shù)，但除了.無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)，其他小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)；（2）圓周率乃是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它不能化為分?jǐn)?shù)，是將來(lái)要

學(xué)的無(wú)理數(shù).

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

【知識(shí)點(diǎn)五】0的意義

（1）既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，正負(fù)數(shù)以0為界；（2）為了表示沒(méi)有而產(chǎn)生一個(gè)數(shù)0；（3）

0還可以表示為一個(gè)事件的起點(diǎn)；（4）與0對(duì)應(yīng)的是非零，非零表示正數(shù)或負(fù)數(shù)，總之，一

個(gè)圈，表示的意義有無(wú)窮無(wú)盡的地方.

【知識(shí)點(diǎn)六】帶“非”字的有理數(shù)

帶“非”字的有理數(shù)“非負(fù)數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)整數(shù)”“非正整數(shù)”“非零”“非小數(shù)”等等，如“非負(fù)數(shù)”

表示不是負(fù)數(shù)，就是正數(shù)或0,在理解“非負(fù)整數(shù)”，表示的含義有兩層意義：首先它是整數(shù)，

其次它才是正負(fù)整數(shù)，所以“非負(fù)整數(shù)”表示的是不是負(fù)整數(shù)，就是0和正整數(shù)，這是學(xué)生易

錯(cuò)的地方.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】正負(fù)數(shù)的意義與相反意義的量

【例1】

1.如果把一個(gè)物體向右移動(dòng)1m記作移動(dòng)+hn,那么這個(gè)物體又移動(dòng)了-1m是什么意思？

如何描述這時(shí)物體的位置？

【變式1】

（2024?四川自貢?二模）

2.負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5

元，那么支出8元記作（）

A.-8元B.3元C.-3元D.+13元

【變式2】

（2024七年級(jí)上?山東青島?專題練習(xí)）

3.下列各數(shù)中：5,-;，-3,0,-25.8,+2,負(fù)數(shù)有個(gè).

【題型2】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例2】

（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè)）

4.某飲料公司的一種瓶裝飲料外包裝上有"500±30（mL）”字樣，請(qǐng)問(wèn)"500±30（mL）”

是什么含義？質(zhì)檢局對(duì)該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為503mL,511mL,489mL,473mL,

527mL，問(wèn)抽查產(chǎn)品的容量是否合格？

【變式1】

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）

5.兩江新區(qū)正加快打造智能網(wǎng)聯(lián)新能源汽車產(chǎn)業(yè)集群，集聚了長(zhǎng)安、長(zhǎng)安福特、賽力斯、

吉利、理想等10家整車企業(yè)，200余家核心零部件企業(yè).小虎所在的生產(chǎn)車間需要加工標(biāo)

準(zhǔn)尺寸為4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范圍內(nèi)的尺寸為合格，則下列尺寸的零部件

不合格的是（）

A.4.4mmB.4.5mmC.4.6mmD.4.8mm

【變式2】

（2024?甘肅隴南?模擬預(yù)測(cè)）

6.根據(jù)文獻(xiàn)記載，魏晉學(xué)者劉徽是引入負(fù)數(shù)概念的第一人，他在注解《九章算術(shù)》時(shí)寫(xiě)道:

“正算赤，負(fù)算黑；否則以斜正為異.今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之.”簡(jiǎn)而言之，劉徽

不僅給了正負(fù)數(shù)定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負(fù)數(shù)，即“正算赤，負(fù)算黑”.如果向東走

30米記作“+30米”，那么向西走70米記作.

【題型3】有理數(shù)的分類

【例3】

（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）

7.把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的大括號(hào)里：

21

（T）0：（2）3.1415926；③200；（4）—2020；⑤—6.143；⑥）+108；（7）—；（8）—.

整數(shù)：{…};

正數(shù)：{?--};

正分?jǐn)?shù)：{…};

負(fù)有理數(shù)：{-??}.

【變式1】

（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

8.下列是數(shù)的分類，正確的是（）

整數(shù)有理數(shù)整數(shù)D.有理數(shù)［整數(shù)

A.有理數(shù)B.整數(shù)C.分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)I0

【變式2】

（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

22jr-314

9.在3.14,0,-2,0.12,y,——,0.2020020002...,中，正有理數(shù)有個(gè).

【題型4】理解0的意義

【例4】

（20-21七年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè)）

10.請(qǐng)寫(xiě)四句話，說(shuō)明數(shù)“零”（0）的數(shù)學(xué)特性.（例：0是絕對(duì)值最小的數(shù).例句除外）

【變式1】

（2024七年級(jí)上?山東青島?專題練習(xí)）

11.下列關(guān)于零的說(shuō)法中，正確的是（）

A.零是正數(shù)B.零是負(fù)數(shù)

C.零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)D.零僅表示沒(méi)有

【變式2】

（2024七年級(jí)上?山東青島?專題練習(xí)）

12.下列關(guān)于“0”的說(shuō)法正確的有個(gè).

①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；②0是正數(shù)；③0是自然數(shù)；④不存在既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

的數(shù)；⑤0既是整數(shù)也是偶數(shù)；⑥0不是負(fù)數(shù).

【題型5】帶“非”字的有理數(shù)

【例5】

（23-24七年級(jí)上?河南鶴壁?期中）

221

13.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：-2,0,-0.314,25%,11,―,-4-,0.3,

2）.

5

非負(fù)有理數(shù)：｛…｝;

整數(shù)：｛…｝；

自然數(shù)：｛

非正整數(shù)：｛…｝.

【變式1】

（23-24七年級(jí)上?浙江寧波?期中）

12

14.已知下列各數(shù)：-8,2.57,6,----0.25,1-,0,其中非負(fù)有理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

【變式2】

（24-25七年級(jí)上?全國(guó),隨堂練習(xí)）

34

15.在+8,0,-］，+《，2023,-5,0.26,11.3中，非負(fù)整數(shù)有個(gè).

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】

（2024?河北?中考真題）

16.如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是

（）

星期星期星期星期四

///

2T40c

【例2】

（2024?湖北武漢?中考真題）

17.中國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家.負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上3C

記作+3℃,則零下2℃記作℃.

2、拓展延伸

【例1】

18.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的數(shù)集中：

223

+1—、-5%、200、-3、6.8、0、一一、0.12003407,1、-43.555、77%、-3-

5154

（1）非負(fù)數(shù)集合：（2）負(fù)有理數(shù)集合：

（3）正整數(shù)集合:（4）負(fù)分?jǐn)?shù)集合:

【例2】

19.把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的橫線上：

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

1,-0.20,3：,325,-789,0,-23.13,0.618,-2014,兀，0,1010010001....正數(shù)

有：;

分?jǐn)?shù)有：;

負(fù)數(shù)有：;

正整數(shù)有：;

非正數(shù)有：;

負(fù)整數(shù)有：;

非負(fù)數(shù)有：;

負(fù)分?jǐn)?shù)有：;非負(fù)整數(shù)

有：.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1.這個(gè)物體又移動(dòng)了-1m表示物體又向左移動(dòng)了1m.此時(shí)物體回到了原來(lái)的位置.

【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可得出答案.

【詳解】這個(gè)物體又移動(dòng)了-1m表示物體又向左移動(dòng)了1m.此時(shí)物體回到了原來(lái)的位

置.

【點(diǎn)睛】本題考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，解題的關(guān)鍵是正確理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性.

2.A

【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行解答.

本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義是關(guān)鍵.

【詳解】解：如果把收入5元記作+5元，

那么支出8元記作-8元.

故選：A.

3.3

【分析】本題考查了對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)定義的理解，注意零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).掌握正負(fù)

數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可，注意：零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

【詳解】解：5>0,是正數(shù)；

\<°，是負(fù)數(shù)；

-3<0,是負(fù)數(shù)；

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；

-25.8<0,是負(fù)數(shù);

+2>0,是正數(shù)；

負(fù)數(shù)有-：，-3,-25.8,共3個(gè).

故答案為：3個(gè).

4.合格，過(guò)程見(jiàn)詳解

【分析】本題考查用正負(fù)數(shù)表示變化的量，在用正負(fù)數(shù)表示變化的量時(shí)，先規(guī)定其中的一個(gè)

為正(或負(fù))，則其相反意義的量就用負(fù)(或正)表示.

理解500±30(mL)的意義,根據(jù)題意進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：“500土30(mL)”是500mL為標(biāo)準(zhǔn)容量，470-530(mL)是合格范圍，

故503mL,511mL,489mL,473mL,527mL,抽查產(chǎn)品的容量是合格的.

答案第1頁(yè)，共6頁(yè)

5.D

【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義求得合格尺寸的范圍，然后進(jìn)行

判斷即可，結(jié)合已知條件求得合格尺寸的范圍是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得合格尺寸的范圍為4.3mm~4.7mm,4.8mm不在尺寸范圍內(nèi)，

故選：D.

6.-70米

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示意義相反的量，向西走為正，則向東走為

負(fù)，即可得出結(jié)果；

【詳解】解：向東走30米記作“+30米”，那么向西走70米記作-70米；

故答案為：-70米

7.①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)

的分類，即可求解.

【詳解】解：整數(shù)：｛①③④⑥……｝；

正數(shù)：｛②③⑥⑧……｝

正分?jǐn)?shù)：｛②⑧……｝

負(fù)有理數(shù)：｛④⑤⑦……｝

故答案為：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦.

8.A

【分析】本題考查了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義，以及有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所

學(xué)的知識(shí).按照有理數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念進(jìn)行判斷即可得出答案.

【詳解】解：有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故A選項(xiàng)正確，符合題意；

整數(shù)可分為：正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

分?jǐn)?shù)可分為：正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：A.

9.3

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的知識(shí)，根據(jù)正有理數(shù)的概念分析各數(shù)，即可獲得答案.

227T-314

【詳解】解：在3.14,0,-2,O.i2,y,——,0.2020020002...,中，

答案第2頁(yè)，共6頁(yè)

正有理數(shù)有：3.14,0.12,―,共3個(gè)，

故答案為：3.

10.見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題意可以寫(xiě)出零的數(shù)學(xué)特性，本題得以解決.

【詳解】解：①零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；

②零小于正數(shù)，大于負(fù)數(shù)；

③零不能做分母；

④零是最小的非負(fù)數(shù)；

⑤零的相反數(shù)是零；

⑥任何不為零的數(shù)的零次幕為1:

⑦零乘以任何數(shù)都是零等.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以仿照例句寫(xiě)出關(guān)于零的別的數(shù)學(xué)特

性.

11.C

【分析】本題考查了對(duì)數(shù)的理解與運(yùn)用，注意：負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)都大于零，零既不是正

數(shù)也不是負(fù)數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)；零不僅表示沒(méi)有，還表示一個(gè)介于負(fù)數(shù)與正

數(shù)之間的一個(gè)數(shù).

依據(jù)題意，零大于負(fù)數(shù)，小于正數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整

數(shù)，從而即可根據(jù)以上內(nèi)容判斷求解.

【詳解】解：A、零不是正數(shù)，說(shuō)法錯(cuò)誤；

B、零不是負(fù)數(shù)，說(shuō)法錯(cuò)誤；

C、零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，說(shuō)法正確；

D、零不僅僅表示沒(méi)有，不同情形下，零表示的意義不同，說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：C.

12.4

【分析】本題考查了對(duì)數(shù)字0的認(rèn)識(shí)，注意：負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)都大于零，零既不是正數(shù)

也不是負(fù)數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)；零不僅表示沒(méi)有，還表示一個(gè)介于負(fù)數(shù)與正數(shù)

之間的一個(gè)數(shù).

依據(jù)題意，零大于負(fù)數(shù)，小于正數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整

答案第3頁(yè)，共6頁(yè)

數(shù)，零是自然數(shù)，零是偶數(shù)，從而即可根據(jù)以上內(nèi)容判斷求解.

【詳解】0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，故①正確；

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤，⑥正確；

0是自然數(shù)，故③正確；

存在既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)，即0,故④錯(cuò)誤；

0既是整數(shù)也是偶數(shù)，故⑤正確；

故答案為：4.

223

13.0,25%,11,—,0.3,2-；-2,0,11；0,11；-2,0

75

【分析】本題主要考查有理數(shù)的分類，熟知有理數(shù)分類是解題關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)的分類填空

即可.

223

【詳解】解：非負(fù)有理數(shù)：｛0,25%,11,―,0.3,2-...｝；

整數(shù)：｛-2,0,11...｝；

自然數(shù)：｛0,11...｝;

非正整數(shù)：｛-2,0...｝.

14.D

【分析】此題主要考查了有理數(shù)的分類，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.直接利用非負(fù)有理

數(shù)的定義得出答案即可.

122

【詳解】解：-8,2.57,6,-0.25,lj,。中非負(fù)有理數(shù)有：2.57,6,1-,0共

4個(gè).

故選：D.

15.3

【分析】本題考查有理數(shù)的分類及定義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握.非負(fù)整數(shù)

包括正整數(shù)和0,據(jù)此即可求得答案.

【詳解】解：+8,0,2023是非負(fù)整數(shù)，共3個(gè)，

故答案為：3.

16.A

【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的大小比較，熟練掌握正負(fù)數(shù)大小比較的方法解題的關(guān)鍵.

由五日氣溫為-2℃,-4coe得到-2>-4,-4<0<1,1>-1,則氣溫變化為先下降,

然后上升，再上升，再下降.

答案第4頁(yè)，共6頁(yè)

【詳解】解：由五日氣溫為-2C-4coeic-rc得到一2>-4,-4<0<1,1>-1

???氣溫變化為先下降，然后上升，再上升，再下降.

故選：A.

17.-2

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正,

則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【詳解】解：零上3。。記作+3℃,則零下2℃記作-2℃.,

故答案為：-2.

2

18.(1)+1->200、6.8、0、0.12003407、1、77%；

23

(2)-5%、-3、——、-43.555、-3-；

154

(3)200、1；

23

(4)-5%、一一、-43.555、-3-.

154

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得答案

2

【詳解】解：(1)非負(fù)數(shù)集合：+1~>200、6.8、0、0.12003407>1、77%；

23

(2)負(fù)有理數(shù)集合：-5%、-3、一二、-43.555、-3：；

154

(3)正整數(shù)集合：200、1；

23

(4)負(fù)分?jǐn)?shù)集合：-5%、一=、-43.555、-3-.

154

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，熟知有理數(shù)的分類是解題關(guān)鍵.