廣西桂平市2025屆高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高三數(shù)學(xué)考試注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集運算可得.【詳解】解不等式得，即，又，所以.故選：A2.若，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則計算出答案.【詳解】，故.故選：C3.2024年1月至5月重慶市八大類商品和服務(wù)價格增長速度依次為，，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后計算，由第6和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)可得.【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列：，因為，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.故選：B4.甲同學(xué)每次投籃命中的概率為，在投籃6次的實驗中，命中次數(shù)的均值為2.4，則的方差為（）A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96【答案】B【解析】【分析】利用二項分布期望值公式以及方差公式計算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得命中次數(shù)服從二項分布，即；即可得均值為，解得；所以的方差為.故選：B5.已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；顯然此時，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過點，因此函數(shù)的圖象不過第四象限.故選：D6.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，為的中點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓定義以及的位置關(guān)系及長度，構(gòu)造方程即可解得離心率.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知，由橢圓定義可得，又為的中點，可得，因為，由勾股定理可得，即；結(jié)合整理可得，即，解得或（舍）.故選：C7.已知正四面體的高等于球的直徑，則正四面體的體積與球的體積之比為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正四面體的特征求其高及體積，進而求球的體積即可.【詳解】如圖，正四面體，設(shè)其棱長為2，設(shè)的中心為，連接，延長交于，則平面且，故正四面體的高為且，所以.設(shè)球的半徑為，則，則球的體積為，故體積比為8.在中，，且邊上的高為，則（）A.面積有最大值，且最大值為B.的面積有最大值，且最大值為C.的面積有最小值，且最小值為D.的面積有最小值，且最小值為【答案】D【解析】【分析】由兩角和差的正弦展開可得，再由三角形面積公式可得，再通過余弦定理求得的范圍，即可求解.【詳解】因為所以所以，又為三角形內(nèi)角，所以，所以設(shè)角的對邊分別為，邊的高為，由三角形面積公式可得：，又，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以所以故選:D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則的值可能為（）A.8 B. C.24 D.【答案】AD【解析】【分析】先由拋物線方程寫出其準(zhǔn)線方程，利用點到直線距離公式列出方程，解之即得.【詳解】因拋物線的準(zhǔn)線為，則點到直線的距離為：，解得，或.故選：AD.10.將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期為C.與在上均單調(diào)遞減D.函數(shù)在上有5個零點【答案】ACD【解析】【分析】誘導(dǎo)公式結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可判斷A；根據(jù)周期變換求，由周期公式可判斷B；整體代入法求單調(diào)區(qū)間即可判斷C；直接解方程求零點可判斷D.【詳解】對A，，顯然為偶函數(shù)，A正確；對B，由題知，，則最小正周期，B錯誤；對C，由得，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，由得，在上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，C正確；對D，由得，所以或，即或，因為，所以，所以函數(shù)在上有5個零點，D正確.故選：ACD11.若函數(shù)，則（）A.可能只有1個極值點B.當(dāng)有極值點時，C.存在，使得點為曲線的對稱中心D.當(dāng)不等式的解集為時，的極小值為【答案】BCD【解析】【分析】A項，根據(jù)判別式分類討論可得；B項，有極值點轉(zhuǎn)化為，結(jié)合A項可得；C項，取，驗證可得；D項，由不等式解集結(jié)合圖象可知，1和2是方程的兩根且，解出系數(shù)，代入函數(shù)求解極值即可判斷.【詳解】，則，令，.A項，當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增，不存在極值點；當(dāng)時，方程有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)為，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；故在處取極大值，在處取極小值，即存在兩個極值點；綜上所述，不可能只1個極值點，故A錯誤；B項，當(dāng)有極值點時,有解，則，即.由A項知，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，不存在極值點；故，故B正確；C項，當(dāng)時，，，所以，則曲線關(guān)于對稱，即存在，使得點為曲線y=fx的對稱中心，故CD項，不等式的解集為，由A項可知僅當(dāng)時，滿足題意.則且，且在處取極大值.即，則有，故，，又，解得，故，則，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增；故在處有極大值，且極大值為；在處有極小值，且極小值為；故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決關(guān)鍵在于D項中條件“不等式的解集為”的轉(zhuǎn)化，一是解集區(qū)間的端點是方程的根，二是在處取極值，從而.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求解可得.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：13.已知是等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義可得數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列前項和公式計算可得結(jié)果.【詳解】由是等比數(shù)列可得其公比，因此數(shù)列的首項為，公比，所以，即；所以數(shù)列的前項和為.故答案為：14.甲?乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標(biāo)號為的6個大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在三個盒子中各放入2個編號不同的小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個盒子中編號較大小球的概率，然后可解.【詳解】將問題轉(zhuǎn)化為：在三個盒子中各放入2個編號不同的小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個盒子中編號較大小球的概率.甲從三個盒子中各取一球，共有種取法，三個都是編號較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在正方體中，點分別在上，且.（1）若，證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用法向量求解出面面角的余弦值.【小問1詳解】因為，，所以四邊形為平行四邊形，故，，又，，故，，又，，故，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為3，則，可得，設(shè)平面的法向量為m=x,y令得，，故，且平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為，則所以平面與平面夾角的余弦值為.16.為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：男學(xué)生女學(xué)生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？（2）已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.【答案】（1）不能（2）人【解析】【分析】（1）首先假設(shè)，再計算，并和參考數(shù)據(jù)比較，即可作出判斷；（2）轉(zhuǎn)化為訓(xùn)練前的人數(shù)估計.由題意得的值，則即，利用正態(tài)曲線的對稱性與區(qū)間的概率參考數(shù)據(jù)【小問1詳解】：學(xué)生的性別和是否喜歡運動無關(guān).，所以根據(jù)的獨立性檢驗，不能認(rèn)為學(xué)生的性別與是否喜歡跳繩有關(guān).【小問2詳解】訓(xùn)練前該校學(xué)生每人每分鐘的跳繩個數(shù)，則，，，即訓(xùn)練前學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)在，，，，由（人）估計訓(xùn)練前該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.即預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.17.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線斜率為.（1）比較和的大小；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有最小值，且最小值為，求的最大值.【答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義列方程即可求解；（2）求導(dǎo)，分和討論導(dǎo)數(shù)符號即可得解；（3）利用（2）中結(jié)論表示出最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【小問1詳解】，由題知，整理得.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，恒成立，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時，無最小值，當(dāng)時，在處取得最小值，所以，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，即的最大值為.18.已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到定直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）在直線上有一點，過點的直線與曲線相交于兩點.設(shè)，證明：只與有關(guān).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點，依題可得，化簡得；（2）設(shè)，由題意求出，由消去整理得，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合圖形將表示為，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)式計算化簡，并將以上各式代入整理，化成即得.【小問1詳解】設(shè)，依題意得，，兩邊取平方，，整理得，，即曲線的方程為：.【小問2詳解】如圖設(shè)點，因點既在直線上，又在直線上，故得：，解得，.由消去可得，，因，故點的直線與曲線相交于兩點，設(shè)，則，則，由圖知，，故只與有關(guān).19.若數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，求的取值范圍；（2）若數(shù)列的前項和，判斷數(shù)列是否為“穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由；（3）若無窮數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，且的前項和為，證明：當(dāng)時，.【答案】（1）（2）數(shù)列不是“穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析.（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入已知不等式，求解即可；（2）先利用求出數(shù)列bn的通項公式，然后再判斷是否滿足“穩(wěn)定數(shù)列”定義即可（3）先利用，建立不等式，兩式相加化簡，得，構(gòu)成一個新的數(shù)列，有然后，討論其相鄰兩項的正負(fù)，分別計算即可.【小問1詳解】由“穩(wěn)定數(shù)列”的定義可知,，解得，又因為，所以.【小問2詳解】數(shù)列bn不是“穩(wěn)定數(shù)列”令，得，當(dāng)時，，檢驗，當(dāng)時，，故