專題三-第二講-數(shù)列的綜合應(yīng)用

一、選擇題1．(2011·安徽高考)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝()A．15 B．12C．－12 D．－15解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A2．向量v＝(an＋1－eq\f(an,2)，eq\f(a\o\al(2,n＋1),2an))，v是直線y＝x的方向向量，a1＝5，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為()A．50 B．100C．150 D．200解析：依題意得eq\f(a\o\al(2,n＋1),2an)＝an＋1－eq\f(an,2)，化簡得an＋1＝an.又a1＝5，所以an＝5，數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為5×10＝50.答案：A3．等差數(shù)列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn為其前n項(xiàng)和，對任意自然數(shù)n，若點(diǎn)(n，Sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應(yīng)是()解析：∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n，又a1＞0，公差d＜0，所以點(diǎn)(n，Sn)所在拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)．答案：C4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3ax＋10a，x≤6，,ax－7，x＞6.))若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,8))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，1))解析：∵f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3an＋10a，n≤6，,an－7，n＞6))是遞減數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a<0，,0<a<1，,f6>f7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a<0，,0<a<1，,6－8a>1，))解得eq\f(1,3)<a<eq\f(5,8).答案：C二、填空題5．(2011·北京高考)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，則公比q＝____________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝____________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝eq\f(1,2)×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\f(1,2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝eq\f(1,2)(2n－1)＝2n－1－eq\f(1,2).答案：－22n－1－eq\f(1,2)6．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，xn＝________，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).由an＝lgxn，得an＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案：eq\f(n,n＋1)－27．(2011·陜西高考)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為________(米)．解析：當(dāng)放在最左側(cè)坑時(shí)，路程和為2×(0＋10＋20＋…＋190)；當(dāng)放在左側(cè)第2個(gè)坑時(shí)，路程和為2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(減少了360米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個(gè)坑時(shí)，路程和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了680米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí)，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：2000三、解答題8．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2(10－3n)x＋9n2－61n＋100(n∈N*)．(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)在(1)的條件下，若數(shù)列{cn}滿足cn＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋an)(n∈N*)，求數(shù)列{cn}中最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)．解：(1)證明：y＝f(x)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－210－3n,2)＝10－3n，∴an＝10－3n，∴an－an－1＝－3.∴{an}是等差數(shù)列．(2)∵cn＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋an)＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋10－3n)＝1＋eq\f(2,2n－5)，當(dāng)n≤2時(shí)，eq\f(2,2n－5)<0，且c1>c2，當(dāng)n≥3時(shí)，eq\f(2,2n－5)>0且cn>cn＋1.∴{cn}中最小的項(xiàng)為c2＝－1，最大的項(xiàng)為c3＝3.9．(2011·北京海淀)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)．(1)求Sn；(2)是否存在等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，則求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，則說明理由．解：(1)因?yàn)镾n＝Sn－1＋2n，所以有Sn－Sn－1＝2n對n≥2，n∈N*成立．即an＝2n對n≥2成立．又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n對n∈N*成立．所以an＋1－an＝2對n∈N*成立．所以{an}是等差數(shù)列．所以Sn＝eq\f(a1＋an,2)·n＝n2＋n，n∈N*.(2)存在．由(1)知an＝2n對n∈N*成立，則a3＝6，a9＝18.又a1＝2，所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，得eq\f(b2,b1)＝eq\f(b3,b2)＝3.即存在以b1＝2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列{bn}，其通項(xiàng)公式為bn＝2·3n－1.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求使得Sn>21－2n成立的最小整數(shù)n.解：(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．∴an＋1－an＝3·2n－1，∴n≥2時(shí)，an－an－1＝3·2n－2，…，a3－a2＝3·2，a2－a1＝3，累加得an－a1＝3·