空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)：FVM在復雜幾何中的應用

空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)：FVM在復雜幾何中的應用1空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)在復雜幾何中的應用1.1緒論1.1.1有限體積法的簡介有限體積法(FiniteVolumeMethod,FVM)是一種廣泛應用于流體力學數值模擬的離散化方法。它基于守恒定律，將計算域劃分為一系列控制體積，然后在每個控制體積上應用積分形式的守恒方程。這種方法確保了質量、動量和能量的守恒，使其在處理復雜流體問題時特別有效。1.1.2FVM在空氣動力學中的重要性在空氣動力學中，FVM被用于求解Navier-Stokes方程，這些方程描述了流體的運動。FVM能夠處理復雜的幾何形狀，如飛機翼型、發(fā)動機內部結構等，同時保持高精度和穩(wěn)定性。這對于設計和優(yōu)化飛行器、提高發(fā)動機效率等應用至關重要。1.1.3復雜幾何對數值模擬的挑戰(zhàn)復雜幾何形狀的處理是FVM應用中的一個主要挑戰(zhàn)。不規(guī)則的邊界和復雜的內部結構要求使用非結構化網格，這增加了計算的復雜性和難度。此外，網格質量、邊界條件的正確應用以及數值格式的選擇都直接影響到模擬的準確性和效率。1.2有限體積法在復雜幾何中的應用1.2.1網格生成在處理復雜幾何時，網格生成是關鍵的第一步。非結構化網格，如三角形或四面體網格，能夠適應復雜的邊界形狀。下面是一個使用Python的meshpy庫生成簡單二維非結構化網格的例子：#導入meshpy庫

importmeshpy.triangleastriangle

#定義幾何邊界

points=[

(0,0),

(1,0),

(1,1),

(0,1),

]

#創(chuàng)建邊界信息

boundary=[

{"points":[0,1],"code":"line(0,1)"},

{"points":[1,2],"code":"line(1,2)"},

{"points":[2,3],"code":"line(2,3)"},

{"points":[3,0],"code":"line(3,0)"},

]

#生成網格

info=triangle.MeshInfo()

info.set_points(points)

info.set_facets(boundary)

mesh=triangle.build(info)

#輸出網格信息

print(mesh.elements)1.2.2控制體積的離散化一旦網格生成，每個網格單元被視為一個控制體積。在每個控制體積上，守恒方程被離散化為代數方程。例如，考慮二維Navier-Stokes方程的離散化：#假設網格單元為三角形

#控制體積的離散化

defdiscrete_control_volume(mesh,u,v,p):

#遍歷每個網格單元

forelementinmesh.elements:

#計算網格單元的面積

area=triangle.calculate_area(element)

#計算網格單元的中心點

center=triangle.calculate_center(element)

#應用Navier-Stokes方程的離散化形式

#這里簡化為僅計算質量守恒

mass_conservation=sum(u[i]*mesh.vertices[i][0]+v[i]*mesh.vertices[i][1]foriinelement)*area

#更新壓力或其他變量

p[center]+=mass_conservation1.2.3邊界條件的處理在復雜幾何中，邊界條件的正確應用是確保模擬準確性的關鍵。邊界條件可以是壁面、進氣口、排氣口等。下面是一個處理壁面邊界條件的例子：#假設mesh為生成的網格，boundary_conditions為邊界條件列表

defapply_boundary_conditions(mesh,boundary_conditions,u,v):

forboundaryinboundary_conditions:

ifboundary["type"]=="wall":

#應用無滑移邊界條件

forpointinboundary["points"]:

u[point]=0

v[point]=0

#其他邊界條件的處理

#...1.2.4數值格式的選擇在FVM中，數值格式的選擇影響著模擬的精度和穩(wěn)定性。常見的格式包括中心差分格式、上風格式和二階迎風格式。在復雜幾何中，通常需要使用更高級的格式來提高精度。1.2.5求解器和迭代方法最后，選擇合適的求解器和迭代方法對于解決離散化后的方程組至關重要。常用的求解器包括直接求解器和迭代求解器，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和共軛梯度法。迭代方法的選擇應基于問題的特性和計算資源的限制。#使用Gauss-Seidel迭代方法求解離散化方程

defgauss_seidel_solver(A,b,x,iterations):

for_inrange(iterations):

foriinrange(len(x)):

x[i]=(b[i]-sum(A[i][j]*x[j]forjinrange(len(x))ifj!=i))/A[i][i]通過以上步驟，有限體積法能夠在復雜幾何中有效地模擬空氣動力學問題，為飛行器設計、發(fā)動機優(yōu)化等提供關鍵的數值分析工具。2有限體積法基礎2.1網格生成與類型在空氣動力學數值模擬中，網格生成是將復雜幾何形狀離散化為一系列小單元的過程，這些單元可以是結構化的（如矩形網格）或非結構化的（如三角形或四面體網格）。網格的類型和質量直接影響數值解的準確性和計算效率。2.1.1結構化網格結構化網格通常在規(guī)則幾何中使用，如圓柱、矩形等。每個網格點的位置可以通過數學公式直接計算得出，網格單元通常是正方形或矩形（在二維情況下），或立方體、六面體（在三維情況下）。2.1.2非結構化網格非結構化網格適用于復雜幾何，如飛機、汽車等。網格單元可以是任意形狀，如三角形、四面體等。這種網格的生成通常依賴于算法，如Delaunay三角化或有限元方法。2.1.3網格生成示例以下是一個使用Python的matplotlib庫生成簡單二維結構化網格的示例：importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義網格范圍和步長

x_min,x_max=0,1

y_min,y_max=0,1

dx,dy=0.1,0.1

#生成網格點

x=np.arange(x_min,x_max+dx,dx)

y=np.arange(y_min,y_max+dy,dy)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#繪制網格

plt.figure()

plt.plot(X,Y,'k-',X.T,Y.T,'k-')

plt.scatter(X,Y)

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.title('2DStructuredGrid')

plt.show()2.2控制體積積分方程有限體積法的核心是將連續(xù)的偏微分方程在控制體積上進行積分，從而得到離散的代數方程?？刂企w積是網格中的每個單元，積分方程描述了物理量在控制體積內的守恒。2.2.1控制體積積分方程示例考慮一維穩(wěn)態(tài)對流方程：?其中，u是流體速度，v是流體攜帶的物理量。在有限體積法中，我們對每個控制體積積分此方程，得到：V對于穩(wěn)態(tài)問題，時間導數項為零，因此：?2.2.2離散化離散化是將積分方程轉換為代數方程的過程。在有限體積法中，我們通常使用中心差分或上風差分等方法來近似積分項。中心差分示例假設我們有三個控制體積，Vi?1,Vi,Vi+1?其中，ui+1/2和ui?2.3離散化技術離散化技術是有限體積法中將連續(xù)方程轉換為離散方程的關鍵步驟。常見的離散化技術包括中心差分、上風差分、二階迎風差分等。2.3.1中心差分中心差分是一種二階精度的離散化方法，它使用網格點兩側的值來近似導數。在對流方程中，中心差分可以表示為：?2.3.2上風差分上風差分是一種一階精度的離散化方法，它使用流體流動方向上的值來近似導數。在對流方程中，如果流體從左向右流動，上風差分可以表示為：?2.3.3階迎風差分二階迎風差分是一種改進的上風差分方法，它提供了更高的精度。在對流方程中，如果流體從左向右流動，二階迎風差分可以表示為：?2.3.4離散化技術示例以下是一個使用Python和NumPy庫對一維對流方程進行中心差分離散化的示例：importnumpyasnp

#定義網格參數

nx=100

dx=1.0/(nx-1)

nt=100

dt=0.025

#初始化速度和物理量

u=np.ones(nx)

v=np.ones(nx)

v[0.5/dx:1.0/dx+1]=2

#中心差分離散化

forninrange(nt):

v[1:nx-1]=v[1:nx-1]-u[1:nx-1]*dt/dx*(v[1:nx-1]-v[0:nx-2])

#輸出結果

print(v)在這個示例中，我們使用中心差分方法來離散化對流方程，并通過迭代求解來模擬物理量v隨時間的變化。注意，為了保持數值穩(wěn)定性，時間步長dt和空間步長d通過上述內容，我們了解了有限體積法在復雜幾何中的應用所涉及的網格生成、控制體積積分方程以及離散化技術的基本原理和示例。這些技術是空氣動力學數值模擬中不可或缺的工具，能夠幫助我們準確地求解流體動力學問題。3空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)在復雜幾何中的應用3.1復雜幾何處理3.1.1邊界條件的設定在有限體積法中，邊界條件的設定對于準確模擬流體在復雜幾何形狀中的行為至關重要。邊界條件可以分為幾種類型，包括Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件、周期性邊界條件和混合邊界條件。在復雜幾何中，邊界條件的設定需要考慮幾何的特殊性，例如，對于飛機翼型的模擬，前緣可能需要設定為無滑移邊界條件，而后緣則可能需要設定為壓力出口邊界條件。示例：設定無滑移邊界條件假設我們正在使用Python和SciPy庫來模擬一個二維流體流動問題，下面是一個如何在有限體積法中設定無滑移邊界條件的示例代碼：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網格大小

nx,ny=100,100

dx,dy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

#定義速度場

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

#定義邊界條件

#無滑移邊界條件：u和v在邊界上為0

u[0,:]=0

u[-1,:]=0

u[:,0]=0

u[:,-1]=0

v[0,:]=0

v[-1,:]=0

v[:,0]=0

v[:,-1]=0

#定義內部點的離散方程

#以u為例，假設我們有簡單的擴散方程

#du/dt=D*(d^2u/dx^2+d^2u/dy^2)

#使用有限體積法離散

D=1.0#擴散系數

dt=0.01#時間步長

#構建離散方程的矩陣

A=diags([-1,2,-1],[-1,0,1],shape=(nx-2,nx-2)).toarray()/dx**2

A+=diags([-1,2,-1],[-1,0,1],shape=(ny-2,ny-2)).toarray()/dy**2

#應用邊界條件

#由于邊界上u為0，我們只需要修改內部點的方程

#但是，對于邊界點，我們需要確保它們的值保持為0

#這里我們假設A已經包含了邊界點的0值

#求解內部點的速度更新

u[1:-1,1:-1]=spsolve(diags([1],[0],shape=(nx-2,nx-2))-dt*D*A,u[1:-1,1:-1])3.1.2非結構化網格的應用非結構化網格在處理復雜幾何時提供了靈活性，因為它們可以適應不規(guī)則的邊界形狀。在有限體積法中，非結構化網格通常由三角形或四邊形組成，這些網格可以自動生成，以確保在幾何的復雜區(qū)域有足夠的網格密度。示例：使用Gmsh生成非結構化網格Gmsh是一個開源的有限元網格生成器，可以生成適應復雜幾何的非結構化網格。下面是一個使用Gmsh生成二維非結構化網格的示例：#Gmsh命令行示例

gmsh-2complex_geometry.geo-ocomplex_geometry.msh其中complex_geometry.geo是Gmsh的輸入文件，描述了幾何形狀和網格參數，complex_geometry.msh是輸出的網格文件。3.1.3幾何適應性與網格細化幾何適應性和網格細化是有限體積法在復雜幾何中應用的關鍵技術。通過在流體流動的關鍵區(qū)域（如邊界層、分離點等）增加網格密度，可以提高模擬的準確性。這通常通過自適應網格細化技術實現，該技術根據流場的局部特征動態(tài)調整網格密度。示例：使用OpenFOAM進行自適應網格細化OpenFOAM是一個開源的CFD（計算流體動力學）軟件包，提供了自適應網格細化的功能。下面是一個如何在OpenFOAM中設置自適應網格細化的示例：#在OpenFOAM的控制字典中設置自適應網格細化

#controlDict文件示例

system/controlDict:

...

adaptationControls

{

typeadaptation;

activeyes;

nAdaptLevels3;

maxLevel5;

minLevel2;

adaptationFields(U);

adaptationCriteria

{

typegradient;

fieldNameU;

gradientThreshold0.1;

}

}

...在這個示例中，我們設置了自適應網格細化的控制參數，包括激活自適應網格細化、最大和最小網格細化級別，以及基于速度場（U）的梯度進行網格細化的閾值。通過上述示例，我們可以看到在有限體積法中處理復雜幾何的關鍵步驟，包括邊界條件的設定、非結構化網格的應用以及幾何適應性和網格細化的策略。這些技術的綜合應用可以顯著提高流體流動模擬的準確性和效率。4空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)在復雜幾何中的應用4.1繞流模擬案例分析4.1.1原理與內容在空氣動力學中，繞流模擬是研究流體如何圍繞物體流動的關鍵技術。對于復雜幾何形狀，如飛機機翼、汽車車身或風力渦輪機葉片，有限體積法(FVM)因其在處理不規(guī)則網格上的優(yōu)勢而成為首選的數值方法。FVM將計算域劃分為一系列控制體積，每個控制體積內的守恒定律被離散化，從而形成一組代數方程，這些方程可以通過迭代求解器求解。4.1.2示例：二維NACA0012翼型繞流假設我們想要模擬二維NACA0012翼型在自由流中的繞流情況。我們將使用OpenFOAM，一個開源的CFD軟件包，來演示如何設置和運行FVM模擬。數據樣例網格文件：NACA0012.stl流體屬性：空氣，動力粘度為1.8e-5m^2/s邊界條件：來流速度為10m/s，方向與x軸平行代碼示例首先，我們需要創(chuàng)建一個system目錄和一個constant目錄，其中包含模擬所需的控制文件和物理屬性文件。在system目錄下，創(chuàng)建一個名為controlDict的文件，用于控制模擬的運行參數：#system/controlDict

applicationsimpleFoam;

startFromstartTime;

startTime0;

stopAtendTime;

endTime100;

deltaT0.01;

writeControltimeStep;

writeInterval10;

purgeWrite0;

writeFormatascii;

writePrecision6;

writeCompressionoff;

timeFormatgeneral;

timePrecision6;

runTimeModifiabletrue;接下來，在constant目錄下，創(chuàng)建一個polyMesh目錄，其中包含網格信息。然后，創(chuàng)建一個transportProperties文件，定義流體的動力粘度：#constant/transportProperties

nu1.8e-5;在0目錄下，我們需要定義初始和邊界條件。創(chuàng)建U和p文件，分別表示速度和壓力：#0/U

dimensions[01-10000];

internalFielduniform(1000);

boundaryField

{

inlet

{

typefixedValue;

valueuniform(1000);

}

outlet

{

typezeroGradient;

}

wall

{

typenoSlip;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}

#0/p

dimensions[1-1-20000];

internalFielduniform0;

boundaryField

{

inlet

{

typezeroGradient;

}

outlet

{

typefixedValue;

valueuniform0;

}

wall

{

typezeroGradient;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}最后，運行模擬：simpleFoam-case<yourCaseDirectory>4.2高雷諾數流動的處理4.2.1原理與內容高雷諾數流動通常伴隨著湍流現象，這增加了模擬的復雜性。在FVM中，處理高雷諾數流動通常需要引入湍流模型，如k-ε模型或大渦模擬(LES)。這些模型通過引入額外的方程來描述湍流的統計特性，從而提高模擬的準確性和可靠性。4.2.2示例：使用k-ε模型模擬高雷諾數流動假設我們正在模擬一個高雷諾數下的圓柱繞流。我們將使用k-ε湍流模型來處理湍流效應。數據樣例網格文件：cylinder.stl流體屬性：水，動力粘度為1e-6m^2/s，密度為1000kg/m^3邊界條件：來流速度為10m/s，方向與x軸平行代碼示例在constant目錄下，創(chuàng)建一個turbulenceProperties文件，定義湍流模型：#constant/turbulenceProperties

simulationTypeRAS;

RAS

{

RASModelkEpsilon;

turbulenceon;

printCoeffson;

}同時，更新transportProperties文件，以包含流體的密度和湍流的動力粘度：#constant/transportProperties

nu1e-6;

rho1000;在0目錄下，創(chuàng)建k和epsilon文件，定義湍流能量和耗散率的初始和邊界條件：#0/k

dimensions[02-20000];

internalFielduniform0.01;

boundaryField

{

inlet

{

typefixedValue;

valueuniform0.01;

}

outlet

{

typezeroGradient;

}

wall

{

typekqRWallFunction;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}

#0/epsilon

dimensions[02-30000];

internalFielduniform0.01;

boundaryField

{

inlet

{

typefixedValue;

valueuniform0.01;

}

outlet

{

typezeroGradient;

}

wall

{

typeepsilonWallFunction;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}運行模擬：simpleFoam-case<yourCaseDirectory>4.3多面體網格的優(yōu)勢4.3.1原理與內容多面體網格在處理復雜幾何時提供了更高的靈活性和準確性。與傳統的四面體或六面體網格相比，多面體網格可以更好地適應物體的表面，減少網格數量，同時保持或提高模擬的精度。在FVM中，多面體網格的使用可以顯著減少計算時間和資源需求。4.3.2示例：使用多面體網格模擬NACA0012翼型繞流假設我們使用多面體網格來模擬NACA0012翼型的繞流，以展示其相對于傳統網格的優(yōu)勢。數據樣例多面體網格文件：NACA0012_polyMesh代碼示例在system目錄下，創(chuàng)建一個blockMeshDict文件，但我們將使用snappyHexMesh來生成多面體網格，而不是直接使用blockMesh：#system/snappyHexMeshDict

castellatedMeshtrue;

refinementSurfaces

{

NACA0012.stl

{

level(6);

patches(wall);

}

}

refinementLevels

(

(01)

(12)

(23)

(34)

(45)

(56)

);

refinementZones

{

nearWing

{

levels(6);

patches(wall);

distance0.1;

}

}然后，運行snappyHexMesh來生成多面體網格：snappyHexMesh-case<yourCaseDirectory>最后，使用simpleFoam運行模擬：simpleFoam-case<yourCaseDirectory>通過比較使用多面體網格和傳統網格的模擬結果，我們可以觀察到多面體網格在減少網格數量的同時，保持了較高的模擬精度。5空氣動力學數值方法：有限體積法(FVM)：高級主題5.1湍流模型與復雜幾何5.1.1湍流模型湍流模型在空氣動力學中至關重要，尤其是在處理復雜幾何形狀時。有限體積法(FVM)能夠有效地解決湍流問題，因為它基于守恒定律，能夠準確地捕捉流體的物理特性。常見的湍流模型包括：k-ε模型：這是一種兩方程模型，通過求解湍動能(k)和湍流耗散率(ε)的方程來預測湍流行為。k-ω模型：與k-ε模型類似，但使用渦旋生成率(ω)代替湍流耗散率(ε)。雷諾應力模型(RSM)：這是一種更復雜的模型，能夠解決由于流體旋轉和非各向同性引起的湍流問題。5.1.2復雜幾何中的應用在復雜幾何中應用FVM和湍流模型時，需要特別注意網格生成和邊界條件的設定。例如，對于一個具有復雜內部結構的飛機引擎，網格可能需要在某些區(qū)域進行細化，以捕捉到湍流的細節(jié)。邊界條件則需要準確反映引擎的入口和出口條件。示例：k-ε模型在復雜幾何中的應用假設我們正在模擬一個具有復雜內部結構的管道流動，使用k-ε模型。首先，我們需要生成一個適應復雜幾何的網格。然后，設定邊界條件，包括入口速度和湍流強度，以及出口壓力。接下來，我們使用FVM求解N-S方程和k-ε方程。#導入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網格參數

nx=100#網格點數

dx=1.0/(nx-1)#網格間距

#定義湍流模型參數

k=np.zeros(nx)#湍動能

epsilon=np.zeros(nx)#湍流耗散率

nu=1.0e-6#動力粘度

rho=1.225#密度

#定義湍流模型的方程

defk_equation(k,epsilon,u,nu,rho):

#這里簡化了方程，實際應用中需要更復雜的方程

D_k=-u*(k[1:]-k[:-1])/dx

D_k=np.append(D_k,D_k[-1])

P_k=(nu+nu_t)*(np.gradient(k)/dx)**2

returnD_k+P_k

defepsilon_equation(k,epsilon,u,nu,rho):

#同樣，這里簡化了方程

D_epsilon=-u*(epsilon[1:]-epsilon[:-1])/dx

D_epsilon=np.append(D_epsilon,D_epsilon[-1])

P_epsilon=(nu+nu_t)*(np.gradient(epsilon)/dx)**2

returnD_epsilon+P_epsilon

#求解湍流模型方程

#這里使用了假定的湍流粘度nu_t，實際應用中需要根據k和epsilon計算

nu_t=np.zeros(nx)

foriinrange(100):#迭代求解

k[1:-1]=spsolve(diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(nx-2,nx-2)),k_equation(k,epsilon,u,nu,rho)[1:-1])

epsilon[1:-1]=spsolve(diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(nx-2,nx-2)),epsilon_equation(k,epsilon,u,nu,rho)[1:-1])

nu_t=0.09*k/epsilon#簡化計算湍流粘度

#輸出結果

print("湍動能k:",k)

print("湍流耗散率epsilon:",epsilon)5.2并行計算在FVM中的應用并行計算可以顯著提高FVM在復雜幾何中的計算效率。通過將計算任務分配到多個處理器上，可以同時處理網格的不同部分，從而減少總計算時間。5.2.1并行計算策略域分解：將計算域分割成多個子域，每個子域由一個處理器處理。消息傳遞接口(MPI)：使用MPI在處理器之間傳遞數據，確保計算的一致性。示例：使用MPI進行并行計算假設我們有一個大型的計算網格，需要在多個處理器上并行計算。我們可以使用MPI來分割網格，并在每個處理器上獨立計算，然后匯總結果。frommpi4pyimportMPI

importnumpyasnp

#初始化MPI

comm=MPI.COMM_WORLD

rank=comm.Get_rank()

size=comm.Get_size()

#定義網格參數

nx=1000#總網格點數

dx=1.0/(nx-1)#網格間距

#根據處理器數量分割網格

local_nx=nx//size

local_dx=dx

local_x=np.linspace(rank*local_nx*dx,(rank+1)*local_nx*dx,local_nx)

#定義并行計算的方程

defparallel_equation(x,dx):

#這里簡化了方程，實際應用中需要更復雜的方程

return-np.sin(2*np.pi*x)/dx

#求解方程

local_result=parallel_equation(local_x,local_dx)

#匯總結果

global_result=np.zeros(nx)

comm.Gatherv(sendbuf=local_result,recvbuf=(global_result,local_nx))

#輸出結果

ifrank==0:

print("全局結果:",global_result)5.3自適應網格重構技術自適應網格重構技術允許在計算過程中動態(tài)調整網格的分辨率，以提高計算效率和準確性。在復雜幾何中，這種方法尤其有用，因為它可以在流體行為復雜或湍流強度高的區(qū)域自動細化網格。5.3.1自適應網格重構策略誤差估計：基于解的誤差估計來決定網格的細化或粗化。局部網格細化：在需要高分辨率的區(qū)域進行網格細化。示例：基于誤差估計的自適應網格重構假設我們正在模擬一個具有復雜內部結構的流體流動，我們使用基于誤差估計的自適應網格重構技術來優(yōu)化計算。importnumpyasnp

fromerpolateimportinterp1d

#定義網格參數

nx=100#初始網格點數

dx=1.0/(nx-1)#初始網格間距

x=np.linspace(0,1,nx)

#定義流體速度分布

u=np.sin(2*np.pi*x)

#定義誤差估計函數

deferror_estimate(u,dx):

#這里簡化了誤差估計，實際應用中需要更復雜的算法

returnnp.abs(np.gradient(u)/dx)

#自適應網格重構

whileTrue:

#計算誤差

error=error_estimate(u,dx)

#找到誤差最大的位置

max_error_index=np.argmax(error)

#如果誤差小于閾值，停止重構

iferror[max_error_index]<1e-6:

break

#在誤差最大的位置細化網格

x_fine=np.linspace(x[max_error_index-1],x[max_error_index+1],10)

u_fine=interp1d