空氣動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法：直接數(shù)值模擬(DNS)：DNS中的時(shí)間積分方法

空氣動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法：直接數(shù)值模擬(DNS)：DNS中的時(shí)間積分方法1空氣動(dòng)力學(xué)與直接數(shù)值模擬(DNS)簡(jiǎn)介1.1DNS的基本概念直接數(shù)值模擬（DirectNumericalSimulation,DNS）是一種用于解決流體動(dòng)力學(xué)中納維-斯托克斯方程的數(shù)值方法，它能夠完全解析所有尺度的流體運(yùn)動(dòng)，從最大的渦旋到最小的湍流尺度。DNS不依賴于任何湍流模型，而是直接計(jì)算流體的瞬時(shí)行為，這使得它在研究湍流的微觀機(jī)制、流體動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜現(xiàn)象以及空氣動(dòng)力學(xué)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)非常有效。1.1.1納維-斯托克斯方程納維-斯托克斯方程描述了流體的運(yùn)動(dòng)，包括流體的速度、壓力和密度隨時(shí)間和空間的變化。在不可壓縮流體中，這些方程可以表示為：??其中，u是流體的速度向量，p是壓力，ρ是流體的密度，ν是動(dòng)力粘度，f是外部力。1.2DNS在空氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用DNS在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用主要集中在理解和預(yù)測(cè)高速流動(dòng)、邊界層分離、渦旋脫落、聲學(xué)特性以及氣動(dòng)噪聲等方面。通過(guò)DNS，研究人員能夠詳細(xì)分析流體動(dòng)力學(xué)中的瞬態(tài)現(xiàn)象，這對(duì)于設(shè)計(jì)更高效的飛機(jī)、風(fēng)力渦輪機(jī)和汽車(chē)等至關(guān)重要。1.2.1示例：二維NACA0012翼型周?chē)耐牧髂M假設(shè)我們想要模擬二維NACA0012翼型周?chē)耐牧?，可以使用Python和一個(gè)流行的流體動(dòng)力學(xué)庫(kù)FiPy來(lái)實(shí)現(xiàn)。以下是一個(gè)簡(jiǎn)化的示例代碼，用于設(shè)置和運(yùn)行DNS模擬：fromfipyimport*

fromfipy.toolsimportnumerix

#定義網(wǎng)格

nx=100

ny=100

dx=1.

dy=1.

mesh=Grid2D(nx=nx,ny=ny,dx=dx,dy=dy)

#定義變量

velocity=FaceVariable(mesh=mesh,value=0.)

pressure=CellVariable(mesh=mesh,value=0.)

#定義邊界條件

velocity.constrain(1.,mesh.exteriorFaces)

velocity.constrain(0.,where=mesh.facesRight&~mesh.exteriorFaces)

#定義方程

eq=TransientTerm()==DiffusionTerm(coeff=0.1)

#時(shí)間積分

dt=0.01

steps=1000

forstepinrange(steps):

eq.solve(var=velocity,dt=dt)

#更新壓力等其他變量

#...

#可視化結(jié)果

viewer=Viewer(vars=(velocity,pressure),datamin=-1.,datamax=1.)

viewer.plot()請(qǐng)注意，上述代碼是一個(gè)高度簡(jiǎn)化的示例，實(shí)際的DNS模擬會(huì)涉及更復(fù)雜的方程和邊界條件處理，以及更精細(xì)的網(wǎng)格和更長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。1.3DNS與時(shí)間積分方法的關(guān)系DNS中的時(shí)間積分方法是模擬的關(guān)鍵部分，它決定了模擬的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。時(shí)間積分方法用于求解納維-斯托克斯方程中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，常見(jiàn)的方法包括顯式和隱式時(shí)間積分方法。1.3.1顯式時(shí)間積分方法顯式方法簡(jiǎn)單直觀，但可能需要非常小的時(shí)間步長(zhǎng)以保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性，這會(huì)增加計(jì)算成本。例如，歐拉顯式方法可以表示為：u1.3.2隱式時(shí)間積分方法隱式方法通常更穩(wěn)定，允許使用較大的時(shí)間步長(zhǎng)，但求解過(guò)程可能更復(fù)雜，需要求解線性或非線性方程組。例如，歐拉隱式方法可以表示為：u1.3.3示例：使用歐拉隱式方法的時(shí)間積分在DNS中，使用歐拉隱式方法進(jìn)行時(shí)間積分可以提高計(jì)算效率。以下是一個(gè)使用歐拉隱式方法更新速度場(chǎng)的代碼示例：fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格和變量

nx,ny=100,100

dx,dy=1.,1.

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

p=np.zeros((nx,ny))

#定義時(shí)間步長(zhǎng)和迭代次數(shù)

dt=0.01

steps=1000

#定義粘度和密度

nu=0.1

rho=1.

#歐拉隱式時(shí)間積分

forstepinrange(steps):

#構(gòu)建矩陣和向量

A=np.eye(nx*ny)-dt*nu*laplacian_matrix(nx,ny,dx,dy)

b=u.flatten()-dt*(1/rho)*divergence_matrix(nx,ny,dx,dy)@p.flatten()

#求解速度場(chǎng)

u_new=spsolve(A,b).reshape(nx,ny)

#更新速度和壓力

u,v=update_velocity(u,v,u_new,v_new)

p=update_pressure(p,u,v,dt)

#可視化結(jié)果

#...在這個(gè)示例中，laplacian_matrix和divergence_matrix是用于構(gòu)建拉普拉斯算子和散度算子的矩陣的函數(shù)，而update_velocity和update_pressure是用于更新速度和壓力場(chǎng)的函數(shù)。這些函數(shù)的具體實(shí)現(xiàn)將依賴于具體的邊界條件和流體動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)上述介紹和示例，我們可以看到DNS在空氣動(dòng)力學(xué)中的重要性，以及時(shí)間積分方法在DNS模擬中的核心作用。DNS不僅能夠提供流體動(dòng)力學(xué)的詳細(xì)信息，而且通過(guò)選擇合適的時(shí)間積分方法，可以有效地平衡計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性。2時(shí)間積分方法概述2.1時(shí)間積分方法的重要性在空氣動(dòng)力學(xué)的直接數(shù)值模擬(DNS)中，時(shí)間積分方法扮演著至關(guān)重要的角色。DNS旨在解決流體動(dòng)力學(xué)中的納維-斯托克斯方程，以高精度捕捉所有空間和時(shí)間尺度上的流體運(yùn)動(dòng)。時(shí)間積分方法的選擇直接影響到模擬的準(zhǔn)確性和效率。例如，選擇不恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間積分方法可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，或者需要極小的時(shí)間步長(zhǎng)以保持穩(wěn)定性，這會(huì)顯著增加計(jì)算成本。2.2顯式與隱式時(shí)間積分方法的區(qū)別2.2.1顯式方法顯式時(shí)間積分方法是一種直接使用當(dāng)前時(shí)間步的信息來(lái)計(jì)算下一個(gè)時(shí)間步狀態(tài)的方法。這種方法簡(jiǎn)單直觀，易于實(shí)現(xiàn)，但其穩(wěn)定性通常受限于時(shí)間步長(zhǎng)。例如，歐拉顯式方法是一種一階時(shí)間積分方法，其更新公式如下：u其中，un是當(dāng)前時(shí)間步的狀態(tài)，fun2.2.2隱式方法隱式時(shí)間積分方法則在計(jì)算下一個(gè)時(shí)間步狀態(tài)時(shí)，同時(shí)考慮當(dāng)前和下一個(gè)時(shí)間步的信息。這種方法通常更穩(wěn)定，允許使用較大的時(shí)間步長(zhǎng)，但計(jì)算成本較高，因?yàn)樾枰蠼夥蔷€性方程組。例如，歐拉隱式方法的更新公式如下：u這里，fun+2.2.3代碼示例：歐拉顯式與隱式方法對(duì)比假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程：d其中，λ是正實(shí)數(shù)，代表衰減率。我們將使用歐拉顯式和隱式方法來(lái)求解這個(gè)方程，并比較它們的穩(wěn)定性。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

lambda_=1.0

dt=0.1

t_end=10.0

u0=1.0

#時(shí)間步長(zhǎng)和時(shí)間向量

t=np.arange(0,t_end,dt)

#歐拉顯式方法

u_explicit=np.zeros_like(t)

u_explicit[0]=u0

foriinrange(1,len(t)):

u_explicit[i]=u_explicit[i-1]+dt*(-lambda_*u_explicit[i-1])

#歐拉隱式方法

u_implicit=np.zeros_like(t)

u_implicit[0]=u0

foriinrange(1,len(t)):

u_implicit[i]=u_implicit[i-1]/(1+lambda_*dt)

#精確解

u_exact=u0*np.exp(-lambda_*t)

#繪圖

plt.figure()

plt.plot(t,u_explicit,label='歐拉顯式')

plt.plot(t,u_implicit,label='歐拉隱式')

plt.plot(t,u_exact,label='精確解')

plt.legend()

plt.xlabel('時(shí)間')

plt.ylabel('狀態(tài)u')

plt.title('歐拉顯式與隱式方法對(duì)比')

plt.show()在這個(gè)例子中，歐拉隱式方法即使在較大的時(shí)間步長(zhǎng)下也能保持穩(wěn)定，而歐拉顯式方法在時(shí)間步長(zhǎng)超過(guò)某個(gè)閾值時(shí)會(huì)變得不穩(wěn)定。2.3時(shí)間積分方法的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析是評(píng)估時(shí)間積分方法是否能在長(zhǎng)時(shí)間模擬中保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定的關(guān)鍵步驟。通常，穩(wěn)定性分析通過(guò)研究方法在特定線性問(wèn)題上的行為來(lái)進(jìn)行，例如，通過(guò)分析方法在數(shù)值解的幅度隨時(shí)間變化的行為。如果幅度隨時(shí)間增加，那么方法被認(rèn)為是不穩(wěn)定的；如果幅度保持不變或隨時(shí)間減小，那么方法被認(rèn)為是穩(wěn)定的。2.3.1代碼示例：穩(wěn)定性分析我們將使用上述的線性方程來(lái)分析歐拉顯式和隱式方法的穩(wěn)定性。我們將改變時(shí)間步長(zhǎng)Δt#參數(shù)設(shè)置

lambda_=1.0

t_end=10.0

u0=1.0

#時(shí)間步長(zhǎng)向量

dts=np.logspace(-3,0,100)

#歐拉顯式方法的穩(wěn)定性分析

u_explicit_final=np.zeros_like(dts)

fori,dtinenumerate(dts):

t=np.arange(0,t_end,dt)

u_explicit=np.zeros_like(t)

u_explicit[0]=u0

forjinrange(1,len(t)):

u_explicit[j]=u_explicit[j-1]+dt*(-lambda_*u_explicit[j-1])

u_explicit_final[i]=u_explicit[-1]

#歐拉隱式方法的穩(wěn)定性分析

u_implicit_final=np.zeros_like(dts)

fori,dtinenumerate(dts):

t=np.arange(0,t_end,dt)

u_implicit=np.zeros_like(t)

u_implicit[0]=u0

forjinrange(1,len(t)):

u_implicit[j]=u_implicit[j-1]/(1+lambda_*dt)

u_implicit_final[i]=u_implicit[-1]

#繪圖

plt.figure()

plt.loglog(dts,np.abs(u_explicit_final),label='歐拉顯式')

plt.loglog(dts,np.abs(u_implicit_final),label='歐拉隱式')

plt.axhline(y=np.abs(u0*np.exp(-lambda_*t_end)),color='r',linestyle='--',label='精確解')

plt.legend()

plt.xlabel('時(shí)間步長(zhǎng)')

plt.ylabel('最終狀態(tài)的幅度')

plt.title('時(shí)間積分方法的穩(wěn)定性分析')

plt.show()通過(guò)這個(gè)分析，我們可以觀察到，隨著時(shí)間步長(zhǎng)的增加，歐拉顯式方法的解的幅度開(kāi)始偏離精確解，而歐拉隱式方法的解的幅度保持穩(wěn)定，即使在較大的時(shí)間步長(zhǎng)下也是如此。這表明歐拉隱式方法在本例中是無(wú)條件穩(wěn)定的，而歐拉顯式方法的穩(wěn)定性條件取決于時(shí)間步長(zhǎng)和衰減率λ。通過(guò)上述內(nèi)容，我們深入了解了DNS中時(shí)間積分方法的重要性，顯式與隱式方法的區(qū)別，以及如何進(jìn)行穩(wěn)定性分析。選擇合適的時(shí)間積分方法對(duì)于確保DNS的準(zhǔn)確性和效率至關(guān)重要。3空氣動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法：直接數(shù)值模擬(DNS)：DNS中的時(shí)間積分方法3.1DNS中的顯式時(shí)間積分方法3.1.1階顯式歐拉方法一階顯式歐拉方法是最簡(jiǎn)單的時(shí)間積分方法，它基于函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)間步的值。對(duì)于一維的微分方程d在時(shí)間步長(zhǎng)為Δtu其中un是在時(shí)間tn的值，而un+代碼示例：#一階顯式歐拉方法示例

defexplicit_euler(f,u0,t,dt):

"""

Parameters:

f:function

微分方程的右端函數(shù)。

u0:float

初始條件。

t:float

當(dāng)前時(shí)間。

dt:float

時(shí)間步長(zhǎng)。

"""

u=u0+dt*f(u0,t)

returnu

#定義微分方程的右端函數(shù)

defdu_dt(u,t):

return-u+t**2

#初始條件和時(shí)間參數(shù)

u0=1.0

t=0.0

dt=0.1

#應(yīng)用一階顯式歐拉方法

u1=explicit_euler(du_dt,u0,t,dt)

print(f"使用一階顯式歐拉方法,在時(shí)間{t+dt}的解為{u1}")3.1.2階顯式Runge-Kutta方法二階顯式Runge-Kutta方法通過(guò)計(jì)算兩個(gè)斜率的平均值來(lái)改進(jìn)一階顯式歐拉方法的精度。對(duì)于上述微分方程，二階顯式Runge-Kutta方法可以表示為u其中kk代碼示例：#二階顯式Runge-Kutta方法示例

defexplicit_rk2(f,u0,t,dt):

"""

Parameters:

f:function

微分方程的右端函數(shù)。

u0:float

初始條件。

t:float

當(dāng)前時(shí)間。

dt:float

時(shí)間步長(zhǎng)。

"""

k1=f(u0,t)

k2=f(u0+dt*k1,t+dt)

u=u0+dt*(k1+k2)/2

returnu

#使用相同的微分方程和參數(shù)

u1_rk2=explicit_rk2(du_dt,u0,t,dt)

print(f"使用二階顯式Runge-Kutta方法,在時(shí)間{t+dt}的解為{u1_rk2}")3.1.3高階顯式時(shí)間積分方法高階顯式時(shí)間積分方法，如四階Runge-Kutta方法，通過(guò)計(jì)算更多的斜率來(lái)進(jìn)一步提高精度。四階Runge-Kutta方法可以表示為u其中kkkk代碼示例：#四階顯式Runge-Kutta方法示例

defexplicit_rk4(f,u0,t,dt):

"""

Parameters:

f:function

微分方程的右端函數(shù)。

u0:float

初始條件。

t:float

當(dāng)前時(shí)間。

dt:float

時(shí)間步長(zhǎng)。

"""

k1=f(u0,t)

k2=f(u0+dt*k1/2,t+dt/2)

k3=f(u0+dt*k2/2,t+dt/2)

k4=f(u0+dt*k3,t+dt)

u=u0+dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

returnu

#使用相同的微分方程和參數(shù)

u1_rk4=explicit_rk4(du_dt,u0,t,dt)

print(f"使用四階顯式Runge-Kutta方法,在時(shí)間{t+dt}的解為{u1_rk4}")在直接數(shù)值模擬(DNS)中，選擇合適的時(shí)間積分方法對(duì)于準(zhǔn)確模擬流體動(dòng)力學(xué)過(guò)程至關(guān)重要。一階顯式歐拉方法因其簡(jiǎn)單性而易于實(shí)現(xiàn)，但精度較低。二階顯式Runge-Kutta方法提高了精度，而四階Runge-Kutta方法則提供了更高的精度和穩(wěn)定性，適用于更復(fù)雜的問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)問(wèn)題的特性和所需的精度，選擇合適的時(shí)間積分方法是關(guān)鍵。4DNS中的隱式時(shí)間積分方法4.1階隱式歐拉方法一階隱式歐拉方法，也稱(chēng)為后向歐拉方法，是一種用于求解微分方程的時(shí)間積分方法。與顯式方法不同，隱式方法在計(jì)算未來(lái)時(shí)間步的解時(shí)，使用的是未來(lái)時(shí)間步的導(dǎo)數(shù)值，這使得方法在數(shù)值穩(wěn)定性方面具有顯著優(yōu)勢(shì)，尤其是在處理剛性問(wèn)題時(shí)。4.1.1原理對(duì)于一個(gè)一階微分方程d隱式歐拉方法在時(shí)間步t到t的積分可以表示為u其中，Δ是時(shí)間步長(zhǎng)，u和u分別是當(dāng)前和下一個(gè)時(shí)間步的解。4.1.2示例假設(shè)我們有以下微分方程d我們使用隱式歐拉方法求解，首先將其離散化為u4.1.2.1Python代碼示例importnumpyasnp

defimplicit_euler(f,u0,t,dt):

"""

隱式歐拉方法求解微分方程

:paramf:微分方程的函數(shù)

:paramu0:初始條件

:paramt:時(shí)間序列

:paramdt:時(shí)間步長(zhǎng)

:return:解的數(shù)組

"""

u=np.zeros_like(t)

u[0]=u0

forninrange(len(t)-1):

#使用牛頓法求解非線性方程

un=u[n]

u_n1=un

for_inrange(100):#迭代次數(shù)

u_n1_new=u_n1-(u_n1-un+dt*f(u_n1,t[n+1]))/(1+dt*f(u_n1,t[n+1]))

ifnp.abs(u_n1_new-u_n1)<1e-6:#收斂條件

u_n1=u_n1_new

break

u_n1=u_n1_new

u[n+1]=u_n1

returnu

#微分方程

deff(u,t):

return-10*u

#參數(shù)設(shè)置

u0=1.0

t=np.linspace(0,1,100)

dt=0.1

#求解

u=implicit_euler(f,u0,t,dt)

#打印結(jié)果

print(u)4.2隱式Runge-Kutta方法隱式Runge-Kutta方法是一類(lèi)高階的時(shí)間積分方法，它通過(guò)在時(shí)間步內(nèi)使用多個(gè)斜率估計(jì)來(lái)提高精度。隱式Runge-Kutta方法特別適用于非線性問(wèn)題和剛性系統(tǒng)，因?yàn)樗梢蕴幚砦磥?lái)時(shí)間步的導(dǎo)數(shù)值。4.2.1原理隱式Runge-Kutta方法的一般形式為u其中，k是通過(guò)以下公式計(jì)算的ka、b和c是方法的系數(shù)，由特定的Runge-Kutta公式?jīng)Q定。4.2.2示例考慮以下微分方程d使用隱式Runge-Kutta方法求解。4.2.2.1Python代碼示例importnumpyasnp

defimplicit_rk(f,u0,t,dt,s=2):

"""

隱式Runge-Kutta方法求解微分方程

:paramf:微分方程的函數(shù)

:paramu0:初始條件

:paramt:時(shí)間序列

:paramdt:時(shí)間步長(zhǎng)

:params:階數(shù)

:return:解的數(shù)組

"""

u=np.zeros_like(t)

u[0]=u0

a=np.array([[1/2],[1/2]])#二階隱式Runge-Kutta的a系數(shù)

b=np.array([1/2,1/2])#二階隱式Runge-Kutta的b系數(shù)

c=np.array([1/2,1/2])#二階隱式Runge-Kutta的c系數(shù)

forninrange(len(t)-1):

un=u[n]

k=np.zeros(s)

foriinrange(s):

#使用牛頓法求解非線性方程

k[i]=un

for_inrange(100):#迭代次數(shù)

k_new=k[i]-(k[i]-un+dt*f(un+dt*np.sum(a[i]*k),t[n]+c[i]*dt))/(1+dt*f(k[i],t[n]+c[i]*dt))

ifnp.abs(k_new-k[i])<1e-6:#收斂條件

k[i]=k_new

break

k[i]=k_new

u[n+1]=un+dt*np.sum(b*k)

returnu

#微分方程

deff(u,t):

returnu**2-t

#參數(shù)設(shè)置

u0=1.0

t=np.linspace(0,1,100)

dt=0.1

#求解

u=implicit_rk(f,u0,t,dt)

#打印結(jié)果

print(u)4.3多步隱式時(shí)間積分方法多步隱式時(shí)間積分方法，如隱式Adams-Bashforth-Moulton方法，利用了多個(gè)過(guò)去時(shí)間步的信息來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)間步的解。這種方法在處理復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)特別有效，因?yàn)樗梢蕴峁└鼫?zhǔn)確的時(shí)間步預(yù)測(cè)。4.3.1原理隱式Adams-Bashforth-Moulton方法的一般形式為u其中，f、f和f分別是當(dāng)前、前一個(gè)和前兩個(gè)時(shí)間步的導(dǎo)數(shù)值。4.3.2示例假設(shè)我們有以下微分方程d使用隱式Adams-Bashforth-Moulton方法求解。4.3.2.1Python代碼示例importnumpyasnp

defimplicit_adams_bashforth_moulton(f,u0,t,dt):

"""

隱式Adams-Bashforth-Moulton方法求解微分方程

:paramf:微分方程的函數(shù)

:paramu0:初始條件

:paramt:時(shí)間序列

:paramdt:時(shí)間步長(zhǎng)

:return:解的數(shù)組

"""

u=np.zeros_like(t)

u[0]=u0

u[1]=u0+dt*f(u0,t[0])#使用一階隱式歐拉方法初始化

forninrange(1,len(t)-1):

un=u[n]

un1=u[n+1]

fn=f(un,t[n])

fn1=f(un1,t[n+1])

fn1_new=un1-un+dt*(5/12*fn1+8/12*fn-1/12*f(u[n-1],t[n-1]))

for_inrange(100):#迭代次數(shù)

ifnp.abs(fn1_new-fn1)<1e-6:#收斂條件

fn1=fn1_new

break

fn1=fn1_new

u[n+1]=un+dt*(5/12*fn1+8/12*fn-1/12*f(u[n-1],t[n-1]))

returnu

#微分方程

deff(u,t):

returnu-t**2+1

#參數(shù)設(shè)置

u0=0.5

t=np.linspace(0,2,100)

dt=0.1

#求解

u=implicit_adams_bashforth_moulton(f,u0,t,dt)

#打印結(jié)果

print(u)以上示例展示了如何使用隱式時(shí)間積分方法求解微分方程，這些方法在直接數(shù)值模擬(DNS)中對(duì)于處理空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題特別有用，尤其是在需要高精度和穩(wěn)定性的場(chǎng)景下。5時(shí)間積分方法的精度與效率5.1時(shí)間步長(zhǎng)的選擇在直接數(shù)值模擬(DNS)中，時(shí)間積分方法的選擇至關(guān)重要，尤其是時(shí)間步長(zhǎng)的確定。時(shí)間步長(zhǎng)不僅影響計(jì)算的精度，還直接關(guān)系到計(jì)算的效率和穩(wěn)定性。在空氣動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬中，通常需要遵循CFL條件（Courant-Friedrichs-Lewy條件）來(lái)選擇時(shí)間步長(zhǎng)，以確保數(shù)值解的穩(wěn)定性。5.1.1CFL條件CFL條件基于波在時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)不能超過(guò)一個(gè)網(wǎng)格單元的距離這一原則。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：C其中，u是流體的速度，Δt是時(shí)間步長(zhǎng)，Δ5.1.2選擇時(shí)間步長(zhǎng)的步驟確定流體速度u：基于模擬的流體特性，確定最大流速。計(jì)算空間步長(zhǎng)Δx計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)Δt5.2精度與效率的權(quán)衡在DNS中，時(shí)間積分方法的精度和效率是兩個(gè)需要平衡的關(guān)鍵因素。高精度的方法往往計(jì)算成本較高，而低精度的方法可能導(dǎo)致解的不準(zhǔn)確。常見(jiàn)的方法包括顯式和隱式時(shí)間積分方法。5.2.1顯式方法顯式方法簡(jiǎn)單直觀，但可能需要非常小的時(shí)間步長(zhǎng)以保持穩(wěn)定性，這會(huì)降低計(jì)算效率。例如，Euler顯式方法是一種一階時(shí)間積分方法，其更新公式為：u5.2.2隱式方法隱式方法通常更穩(wěn)定，允許使用較大的時(shí)間步長(zhǎng)，但求解過(guò)程可能更復(fù)雜，需要求解線性或非線性方程組。例如，Euler隱式方法的更新公式為：u5.2.3權(quán)衡策略使用高階時(shí)間積分方法：如Runge-Kutta方法，可以在保持穩(wěn)定性的前提下提高精度。自適應(yīng)時(shí)間步長(zhǎng)：根據(jù)解的局部變化自動(dòng)調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)，以在保證精度的同時(shí)提高效率。5.3方法的收斂性分析收斂性分析是評(píng)估時(shí)間積分方法是否能夠準(zhǔn)確逼近真實(shí)解的重要步驟。一個(gè)方法的收斂性通常通過(guò)其階數(shù)來(lái)衡量，階數(shù)越高，方法在時(shí)間步長(zhǎng)減小時(shí)逼近真實(shí)解的速度越快。5.3.1收斂性測(cè)試收斂性測(cè)試通常涉及在不同時(shí)間步長(zhǎng)下運(yùn)行模擬，比較結(jié)果與解析解或高精度數(shù)值解的差異。例如，考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程：?其中c是常數(shù)。解析解為：u5.3.2實(shí)施收斂性測(cè)試選擇測(cè)試方程：如上述線性方程。設(shè)定初始條件和邊界條件：根據(jù)測(cè)試方程確定。運(yùn)行模擬：使用不同時(shí)間步長(zhǎng)Δt和空間步長(zhǎng)Δ比較結(jié)果：計(jì)算模擬結(jié)果與解析解的誤差，評(píng)估方法的收斂性。5.3.3代碼示例：Euler顯式方法的收斂性測(cè)試importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

c=1.0

L=1.0

T=1.0

N=1000

M=1000

#空間網(wǎng)格

x=np.linspace(0,L,N+1)

#初始條件

u0=np.sin(2*np.pi*x)

#時(shí)間積分

defeuler_explicit(u,dt,dx):

un=np.zeros_like(u)

un[1:-1]=u[1:-1]-c*dt/dx*(u[2:]-u[:-2])

returnun

#不同時(shí)間步長(zhǎng)下的模擬

dt_values=[0.01,0.005,0.0025]

errors=[]

fordtindt_values:

dx=L/M

u=u0.copy()

forninrange(int(T/dt)):

u=euler_explicit(u,dt,dx)

#計(jì)算誤差

error=np.linalg.norm(u-u0)

errors.append(error)

#繪制誤差與時(shí)間步長(zhǎng)的關(guān)系

plt.loglog(dt_values,errors,'o-')

plt.xlabel('時(shí)間步長(zhǎng)$\Deltat$')

plt.ylabel('誤差')

plt.title('Euler顯式方法的收斂性測(cè)試')

plt.grid(True)

plt.show()此代碼示例展示了如何使用Euler顯式方法對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程進(jìn)行時(shí)間積分，并通過(guò)比較不同時(shí)間步長(zhǎng)下的模擬結(jié)果與初始條件的誤差，評(píng)估方法的收斂性。5.4結(jié)論在DNS中，合理選擇時(shí)間積分方法和時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)于確保計(jì)算的精度和效率至關(guān)重要。通過(guò)CFL條件選擇時(shí)間步長(zhǎng)，使用高階時(shí)間積分方法和自適應(yīng)時(shí)間步長(zhǎng)策略，以及進(jìn)行收斂性分析，可以有效地平衡精度與效率，實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的空氣動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬。6DNS中時(shí)間積分方法的實(shí)現(xiàn)6.1編程實(shí)現(xiàn)DNS時(shí)間積分在直接數(shù)值模擬(DNS)中，時(shí)間積分方法是解決瞬態(tài)流場(chǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵。這里我們將使用Python和NumPy庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)基于四階龍格-庫(kù)塔(Runge-Kutta)方法的時(shí)間積分方案，以求解Navier-Stokes方程。6.1.1代碼示例importnumpyasnp

defrhs(u,v,w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu):

"""

計(jì)算Navier-Stokes方程的右側(cè)項(xiàng)。

u,v,w:速度分量

p:壓力

x,y,z:空間坐標(biāo)

dt:時(shí)間步長(zhǎng)

dx,dy,dz:空間步長(zhǎng)

nu:動(dòng)力粘度

"""

#計(jì)算速度梯度

du_dx=np.gradient(u,dx,axis=0)

du_dy=np.gradient(u,dy,axis=1)

du_dz=np.gradient(u,dz,axis=2)

dv_dx=np.gradient(v,dx,axis=0)

dv_dy=np.gradient(v,dy,axis=1)

dv_dz=np.gradient(v,dz,axis=2)

dw_dx=np.gradient(w,dx,axis=0)

dw_dy=np.gradient(w,dy,axis=1)

dw_dz=np.gradient(w,dz,axis=2)

#計(jì)算壓力梯度

dp_dx=np.gradient(p,dx,axis=0)

dp_dy=np.gradient(p,dy,axis=1)

dp_dz=np.gradient(p,dz,axis=2)

#計(jì)算右側(cè)項(xiàng)

rhs_u=-u*du_dx-v*du_dy-w*du_dz-dp_dx+nu*(du_dx**2+du_dy**2+du_dz**2)

rhs_v=-u*dv_dx-v*dv_dy-w*dv_dz-dp_dy+nu*(dv_dx**2+dv_dy**2+dv_dz**2)

rhs_w=-u*dw_dx-v*dw_dy-w*dw_dz-dp_dz+nu*(dw_dx**2+dw_dy**2+dw_dz**2)

returnrhs_u,rhs_v,rhs_w

defrunge_kutta_4(u,v,w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu):

"""

使用四階龍格-庫(kù)塔方法進(jìn)行時(shí)間積分。

"""

k1_u,k1_v,k1_w=rhs(u,v,w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu)

k2_u,k2_v,k2_w=rhs(u+dt/2*k1_u,v+dt/2*k1_v,w+dt/2*k1_w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu)

k3_u,k3_v,k3_w=rhs(u+dt/2*k2_u,v+dt/2*k2_v,w+dt/2*k2_w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu)

k4_u,k4_v,k4_w=rhs(u+dt*k3_u,v+dt*k3_v,w+dt*k3_w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu)

u_new=u+dt/6*(k1_u+2*k2_u+2*k3_u+k4_u)

v_new=v+dt/6*(k1_v+2*k2_v+2*k3_v+k4_v)

w_new=w+dt/6*(k1_w+2*k2_w+2*k3_w+k4_w)

returnu_new,v_new,w_new

#初始化速度和壓力場(chǎng)

u=np.zeros((10,10,10))

v=np.zeros((10,10,10))

w=np.zeros((10,10,10))

p=np.zeros((10,10,10))

#設(shè)置網(wǎng)格和參數(shù)

x=np.linspace(0,1,10)

y=np.linspace(0,1,10)

z=np.linspace(0,1,10)

dt=0.01

dx=x[1]-x[0]

dy=y[1]-y[0]

dz=z[1]-z[0]

nu=0.01

#時(shí)間積分

fortinrange(100):

u,v,w=runge_kutta_4(u,v,w,p,x,y,z,dt,dx,dy,dz,nu)6.1.2解釋上述代碼首先定義了一個(gè)rhs函數(shù)，用于計(jì)算Navier-Stokes方程的右側(cè)項(xiàng)，包括對(duì)流項(xiàng)和粘性擴(kuò)散項(xiàng)。然后，runge_kutta_4函數(shù)實(shí)現(xiàn)了四階龍格-庫(kù)塔方法，用于更新速度場(chǎng)。最后，通過(guò)循環(huán)調(diào)用runge_kutta_4函數(shù)，進(jìn)行時(shí)間積分。6.2邊界條件處理DNS中，邊界條件的正確處理對(duì)于模擬的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。以下是一個(gè)示例，展示如何在Python中處理無(wú)滑移邊界條件。6.2.1代碼示例defapply_no_slip_boundary(u,v,w):

"""

應(yīng)用無(wú)滑移邊界條件。

"""

#底部和頂部邊界

u[0,:,:]=0

u[-1,:,:]=0

v[0,:,:]=0

v[-1,:,:]=0

w[0,:,:]=0

w[-1,:,:]=0

#左側(cè)和右側(cè)邊界

u[:,0,:]=0

u[:,-1,:]=0

v[:,0,:]=0

v[:,-1,:]=0

w[:,0,:]=0

w[:,-1,:]=0

#前面和后面邊界

u[:,:,0]=0

u[:,:,-1]=0

v[:,:,0]=0

v[:,:,-1]=0

w[:,:,0]=0

w[:,:,-1]=0

returnu,v,w

#應(yīng)用邊界條件

u,v,w=apply_no_slip_boundary(u,v,w)6.2.2解釋apply_no_slip_boundary函數(shù)將速度分量在所有邊界上設(shè)置為零，以滿足無(wú)滑移邊界條件。這在DNS中是常見(jiàn)的，尤其是在封閉域內(nèi)模擬流體流動(dòng)時(shí)。6.3數(shù)值穩(wěn)定性檢查DNS的時(shí)間積分方法需要確保數(shù)值穩(wěn)定性，以避免模擬過(guò)程中出現(xiàn)發(fā)散。以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的示例，展示如何檢查速度場(chǎng)的數(shù)值穩(wěn)定性。6.3.1代碼示例defcheck_stability(u,v,w,dt,dx,dy,dz,nu):

"""

檢查DNS的時(shí)間積分是否穩(wěn)定。

"""

#計(jì)算速度場(chǎng)的最大值

u_max=np.max(np.abs(u))

v_max=np.max(np.abs(v))

w_max=np.max(np.abs(w))

#計(jì)算CFL數(shù)

cfl=dt/(dx+dy+dz)*(u_max+v_max+w_max)

#計(jì)算網(wǎng)格Reynolds數(shù)

reynolds=u_max*dx/nu

#檢查CFL數(shù)和網(wǎng)格Reynolds數(shù)是否在穩(wěn)定范圍內(nèi)

ifcfl>1orreynolds>1000:

print("警告：數(shù)值穩(wěn)定性可能存在問(wèn)題！")

else:

print("數(shù)值穩(wěn)定性良好。")

#檢查穩(wěn)定性

check_stability(u,v,w,dt,dx,dy,dz,nu)6.3.2解釋check_stability函數(shù)通過(guò)計(jì)算CFL數(shù)和網(wǎng)格Reynolds數(shù)來(lái)檢查數(shù)值穩(wěn)定性。CFL數(shù)應(yīng)該小于1，而網(wǎng)格Reynolds數(shù)通常需要小于1000，以確保DNS的時(shí)間積分方法穩(wěn)定。如果這些條件不滿足，模擬可能會(huì)發(fā)散，需要調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)或網(wǎng)格分辨率。7案例研究與應(yīng)用7.1DNS模擬湍流流動(dòng)7.1.1原理直接數(shù)值模擬（DNS）是一種用于解決流體動(dòng)力學(xué)中納維-斯托克斯方程的數(shù)值方法，特別適用于模擬高雷諾數(shù)下的湍流流動(dòng)。DNS能夠捕捉到流動(dòng)中的所有尺度，從最大的渦旋到最小的湍流尺度，無(wú)需使用湍流模型。這一特性使得DNS成為研究湍流機(jī)理、驗(yàn)證湍流模型和探索流動(dòng)控制策略的有力工具。7.1.2內(nèi)容DNS的核心在于使用高精度的數(shù)值算法來(lái)求解流體的瞬態(tài)行為。對(duì)于湍流流動(dòng)，DNS需要解決的主要挑戰(zhàn)是計(jì)算資源的消耗，因?yàn)橥牧靼瑥暮暧^到微觀的廣泛尺度，這要求極高的空間和時(shí)間分辨率。7.1.2.1示例：DNS模擬通道流動(dòng)假設(shè)我們使用DNS來(lái)模擬一個(gè)二維通道內(nèi)的湍流流動(dòng)。通道的長(zhǎng)度為L(zhǎng)x，高度為L(zhǎng)y，流體的密度為ρ，動(dòng)力粘度為importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

Lx=2.0#通道長(zhǎng)度

Ly=1.0#通道高度

nx=100#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)x方向

ny=50#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)y方向

dx=Lx/(nx-1)

dy=Ly/(ny-1)

rho=1.0#流體密度

mu=0.1#動(dòng)力粘度

dt=0.01#時(shí)間步長(zhǎng)

t_end=1.0#模擬結(jié)束時(shí)間

nt=int(t_end/dt)#總時(shí)間步數(shù)

#初始化速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

p=np.zeros((nx,ny))

#邊界條件

u[:,0]=0.0#下邊界速度為0

u[:,-1]=1.0#上邊界速度為1

v[0,:]=0.0#左邊界速度為0

v[-1,:]=0.0#右邊界速度為0

#Runge-Kutta時(shí)間積分

forninrange(nt):

#預(yù)測(cè)速度場(chǎng)

un=u.copy()

vn=v.copy()

u+=dt*(-un*np.gradient(un,dx)[0]-vn*np.gradient(un,dy)[1]+mu/rho*(np.gradient(np.gradient(un,dx)[0],dx)[0]+np.gradient(np.gradient(un,dy)[1],dy)[1])

v+=dt*(-un*np.gradient(vn,dx)[0]-vn*np.gradient(vn,dy)[1]+mu/rho*(np.gradient(np.gradient(vn,dx)[0],dx)[0]+np.gradient(np.gradient(vn,dy)[1],dy)[1])

#壓力修正

b=np.zeros((nx,ny))

b[1:-1,1:-1]=(np.gradient(u[1:-1,1:-1],dx)[0]+np.gradient(v[1:-1,1:-1],dy)[1])/dt

p=np.linalg.solve(np.gradient(np.gradient(p,dx)[0],dx)[0]+np.gradient(np.gradient(p,dy)[1],dy)[1]==b,p)

#更新速度場(chǎng)

u[1:-1,1:-1]-=dt*np.gradient(p,dx)[0][1:-1,1:-1]/rho

v[1:-1,1:-1]-=dt*np.gradient(p,dy)[1][1:-1,1:-1]/rho

#可視化結(jié)果

plt.imshow(u,cmap='viridis',origin='lower')

plt.colorbar()

plt.title('通道流動(dòng)速度場(chǎng)')

plt.show()7.1.3描述上述代碼示例展示了如何使用DNS模擬一個(gè)二維通道內(nèi)的湍流流動(dòng)。首先，我們定義了通道的幾何參數(shù)、網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)、流體屬性和時(shí)間步長(zhǎng)。然后，初始化速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)，并設(shè)置邊界條件。通過(guò)Runge-Kutta方法進(jìn)行時(shí)間積分，預(yù)測(cè)速度場(chǎng)的變化，接著通過(guò)求解泊松方程來(lái)修正壓力場(chǎng)，以滿足連續(xù)性方程。最后，更新速度場(chǎng)并可視化結(jié)果。7.2DNS在飛機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用7.2.1原理DNS在飛機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用主要集中在理解和預(yù)測(cè)飛機(jī)周?chē)耐牧髁鲃?dòng)，這對(duì)于提高飛機(jī)的氣動(dòng)性能、減少噪音和優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。通過(guò)DNS，工程師可以詳細(xì)分析飛機(jī)表面的邊界層、翼尖渦、分離流等復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象，從而改進(jìn)飛機(jī)的外形設(shè)計(jì)，減少阻力，提高燃油效率。7.2.2內(nèi)容在飛機(jī)設(shè)計(jì)中，DNS通常用于模擬高雷諾數(shù)下的流動(dòng)，這要求極高的計(jì)算資源。DNS可以提供關(guān)于流動(dòng)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)信息，如渦旋強(qiáng)度、分離點(diǎn)位置和壓力分布，這些都是傳統(tǒng)數(shù)值方法難以準(zhǔn)確捕捉的。7.2.2.1示例：DNS模擬翼尖渦假設(shè)我們使用DNS來(lái)模擬一個(gè)二維翼型周?chē)牧鲃?dòng)，以觀察翼尖渦的形成。我們將使用有限體積法來(lái)離散納維-斯托克斯方程，并采用時(shí)間隱式方法來(lái)進(jìn)行時(shí)間積分。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#參數(shù)設(shè)置

Lx=10.0#翼型長(zhǎng)度

Ly=1.0#翼型高度

nx=200#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)x方向

ny=50#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)y方向

dx=Lx/(nx-1)

dy=Ly/(ny-1)

rho=1.0#流體密度

mu=0.1#動(dòng)力粘度

dt=0.01#時(shí)間步長(zhǎng)

t_end=2.0#模擬結(jié)束時(shí)間

nt=int(t_end/dt)#總時(shí)間步數(shù)

#初始化速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

p=np.zeros((nx,ny))

#邊界條件

u[:,0]=0.0#下邊界速度為0

u[:,-1]=0.0#上邊界速度為0

v[0,:]=0.0#左邊界速度為0

v[-1,:]=0.0#右邊界速度為0

#翼型邊界

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

if(i*dx-5.0)**2+(j*dy-0.5)**2<=0.25:

u[i,j]=0.0

v[i,j]=0.0

#時(shí)間積分

forninrange(nt):

#預(yù)測(cè)速度場(chǎng)

un=u.copy()

vn=v.copy()

A=diags([-un[1:-1,1:-1]/dx,-vn[1:-1,1:-1]/dy,1/dt,mu/(rho*dx**2),mu/(rho*dy**2)],[0,1,2,3,4],shape=(nx-2,nx-2))

b=np.zeros(nx-2)

b[1:-1]=(np.gradient(un[1:-1,1:-1],dx)[0]+np.gradient(vn[1:-1,1:-1],dy)[1])/dt

u[1:-1,1:-1]=spsolve(A,b)

#壓力修正

A=diags([1/dx**2,1/dy**2],[0,1],shape=(nx-2,nx-2))

b=np.zeros(nx-2)

b[1:-1]=(np.gradient(u[1:-1,1:-1],dx)[0]+np.gradient(v[1:-1,1:-1],dy)[1])/dt

p[1:-1,1:-1]=spsolve(A,b)

#更新速度場(chǎng)

u[1:-1,1:-1]-=dt*np.gradient(p,dx)[0][1:-1,1:-1]/rho

v[1:-1,1:-1]-=dt*np.gradient(p,dy)[1][1:-1,1:-1]/rho

#可視化結(jié)果

plt.imshow(u,cmap='viridis',origin='lower')

plt.colorbar()

plt.title('翼型周?chē)俣葓?chǎng)')

plt.show()7.2.3描述此代碼示例展示了如何使用DNS模擬一個(gè)二維翼型周?chē)牧鲃?dòng)，以觀察翼尖渦的形成。我們首先定義了翼型的幾何參數(shù)、網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)、流體屬性和時(shí)間步長(zhǎng)。然后，初始化速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)，并設(shè)置邊界條件，包括翼型的邊界。通過(guò)時(shí)間隱式方法進(jìn)行時(shí)間積分，預(yù)測(cè)速度場(chǎng)的變化，接著通過(guò)求解泊松方程來(lái)修正壓力場(chǎng)，以滿足連續(xù)性方程。最后，更新速度場(chǎng)并可視化結(jié)果，觀察翼尖渦的形成和發(fā)展。7.3DNS在風(fēng)力渦輪機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用7.3.1原理DNS在風(fēng)力渦輪機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用主要集中在理解和優(yōu)化葉片周?chē)牧鲃?dòng)，這對(duì)于提高風(fēng)力渦輪機(jī)的效率和減少噪音至關(guān)重要。通過(guò)DNS，工程師可以詳細(xì)分析葉片表面的邊界層、葉片尖端的渦旋脫落和葉片間的相互作用，從而優(yōu)化葉片的形狀和布局，提高風(fēng)力渦輪機(jī)的性能。7.3.2內(nèi)容在風(fēng)力渦輪機(jī)設(shè)計(jì)中，DNS可以用于模擬葉片在不同風(fēng)速和攻角下的流動(dòng)，以評(píng)估葉片的氣動(dòng)性能。DNS能夠提供關(guān)于流動(dòng)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)信息，如葉片表面的壓力分布、葉片尖端的渦旋強(qiáng)度和葉片間的流場(chǎng)干擾，這些都是設(shè)計(jì)高效風(fēng)力渦輪機(jī)的關(guān)鍵因素。7.3.2.1示例：DNS模擬風(fēng)力渦輪機(jī)葉片尖端渦旋假設(shè)我們使用DNS來(lái)模擬一個(gè)二維風(fēng)力渦輪機(jī)葉片尖端周?chē)牧鲃?dòng)，以觀察渦旋的形成。我們將使用有限體積法來(lái)離散納維-斯托克斯方程，并采用時(shí)間隱式方法來(lái)進(jìn)行時(shí)間積分。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#參數(shù)設(shè)置

Lx=10.0#葉片長(zhǎng)度

Ly=1.0#葉片高度

nx=200#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)x方向

ny=50#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)y方向

dx=Lx/(nx-1)

dy=Ly/(ny-1)

rho=1.0#流體密度

mu=0.1#動(dòng)力粘度

dt=0.01#時(shí)間步長(zhǎng)

t_end=2.0#模擬結(jié)束時(shí)間

nt=int(t_end/dt)#總時(shí)間步數(shù)

#初始化速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

p=np.zeros((nx,ny))

#邊界條件

u[:,0]=0.0#下邊界速度為0

u[:,-1]=0.0#上邊界速度為0

v[0,:]=0.0#左邊界速度為0

v[-1,:]=0.0#右邊界速度為0

#葉片邊界

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

if(i*dx-5.0)**2+(j*dy-0.5)**2<=0.25:

u[i,j]=0.0

v[i,j]=0.0

#時(shí)間積分

forninrange(nt):

#預(yù)測(cè)速度場(chǎng)

un=u.copy()

vn=v.copy()

A=diags([-un[1:-1,1:-1]/dx,-vn[1:-1,1:-1]/dy,1/dt,mu/(rho*dx**2),mu/(rho*dy**2)],[0,1,2,3,4],shape=(nx