人教A版（2019）必修第二冊第8章立體幾何初步重難點歸納總結(jié)(原卷版+解析)

第8章立體幾何初步重難點歸納總結(jié)考點一體積【例1】（2023浙江麗水）已知一個圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積2倍，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林）如圖是一個棱長為2的正方體被過棱、的中點、，頂點和過點頂點、的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023·河南信陽）已知圓臺上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江）（多選）圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．考點二表面積【例2】（2023遼寧）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023江蘇無錫）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．2（2022上海徐匯）若圓臺的高是4，母線長為5，側(cè)面積是，則圓臺的上、下底面的面積之和是______.考點三直線、平面平行【例3】（2022山東聊城）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．【一隅三反】1．（2022青海海南）如圖，四邊形是矩形，平面，平面．(1)證明：平面平面．(2)若平面與平面的交線為，求證：2．（2022秋·貴州）正的邊長為2，是邊上的高，E，F(xiàn)分別是和的中點（如圖甲）.現(xiàn)將沿翻成直二面角（如圖乙）.在圖乙中：(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.3．（2022秋·上海）（1）敘述兩個平面平行的判定定理，并證明;（2）如圖，正方體中，分別為的中點，求證:平面平面.考點四直線、平面垂直【例4】（2023浙江麗水）（多選）已知正方體是中點，則（

）A．面 B．C． D．平面【一隅三反】1．（2023·海南）（多選）在長方體中，，，則下列線段與垂直的有（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河北唐山）（多選）如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是（

）.A．直線與是異面直線 B．平面C．平面 D．3．（2022秋·青海海東）如圖，已知四棱錐的底面ABCD是菱形，，點E為PC的中點．(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面平面PAC．考點五空間角【例5】（2022·浙江）（多選）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鰲臑.”其中，陽馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，在陽馬中底面是邊長為1的正方形，，側(cè)棱垂直于底面，則（

）A．直線與所成的角為60°B．直線與所成的角為60°C．直線與平面所成的角為30°D．直線與平面所成的角為30°【一隅三反】1．（2022春·廣西桂林·高二校考期中）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A． B． C． D．2．（2022上海黃浦）過正方形ABCD之頂點A作平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的度數(shù)為________．3．（2022秋·四川達(dá)州）如圖，在四棱錐中，面，，，點分別為的中點，，.(1)證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.考點六空間距離【例6-1】（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.求點到平面的距離等于_______【一隅三反】1．（2022秋·上海黃浦）的三邊長分別為3、4、5，為平面外一點，它到三邊的距離都等于2，則到平面的距離是________．2．（2022秋·上海黃浦）若正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，則到底面的距離為__________.3．（2023重慶巫山）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點為F.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.4．（2023浙江）已知正方體的棱長均為1.(1)求到平面的距離；(2)求平面與平面之間的距離.第8章立體幾何初步重難點歸納總結(jié)考點一體積【例1】（2023浙江麗水）已知一個圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積2倍，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線為l，由題意得，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：B【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.2．（2022秋·吉林）如圖是一個棱長為2的正方體被過棱、的中點、，頂點和過點頂點、的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】如圖將正方體還原可得如下圖形：則，，，所以該幾何體的體積.故選：C3．（2023·河南信陽）已知圓臺上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓臺軸截面如圖，則，∴.圓臺高，∴.故選：D4．（2023·浙江）（多選）圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，若圓柱的底面周長為4cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積若圓柱的底面周長為2cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積故選：BD考點二表面積【例2】（2023遼寧）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)在正四棱臺中，取側(cè)面，則，，，如下圖所示：分別過點、在側(cè)面內(nèi)作，，垂足分別為、，因為，，，所以，，，因為，，，故四邊形為矩形，故，所以，，，因此，該四棱臺的表面積為.故選：C.【一隅三反】1．（2023江蘇無錫）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意設(shè)正六邊形的邊長為a，設(shè)六棱柱的高為3b，六棱錐的高為b，正六棱柱的側(cè)面積，正六棱錐的母線長為∴正六棱錐的側(cè)面積，∵正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，∴，∴∴，故選：B．2（2022上海徐匯）若圓臺的高是4，母線長為5，側(cè)面積是，則圓臺的上、下底面的面積之和是______.【答案】【解析】設(shè)上下底的半徑分別為，，則母線，高，構(gòu)成一個直角三角形，母線為斜邊5，高為直角邊4，由勾股定理得，即，圓臺的側(cè)面積，所以，則，所以圓臺的上、下底面的面積之和是.故答案為：.考點三直線、平面平行【例3】（2022山東聊城）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．【答案】證明見解析【解析】（1）取的中點，連接，∵是四棱柱，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．【一隅三反】1．（2022青海海南）如圖，四邊形是矩形，平面，平面．(1)證明：平面平面．(2)若平面與平面的交線為，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)證明：因為平面，平面，所以，又因為平面，平面，所以平面，在矩形中，，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面；(2)證明：，平面，又，.2．（2022秋·貴州）正的邊長為2，是邊上的高，E，F(xiàn)分別是和的中點（如圖甲）.現(xiàn)將沿翻成直二面角（如圖乙）.在圖乙中：(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在△ABC中，因為E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，所以.又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.（2）在題圖甲中，因為是正的高，所以，所以在題圖乙中，，所以是二面角的平面角，又二面角是直二面角，所以，由于平面，所以平面.因為是的中點，所以三棱錐的高為.三角形的面積是，又是的中點，所以，所以.因為，所以.設(shè)點到平面的距離為，則，解得，所以點到平面的距離為.3．（2022秋·上海）（1）敘述兩個平面平行的判定定理，并證明;（2）如圖，正方體中，分別為的中點，求證:平面平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，即，，，，，證明：假設(shè)，∵，，，∴，同理可得，，∴，與矛盾，所以不成立，所以.（2）取中點，連接，，，∵為正方體，，為，中點，∴，，，，∴四邊形，為平行四邊形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.考點四直線、平面垂直【例4】（2023浙江麗水）（多選）已知正方體是中點，則（

）A．面 B．C． D．平面【答案】BC【解析】與平面相交于點，故選項A錯誤；,面面面,故選項B正確；連接,為等邊三角形，為中點，,,則故選項C正確；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故選項D錯誤.故選：BC.【一隅三反】1．（2023·海南）（多選）在長方體中，，，則下列線段與垂直的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如圖所示，因為，所以側(cè)面是正方形，所以，長方體中，平面，平面，，平面，，故平面，平面，，A選項正確；同理平面，平面，，B選項正確；，所以四邊形為正方形，所以，D選項正確；易知，交于長方體的中心O，，在中，可得，故，所以不與垂直，C選項錯誤.故選：ABD2．（2022秋·河北唐山）（多選）如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是（

）.A．直線與是異面直線 B．平面C．平面 D．【答案】AB【解析】由與平面相交于點，且不在直線上，平面，故與是異面直線，故A正確；根據(jù)題意知為長方體，故平面，故B正確；取的中點為Q，連接，且，故四邊形為平行四邊形，故，又與平面相交于點A，故與平面不平行，即與平面不平行，故C錯誤；因為，且與不垂直，所以與也不垂直，故D錯誤．故選：AB．3．（2022秋·青海海東）如圖，已知四棱錐的底面ABCD是菱形，，點E為PC的中點．(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面平面PAC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接AC交BD于O點，連接EO，∵底面ABCD是菱形，O為AC的中點，∵點E為PC的中點，，

∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；（2）∵底面ABCD是菱形，∴，

∵，，平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC，

又平面PBD，∴平面平面PAC．考點五空間角【例5】（2022·浙江）（多選）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鰲臑.”其中，陽馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，在陽馬中底面是邊長為1的正方形，，側(cè)棱垂直于底面，則（

）A．直線與所成的角為60°B．直線與所成的角為60°C．直線與平面所成的角為30°D．直線與平面所成的角為30°【答案】AD【解析】連接，由底面，所以，由，是邊長為1的正方形，所以，，對A，由底面，所以，又，所以平面，由∥，所以直線與所成的角為直線與所成的角，，所以，故A正確；對B，由是邊長為1的正方形，所以，由底面，所以，又，所以平面，所以，故B錯誤；對C，由底面，所以直線與平面所成的角為，由，所以，故C錯誤；對D，由底面，所以，又，，所以，直線與平面所成的角為，由，所以，所以，故D正確.故選：AD【一隅三反】1．（2022春·廣西桂林·高二?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接BD交于，四邊形ABCD為正方形，則為中點，∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴為PG與底面ABCD所成的角，面ABCD，則，∴，∴.故選：C2．（2022上海黃浦）過正方形ABCD之頂點A作平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的度數(shù)為________．【答案】【解析】根據(jù)已知條件可將四棱錐補成正方體如圖所示：連接CE，則平面CDP和平面CPE為同一個平面，由題可知平面，平面，∴，，又平面和平面，平面，平面，∴為平面和平面所成的銳二面角的平面角，大小為.故答案為：.3．（2022秋·四川達(dá)州）如圖，在四棱錐中，面，，，點分別為的中點，，.(1)證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）證明：點分別為的中點，，，，平面，平面，平面.（2）解：，，連接，由得，，，所以，，底面，底面，，是平面內(nèi)兩相交直線，平面，平面，二面角得平面角為，，，，所以二面角的余弦值為，即二面角的余弦值為.考點六空間距離【例6-1】（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.求點到平面的距離等于_______【答案】【解析】因為是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，因為是棱的中點，所以，由勾股定理可得：，，因為是等邊三角形，是棱的中點.，所以，所以，因為，所以，因此，因為平面，平面，所以平面平面，因為平面平面，，平面，所以平面，設(shè)點到平面的距離為，由，故答案為：【一隅三反】1．（2022秋·上海黃浦）的三邊長分別為3、4、5，為平面外一點，它到三邊的距離都等于2，則到平面的距離是________．【答案】【解析