高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略考點(diǎn)27復(fù)數(shù)9種常見(jiàn)考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)27復(fù)數(shù)9種常見(jiàn)考法歸類考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（一）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（二）共軛復(fù)數(shù)（三）復(fù)數(shù)相等（四）復(fù)數(shù)分類考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模（一）求復(fù)數(shù)的模（二）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問(wèn)題考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問(wèn)題考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義（一）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(向量)有關(guān)的運(yùn)算（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問(wèn)題考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯1.復(fù)數(shù)的概念概念定義復(fù)數(shù)把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類：復(fù)數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）（當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù))))共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，其中a，b∈R.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離2.解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b；(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．所以解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．①?gòu)?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.3.解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法復(fù)數(shù)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法.復(fù)數(shù)概念中應(yīng)注意的幾點(diǎn)：①對(duì)于復(fù)數(shù)m＋ni，如果m，n∈C(或沒(méi)有明確界定m，n∈R)，則不可想當(dāng)然地判定m，n∈R；②易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)(注意原點(diǎn)除外)；③對(duì)于a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.4.復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).5.對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的再理解(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．6.兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模的幾何意義|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離．即設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則=一般地，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡如下：①若，則為圓；②若，則為圓環(huán)，但不包括邊界；③若，則為垂直平分線；④若常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為線段；當(dāng)常數(shù)小于AB時(shí)，不存在；⑤若常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，不存在；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為一條射線；當(dāng)常數(shù)小于AB時(shí)，為雙曲線的一支.7.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.③eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0).注：①?gòu)?fù)數(shù)的計(jì)算除了掌握基本運(yùn)算法則外，最好熟記一些常見(jiàn)算式運(yùn)算的結(jié)果，這對(duì)提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助.②除法的關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”.(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義加法復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所表示的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減法復(fù)數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點(diǎn)指向向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))的終點(diǎn)的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(3)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律：對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1＋z2＝z2＋z1結(jié)合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(4)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(5)共軛與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)算性質(zhì)有：①；②；③；④；⑤；⑥.(6)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．8.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式在含有z，z，|z|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復(fù)數(shù)z.9.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為(1)當(dāng)Δ≥0時(shí)，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)當(dāng)Δ<0時(shí)，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).注：實(shí)系數(shù)方程的虛數(shù)根必共軛成對(duì)出現(xiàn)10.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．對(duì)于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開(kāi)方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的（依然滿足韋達(dá)定理）．注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解．注：由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（一）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-72．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（

）A． B． C．1 D．4（二）共軛復(fù)數(shù)4．（2023春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的共軛復(fù)數(shù)為（

）．A． B． C． D．5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)虛部為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（

）A．－ B． C．－2 D．2（三）復(fù)數(shù)相等7．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件8．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知，，且，是虛數(shù)單位，則____________．9．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．210．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則________．11．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)_________．12．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模）已知，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．13．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，（四）復(fù)數(shù)分類14．（2023·山東濰坊·三模）已知為虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．（2023·四川成都·三模）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．17．（2023·全國(guó)·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是__________．19．（2023春·全國(guó)·高三競(jìng)賽）復(fù)數(shù)，且，則實(shí)數(shù)_______.20．【多選】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若純虛數(shù)，則B．若為實(shí)數(shù)，則，C．若，則或D．若，則m的取值范圍是考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)21．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則的值為（

）A． B．C． D．23．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．24．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則其實(shí)部__________.25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，則z=（

）A． B．C．或 D．或考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模（一）求復(fù)數(shù)的模26．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么27．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知a，，，則（

）A．5 B． C．3 D．28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．30．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．231．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．32．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．1或（二）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)33．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則______．34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足（其中，i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z的模為，則實(shí)數(shù)a=（

）A．1 B．2 C．3 D．435．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，若，則復(fù)數(shù)z為（

）．A． B．C．或 D．或36．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問(wèn)題37．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上38．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（

）A． B． C． D．39．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．440．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．41．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．142．【多選】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______．44．（2023·河南·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．46．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）．A．3 B． C．2 D．考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的運(yùn)算47．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)______.48．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）（）A． B． C． D．49．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．50．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．51．（2023·江蘇南通·三模）復(fù)數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．202252．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）____________53．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，54．【多選】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問(wèn)題55．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．56．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．9 B．1 C． D．57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若虛數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，且，則（

）A．6 B．4 C．2 D．158．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（

）A．-3 B．-2 C．2 D．359．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是虛數(shù)單位，已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則________，________．60．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)解，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義（一）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（向量）有關(guān)的運(yùn)算61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．62．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．63．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，表示的復(fù)數(shù)分別為，記z為所表示的復(fù)數(shù)，則（

）A．25 B．8 C．5 D．64．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限65．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限66．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限67．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則“點(diǎn)在第四象限”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)69．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．70．（2023·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．71．（2023·河南濮陽(yáng)·濮陽(yáng)一高?？寄M預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．72．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則(

)A． B． C．6 D．考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則（

）A．B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為 D．74．【多選】（2023·吉林四平·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的虛部為 B．C． D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限75．【多選】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程的復(fù)數(shù)解為，，則（

）A．B．與互為共軛復(fù)數(shù)C．若，則滿足的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．若，則的最小值是3考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問(wèn)題76．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等或虛部相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知，則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．0 D．178．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）規(guī)定運(yùn)算，若復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A． B． C． D．79．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)?，定義運(yùn)算，若，則復(fù)數(shù)___________.考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用80．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于1 D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為81．（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為虛數(shù) B．函數(shù)不是周期函數(shù)C．若，則 D．的共軛復(fù)數(shù)是82．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯83．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則是直線與直線平行的（

）條件A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要84．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義函數(shù)，已知為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．180 B．120 C．90 D．45考點(diǎn)27復(fù)數(shù)8種常見(jiàn)考法歸類考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（一）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（二）共軛復(fù)數(shù)（三）復(fù)數(shù)相等（四）復(fù)數(shù)分類考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模（一）求復(fù)數(shù)的模（二）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問(wèn)題考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問(wèn)題考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義（一）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(向量)有關(guān)的運(yùn)算（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問(wèn)題考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯1.復(fù)數(shù)的概念概念定義復(fù)數(shù)把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類：復(fù)數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）（當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù))))共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模或絕對(duì)值，記作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，其中a，b∈R.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離2.解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b；(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．所以解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．①?gòu)?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.3.解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法復(fù)數(shù)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法.復(fù)數(shù)概念中應(yīng)注意的幾點(diǎn)：①對(duì)于復(fù)數(shù)m＋ni，如果m，n∈C(或沒(méi)有明確界定m，n∈R)，則不可想當(dāng)然地判定m，n∈R；②易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)(注意原點(diǎn)除外)；③對(duì)于a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.4.復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).5.對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的再理解(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．6.兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模的幾何意義|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離．即設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則=一般地，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡如下：①若，則為圓；②若，則為圓環(huán)，但不包括邊界；③若，則為垂直平分線；④若常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為線段；當(dāng)常數(shù)小于AB時(shí)，不存在；⑤若常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，不存在；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為一條射線；當(dāng)常數(shù)小于AB時(shí)，為雙曲線的一支.7.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.③eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0).注：①?gòu)?fù)數(shù)的計(jì)算除了掌握基本運(yùn)算法則外，最好熟記一些常見(jiàn)算式運(yùn)算的結(jié)果，這對(duì)提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助.②除法的關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”.(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義加法復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所表示的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減法復(fù)數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點(diǎn)指向向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))的終點(diǎn)的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(3)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律：對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1＋z2＝z2＋z1結(jié)合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(4)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(5)共軛與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)算性質(zhì)有：①；②；③；④；⑤；⑥.(6)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．8.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式在含有z，z，|z|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復(fù)數(shù)z.9.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為(1)當(dāng)Δ≥0時(shí)，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)當(dāng)Δ<0時(shí)，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).注：實(shí)系數(shù)方程的虛數(shù)根必共軛成對(duì)出現(xiàn)10.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．對(duì)于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開(kāi)方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的（依然滿足韋達(dá)定理）．注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解．注：由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（一）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念求值即可.【詳解】依題意，，故z的虛部為-5.故選：A2．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，結(jié)合題意列出方程，即可得答案.【詳解】由于,的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，故，故選：A3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可求得z，由實(shí)部和虛部定義求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別是，，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為．故選：C（二）共軛復(fù)數(shù)4．（2023春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的共軛復(fù)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則其共軛復(fù)數(shù)為．故選:A5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接求解得到，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】由題知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)虛部為，故選：B.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（

）A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【分析】由題意設(shè)，代入中化簡(jiǎn)，使其虛部為零，可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求得其共軛復(fù)數(shù).【詳解】由題意設(shè)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，得，所以，所以，故選：A.（三）復(fù)數(shù)相等7．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】設(shè)，，則，若，即，所以，則，此時(shí)，故充分性成立；若，則，則，故必要性成立；故“”是“”的充要條件.故選：C8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，且，是虛數(shù)單位，則____________．【答案】【分析】由復(fù)數(shù)相等概念可得答案.【詳解】因，則.故答案為：29．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由?fù)數(shù)相等的充要條件得，所以.故選：C.10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則________．【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求出值作答.【詳解】依題意，，而，因此，解得；所以.故答案為：111．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)_________．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件即可求解.【詳解】由題意可知，，解得,所以實(shí)數(shù).故答案為：.12．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模）已知，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則求得，求得的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】，則，故.故選：D13．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算規(guī)則和復(fù)數(shù)相等的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，即；故選：B.（四）復(fù)數(shù)分類14．（2023·山東濰坊·三模）已知為虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)所以，即，故不同時(shí)為，所以，當(dāng)時(shí)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.15．（2023·四川成都·三模）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．【答案】/【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以.故答案為：.16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選：B．17．（2023·全國(guó)·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再利用實(shí)部為零，虛部不為零解出，最后確認(rèn)是充要條件.【詳解】依題意，，，故，若該式為純虛數(shù)，則，解得.故選：C.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是__________．【答案】3【分析】復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則虛部為零，結(jié)合分母不等于零得出答案.【詳解】依題意有，解得m＝3.故答案為：3.19．（2023春·全國(guó)·高三競(jìng)賽）復(fù)數(shù)，且，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【分析】展開(kāi)，依據(jù)題意計(jì)算的值，再根據(jù)確定最終解果即可.【詳解】由題意得或或若，則，不滿足，舍去；若，則，不滿足，舍去；若，則，滿足題意，故故答案為：20．【多選】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若純虛數(shù)，則B．若為實(shí)數(shù)，則，C．若，則或D．若，則m的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，列出相應(yīng)的等式或方程，求得參數(shù)，即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，A正確；對(duì)于B，若為實(shí)數(shù)，則，則，，B正確；對(duì)于C，若，則，則，解得或，C正確；對(duì)于D，若，則，且，則，D錯(cuò)誤，故選：ABC考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)21．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式及相等復(fù)數(shù)的定義求出參數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及虛部的定義即可得解.【詳解】設(shè)，則，則，即，所以，解得，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和共軛以及模的求法即可求解.【詳解】由題意設(shè)，由，得，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以．故選:A．23．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法與復(fù)數(shù)相等求得結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，則，，所以．故選：C.24．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則其實(shí)部__________.【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求得，進(jìn)而求得的實(shí)部.【詳解】設(shè)，依題意，，即，所以，解得，所以的實(shí)部為.故答案為：25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，則z=（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)(a，bR)，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以解得又，所以或，解得或，所以或．故選:C考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模（一）求復(fù)數(shù)的模26．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】BC【分析】舉例即可說(shuō)明A、D項(xiàng)；根據(jù)即可得出B項(xiàng)；由，即可判斷C項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，時(shí)，，但虛數(shù)不能比較大小，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由，得.又，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，取，，滿足，但是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.27．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知a，，，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求得，再求.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故選：D.28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，則.故選：A.29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出，在寫(xiě)出它的共軛復(fù)數(shù)，最后利用公式計(jì)算即可；方法二：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用即可.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，，，所以，所以，所以，所以．方法二：由，所以．故選：B．30．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等可求得a、b的值，再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（a，），則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得或，所以．故選：B.31．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)（，），代入已知等式，由復(fù)數(shù)相等進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)（，），則由得，，∴，∴，解得，∴，∴.故選：B.32．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，進(jìn)而得，由模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，.故選：A（二）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)33．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式列式求得．【詳解】因?yàn)橛?，得，得．故答案為：?4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足（其中，i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z的模為，則實(shí)數(shù)a=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由得，由模長(zhǎng)為得，解得由于，所以，故選：C35．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，若，則復(fù)數(shù)z為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求得a的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由有，即，解得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.故選：C36．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得到不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，又，且，所以，解得，所以的最大值為.故選：C.（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問(wèn)題37．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】ACD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷A，利用特值可判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)相等可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件可判斷D.【詳解】設(shè)，，，對(duì)A，若，即，則，所以，，故A正確；對(duì)B，若，則，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以，即，因?yàn)?，，則至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)，由，可得，所以，，即，，故C正確；對(duì)D，由，可得，所以，又不全為零，所以表示一條直線，即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確.故選：ACD.38．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，進(jìn)而求出其面積.【詳解】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，，故選：D.39．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由題意可得：，表示復(fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為1，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，因?yàn)楸硎颈硎緩?fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，所以，即的最大值為3.故選：C.40．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，.故選：C41．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)，(不同時(shí)為0)，根據(jù)條件化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值.【詳解】設(shè)，(不同時(shí)為0)，，由題意可知，得或，當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，如圖可知，的最小值是點(diǎn)與的距離.故選：C42．【多選】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則【答案】AD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義判斷BCD，由復(fù)數(shù)的乘法判斷A．【詳解】由已知，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，C錯(cuò)；，A正確；由知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，因此D正確．故選：AD．43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______．【答案】2＃＃＋2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，兩點(diǎn)間距離，結(jié)合圖形理解運(yùn)算．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得故答案為：．44．（2023·河南·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等的幾何意義即可得到答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,則的幾何意義是到的距離和到的距離相等,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足.故選：D.45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，設(shè)，即可計(jì)算的最小值．【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，半實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B．46．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）．A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)和的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到的最小值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示點(diǎn)到的距離與到的距離的差為4，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，圖象如下所示：

表示點(diǎn)到的距離，所以的最小值為3.故選：A.考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的運(yùn)算47．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】故答案為：48．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方運(yùn)算可得答案.【詳解】.故選：D.49．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】；故選：B.50．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則.故選：C51．（2023·江蘇南通·三模）復(fù)數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．2022【答案】A【分析】利用錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，所以，所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012，故選：A52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）____________【答案】/【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的除法、乘方運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.【詳解】，，.故答案為：53．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由已知可得，，代入根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，所以有，解得或.故選：C.54．【多選】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和模長(zhǎng)公式計(jì)算可得A正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算可得B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和模長(zhǎng)公式計(jì)算可得C錯(cuò)誤；D正確.【詳解】依題意，，則，故A正確；又，，，，即，故B正確；設(shè)，由得，，則，，故C錯(cuò)誤；，.故D正確.故選：ABD.（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問(wèn)題55．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將虛數(shù)z代入方程，利用復(fù)數(shù)相等解方程組即可得出答案.【詳解】因?yàn)樘摂?shù)（）是方程的根，則，即，由復(fù)數(shù)相等得出，解得或，因?yàn)樘摂?shù)中，所以，所以.故選：B56．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．9 B．1 C． D．【答案】B【分析】把方程的根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的列方程組求解.【詳解】已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則，即，即，解得，故.故選：．57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若虛數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，且，則（

）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，將其代入方程求得，，然后利用復(fù)數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)（且），代入原方程可得．所以，解得，因?yàn)?，所以．故選：C．58．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【分析】解方程可得與，利用乘法運(yùn)算直接計(jì)算，或者利用韋達(dá)定理即可.【詳解】解法一：由，得，，所以；解法二：方程，由韋達(dá)定理可得.故選：D59．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是虛數(shù)單位，已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則________，________．【答案】1226【分析】分析：把代入方程得，再化簡(jiǎn)方程利用復(fù)數(shù)相等的概念得到p，q的值.【詳解】把代入方程得，所以，所以，所以故答案為：12；26．60．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)解，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由方程解出，，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由方程得，由求根公式得根為，不妨設(shè)，.，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；令，得或，所以，也是方程的兩個(gè)根，所以D正確.故選：D.考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義（一）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（向量）有關(guān)的運(yùn)算61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù)，然后求得，再利用幾何意義求解.【詳解】解：由題意得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選：A62．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則故選：.63．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，表示的復(fù)數(shù)分別為，記z為所表示的復(fù)數(shù)，則（

）A．25 B．8 C．5 D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，求出，再由共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，表示的?fù)數(shù)分別為所以，，則，那么，所以.故選：A．64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量的模長(zhǎng)、向量的平行和垂直知識(shí)進(jìn)而可以判斷.【詳解】設(shè)，，，，，，對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB.（三）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限65．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，再確定其在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及其象限.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限.故選：D.66．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)概念可解得的值，從而得出結(jié)論.【詳解】由為純虛數(shù),則實(shí)部,虛部,解得,則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選:D.67．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)z，進(jìn)而判斷復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】∵，∴復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則“點(diǎn)在第四象限”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義解決即可.【詳解】由題知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，即，，即，或，所以“點(diǎn)在第四象限”是“”的充分不必要條件，（四）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)69．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由于點(diǎn)在第一象限，所以，解得.故選：A70．（2023·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系得，應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)目標(biāo)式即得結(jié)果.【詳解】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故，所以.故選：D71．（2023·河南濮陽(yáng)·濮陽(yáng)一高?？寄M預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算得，關(guān)于虛軸對(duì)稱即關(guān)于軸對(duì)稱，得出結(jié)果即可．【詳解】由題意得，∵復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱對(duì)稱，∴．故選：D．72．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則(

)A． B． C．6 D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)在直線上可得參數(shù).【詳解】由題意，得，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)