高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第08講：拓展一：基本不等式(原卷版+解析)

第08講：拓展一：基本不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u基本不等式必背知識 1基本不等式高頻考點類型 3類型一：直接法 3類型二：湊配法 6類型三：分離法 8類型四：換元法 11類型五：常數(shù)代換“1”的代換 13類型六：消元法 16類型七：對鉤函數(shù) 18溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭基本不等式必背知識1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、對鉤函數(shù)：對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）?？紝︺^函數(shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減5、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高頻考點類型類型一：直接法典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是2 D．的最小值是2例題3．（多選）（2022秋·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時，D．的最小值是練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三對口高考）下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．時，有最大值-2 D．時，有最小值23．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾個不等式中，不能取到等號的是（

）A． B．C． D．類型二：湊配法典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A． B．4C． D．例題2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11例題3．（2023秋·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．例題4．（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)校考期末）已知，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14練透核心考點1．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·河南焦作·高二溫縣第一高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則此函數(shù)的最小值等于（

）A． B． C． D．3．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎?，則的最小值是________；4．（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)x>1時，求函數(shù)f(x)的最小值．類型三：分離法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A． B．2 C．4 D．6例題2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12例題3．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┖瘮?shù)的值域是__________．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.3．（2022秋·安徽滁州·高一?？计谥校┮阎淖钚≈禐開___________.4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谥校┣蠛瘮?shù)的最小值．類型四：換元法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)在上的最大值為_______________．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.練透核心考點1．（2022秋·湖北襄陽·高三棗陽一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為______．2．（2022春·陜西西安·高一長安一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．類型五：常數(shù)代換“1”的代換典型例題例題1．（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎龜?shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．8 D．9例題3．（2023春·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為__________.練透核心考點1．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．5 D．2．（多選）（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是4C．的最大值是 D．的最小值是13．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為__________．類型六：消元法典型例題例題1．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）若，，，則的最小值為_______．例題2．（多選）（2023秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知、，，則下列說法正確的是（

）A．， B．的最小值為8C．的最小值為3 D．的最小值為4練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a＞0，b＞0，且2a+b＝1，則（

）A．有最小值為+1 B．有最小值為+1 C．有最小值為 D．有最小值為42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3類型七：對鉤函數(shù)典型例題例題1．（2023春·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．無最小值 D．有最大值5例題2．（2023·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A． B．C． D．例題3．（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若，則的取值范圍為__________．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題：“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）下列不等式一定成立的是（

）A． B．（其中）C． D．（其中）3．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，對任意，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．（1，4）第08講：拓展一：基本不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u基本不等式必背知識 1基本不等式高頻考點類型 3類型一：直接法 3類型二：湊配法 6類型三：分離法 8類型四：換元法 11類型五：常數(shù)代換“1”的代換 13類型六：消元法 16類型七：對鉤函數(shù) 18溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭基本不等式必背知識1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、對鉤函數(shù)：對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）常考對鉤函數(shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減5、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高頻考點類型類型一：直接法典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A.當(dāng)時，，故錯誤；B.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故正確；C.當(dāng)時，，故錯誤；D.由重要不等式得，故錯誤；故選：B例題2．（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是2 D．的最小值是2【答案】B【詳解】對于A，D：不能保證x>0，故錯；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，故正確；對于C:，令，則，則，,所以上是增函數(shù)，所以在上的最小值是，故C錯;故選：B例題3．（多選）（2022秋·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時，D．的最小值是【答案】BC【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，B正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，C正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，顯然無解，故取不到最小值，D錯誤.故選：BC.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為故選：B2．（2023·全國·高三對口高考）下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．時，有最大值-2 D．時，有最小值2【答案】C【詳解】解：對于A，沒有說是正數(shù)，所以可以取到負值，故A錯誤；對于B，要取到最小值2，需滿足，此時，不可能成立，故B錯誤；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選;C.3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾個不等式中，不能取到等號的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對A，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對B，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對C，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；對D，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r等號成立，無解，等號不成立．故選：D．類型二：湊配法典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A． B．4C． D．【答案】D【詳解】因為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：D例題2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【詳解】因為，所以由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選：B例題3．（2023秋·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：C.例題4．（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)校考期末）已知，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】因為,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即的最小值為12，故選：C練透核心考點1．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】因為，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）所以的最小值為，故選：.2．（2023秋·河南焦作·高二溫縣第一高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則此函數(shù)的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.故選：D.3．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎?，則的最小值是________；【答案】3【詳解】，當(dāng)，即時取等號，又，故當(dāng)時取得最小值.故答案為：3.4．（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)x>1時，求函數(shù)f(x)的最小值．【答案】(1)4(2)5【詳解】（1）由題意可得：，解得.（2）由（1）可得：，∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，函數(shù)f(x)的最小值為5.類型三：分離法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A． B．2 C．4 D．6【答案】C【詳解】由題意，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.故選：C.例題2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【詳解】因為所以，(當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立故最小值為，故選：A例題3．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┖瘮?shù)的值域是__________．【答案】【詳解】當(dāng)時，當(dāng)，.若時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即.若時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即.綜上所述，函數(shù)的值域為.故答案為：練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】因為對任意，恒成立，只需滿足，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：3．（2022秋·安徽滁州·高一?？计谥校┮阎?，的最小值為____________.【答案】【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，此時取得最小值．故答案為：4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)校考期中）求函數(shù)的最小值．【答案】【詳解】因為，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故函數(shù)的最小值.類型四：換元法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號所以的最小值是，則的最大值為.故選A例題2．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)在上的最大值為_______________．【答案】【詳解】解：因為，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為.故答案為：.練透核心考點1．（2022秋·湖北襄陽·高三棗陽一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為______．【答案】7【詳解】令，；則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)，故函數(shù)，的最小值為故答案為：72．（2022春·陜西西安·高一長安一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．【答案】【詳解】因為，令，則，又因為，可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.類型五：常數(shù)代換“1”的代換典型例題例題1．（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】由，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3.故選：C.例題2．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎龜?shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．8 D．9【答案】D【詳解】由正數(shù)m，n滿足，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號.故選：D.例題3．（2023春·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為__________.【答案】##1.6【詳解】因為，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最小值為.故答案為:.練透核心考點1．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【詳解】因為，，且，則有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B2．（多選）（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是4C．的最大值是 D．的最小值是1【答案】AC【詳解】正數(shù)x，y滿足.對于A：，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）.所以的最大值是1.故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）.故B錯誤；對于C：因為正數(shù)x，y滿足，所以，其中，所以，所以當(dāng)時，的最大值是.故C正確；對于D：因為正數(shù)x，y滿足，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”成立）.故D錯誤.故選：AC3．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為__________．【答案】##【詳解】解：由題得.當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故答案為：類型六：消元法典型例題例題1．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）若，，，則的最小值為_______．【答案】##【詳解】因為，，，所以，又因為可得，所以，，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，則，所以的最小值為.故答案為：.例題2．（多選）（2023秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知、，，則下列說法正確的是（

）A．， B．的最小值為8C．的最小值為3 D．的最小值為4【答案】ABD【詳解】因為，所以且a>0，可得.又且b>0，可得，故A正確；,即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；因為，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C錯；將代入，可得,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，故D正確.故選：ABD.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a＞0，b＞0，且2a+b＝1，則（

）A．有最小值為+1 B．有最小值為+1 C．有最小值為 D．有最小值為4【答案】A【詳解】解：因為a＞0，b＞0，且2a+b＝1，所以，所以，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以有最小值為+1，故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】解：因為，所以，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故選：B.類型七：對鉤函數(shù)典型例題例題1．（2023春·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？?/p>