高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(分層精練)(原卷版+解析)

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在一次實(shí)驗(yàn)中，某小組測(cè)得一組數(shù)據(jù)，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖，在區(qū)間上，下列四個(gè)函數(shù)模型為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)”可以用數(shù)學(xué)來(lái)詮釋：假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，經(jīng)過(guò)天之后，你的數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江·高一期末）某市的電費(fèi)收費(fèi)實(shí)行峰平谷標(biāo)準(zhǔn)，如下表所示：時(shí)間段電價(jià)峰期14：00-17：0019：00-22：001.02元/度平期8：00-14：0017：00-19：0022：00-24：000.63元/度谷期0：00-8：000.32元/度該市市民李丹收到11月的智能交費(fèi)賬單顯示：電量520度（其中谷期電量170度），電費(fèi)333.12元．請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算李丹家的峰期用電量大約為（精確到整數(shù)）（

）A．149度 B．179度 C．199度 D．219度4．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某地有一片長(zhǎng)期被污染水域，經(jīng)過(guò)治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長(zhǎng)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中為年后的魚類數(shù)量，為自然增長(zhǎng)率，（單位：萬(wàn)條）為飽和量，（單位：萬(wàn)條）為初始值.已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬(wàn)條，以此為初始值，若自然增長(zhǎng)率為，飽和量為1600萬(wàn)條，那么預(yù)計(jì)2032年底該水域的魚類數(shù)量約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．68萬(wàn)條 B．72萬(wàn)條 C．77萬(wàn)條 D．83萬(wàn)條5．（2023·江西南昌·南昌十中?？家荒＃?022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足.若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．6．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，假定兩點(diǎn)P、Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)，分別同時(shí)從A、C出發(fā)，點(diǎn)Q沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)P沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離，那么定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系為（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則P從靠近A的第一個(gè)四等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近B的三等分點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.8秒 C．1.1秒 D．1.2秒7．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．74 C．76 D．788．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代的過(guò)程中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量隨時(shí)間（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對(duì)三星堆古遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的，據(jù)此推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年二、多選題9．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則：B．若，則的最小值為2C．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3D．下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，甲購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多三、填空題11．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）12．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)校考期末）在不考慮空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）滿足（e為自然對(duì)數(shù)的底）．當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的______倍時(shí)，火箭的最大速度可以達(dá)到8000m/s（結(jié)果精確到0.1）．四、解答題13．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每一百輛車售價(jià)800萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤(rùn)＝銷售額－成本）(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）廣富林,原稱皇甫林、廣福林,位于上海松江城西北6公里,辰山塘東岸．廣富林地區(qū)地處上海市松江大學(xué)城,古代屬于華亭谷范疇,孕育了燦爛的廣富林古文化,是上古時(shí)期東吳東部文化、政治、經(jīng)濟(jì)和交通中心．廣富林古墓中發(fā)掘的隨葬品有上百件之多,包括石器生產(chǎn)工具、陶器生活用品和禮器、獨(dú)具文化象征意義的動(dòng)物類骨骼等．(1)生物體死亡后,它的機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間叫做“半衰期”．設(shè)生物體死亡時(shí)體內(nèi)碳14的含量為1,根據(jù)上述規(guī)律,寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式;(2)某考古研究團(tuán)隊(duì)對(duì)廣富林出土的動(dòng)物遺骸進(jìn)行了碳14年代檢測(cè),測(cè)出的碳14的殘留量約為初始量的48.5%,請(qǐng)你推斷這些動(dòng)物遺骸距今大約有多少年？（精確到1年）15．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大報(bào)告提出，積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國(guó)能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國(guó)能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個(gè)月，我國(guó)光伏新增裝機(jī)達(dá)到4447萬(wàn)千瓦，同比增長(zhǎng)2241萬(wàn)千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機(jī)的全年固定成本為1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（單位：百臺(tái)）發(fā)電機(jī)組需增加投入y（單位：萬(wàn)元），其中，該光伏發(fā)電機(jī)年產(chǎn)量最大為10000臺(tái)．每臺(tái)發(fā)電機(jī)的售價(jià)為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機(jī)當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤(rùn)P（單位：萬(wàn)元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？（總收入＝總成本＋利潤(rùn)）．B能力提升1．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來(lái)對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需可變成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，．每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬(wàn)件 B．50萬(wàn)件 C．60萬(wàn)件 D．80萬(wàn)件2．（2023秋·湖南婁底·高一?？计谀┤鐖D，假定P，Q兩點(diǎn)以相同的初速度（單位：?jiǎn)挝?秒），分別同時(shí)從A，C出發(fā)，點(diǎn)Q沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)P沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離，那么定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為，則P從靠近A的第一個(gè)五等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近B的三等分點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）蒙牛成為2022年卡塔爾世界杯的奶制品供應(yīng)商．該廠商計(jì)劃臨時(shí)租用總面積為3000平方米的生產(chǎn)廠區(qū)，其中涵蓋臨時(shí)搭建牛奶類和酸奶類共計(jì)60間生產(chǎn)車間及綠化改造．每間牛奶類車間的面積為50平方米，租金為每月x萬(wàn)元；每間酸奶類車間的面積為30平方米，租金為每月0.5萬(wàn)元．現(xiàn)要求所有車間的面積之和不低于總面積的，又不能超過(guò)總面積的，則牛奶類生產(chǎn)車間的搭建方案有______種，為保證任何一種搭建方案平均每個(gè)車間租用費(fèi)用不低于每間牛奶類車間月租費(fèi)的，則x的最大值為_____________萬(wàn)元．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知通過(guò)某種圓筒型保溫層的熱流量，其中，分別為保溫層的內(nèi)外半徑（單位：mm），，分別為保溫層內(nèi)外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長(zhǎng)度（單位：m），為保溫層的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：）．某電廠為了減少熱損失，準(zhǔn)備在直徑為120mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據(jù)安全操作規(guī)定，保溫層外表面溫度應(yīng)控制為50℃．經(jīng)測(cè)試，當(dāng)保溫層的厚度為30mm時(shí)，每米長(zhǎng)管道的熱損失為300W．若要使每米長(zhǎng)管道的熱損失不超過(guò)150W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（

）A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm2．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動(dòng)動(dòng)機(jī)（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)B．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高3．（多選）（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┻呺H函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)基本概念，在國(guó)防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產(chǎn)75臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺(tái)的收入函數(shù)（單位：元），其成本的數(shù)（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．取得最大值時(shí)每月產(chǎn)量為臺(tái)B．邊際利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式為C．利潤(rùn)函數(shù)與邊際利潤(rùn)函數(shù)不具有相同的最大值D．邊際利潤(rùn)函數(shù)說(shuō)明隨著產(chǎn)量的增加，每臺(tái)利潤(rùn)與前一臺(tái)利潤(rùn)差額在減少4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來(lái)的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不少于45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)與銷售量的關(guān)系式為萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？5．（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在項(xiàng)（物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平）為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為．資料顯示：年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為萬(wàn)美元．設(shè)表示第年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額（年記為，年記為，，依次類推）．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)分別求出、與的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）所求的結(jié)果歸納出函數(shù)的解析式（無(wú)需證明）．(3)若，試求出年諾貝爾獎(jiǎng)每位獲獎(jiǎng)?wù)叩莫?jiǎng)金額是多少．第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在一次實(shí)驗(yàn)中，某小組測(cè)得一組數(shù)據(jù)，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖，在區(qū)間上，下列四個(gè)函數(shù)模型為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由散點(diǎn)圖的定義域可排除C、D選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖的增長(zhǎng)方式可知函數(shù)模型為指數(shù)型.故選：B2．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)”可以用數(shù)學(xué)來(lái)詮釋：假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，經(jīng)過(guò)天之后，你的數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】經(jīng)過(guò)1天后數(shù)學(xué)水平為，經(jīng)過(guò)2天后數(shù)學(xué)水平為，經(jīng)過(guò)3天后數(shù)學(xué)水平為，以此類推，經(jīng)過(guò)天后，數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為，故選:D.3．（2023秋·浙江·高一期末）某市的電費(fèi)收費(fèi)實(shí)行峰平谷標(biāo)準(zhǔn)，如下表所示：時(shí)間段電價(jià)峰期14：00-17：0019：00-22：001.02元/度平期8：00-14：0017：00-19：0022：00-24：000.63元/度谷期0：00-8：000.32元/度該市市民李丹收到11月的智能交費(fèi)賬單顯示：電量520度（其中谷期電量170度），電費(fèi)333.12元．請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算李丹家的峰期用電量大約為（精確到整數(shù)）（

）A．149度 B．179度 C．199度 D．219度【答案】A【詳解】設(shè)峰期電量x度，則平期電量度，從而有，解得．故選：A.4．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某地有一片長(zhǎng)期被污染水域，經(jīng)過(guò)治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長(zhǎng)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中為年后的魚類數(shù)量，為自然增長(zhǎng)率，（單位：萬(wàn)條）為飽和量，（單位：萬(wàn)條）為初始值.已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬(wàn)條，以此為初始值，若自然增長(zhǎng)率為，飽和量為1600萬(wàn)條，那么預(yù)計(jì)2032年底該水域的魚類數(shù)量約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．68萬(wàn)條 B．72萬(wàn)條 C．77萬(wàn)條 D．83萬(wàn)條【答案】C【詳解】根據(jù)題中所給函數(shù)模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，以2022年的數(shù)量為初始值，所以有，所以預(yù)計(jì)2032年底該水域的魚類數(shù)量約為77萬(wàn)條，故選：C5．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足.若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，則，解得：，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，將其代入中，得：，故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為.故選：B6．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，假定兩點(diǎn)P、Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)，分別同時(shí)從A、C出發(fā)，點(diǎn)Q沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)P沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離，那么定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系為（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則P從靠近A的第一個(gè)四等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近B的三等分點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.8秒 C．1.1秒 D．1.2秒【答案】B【詳解】由題意可知，、兩點(diǎn)的初速度為單位/秒，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的第一個(gè)四等分點(diǎn)時(shí)，，則，可得，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，，則，可得，故所求時(shí)間為（秒），故選：B.7．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．74 C．76 D．78【答案】B【詳解】根據(jù)題意得該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，當(dāng)時(shí)，，代入得，，解得，由學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含），得，，，，因?yàn)?，所以，故G取74，故選：B．8．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代的過(guò)程中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量隨時(shí)間（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對(duì)三星堆古遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的，據(jù)此推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年【答案】B【詳解】設(shè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是x年，則，即，所以，解得，所以推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是年.故選：B二、多選題9．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．若，則：B．若，則的最小值為2C．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3D．下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④【答案】AC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即不成立，所以，無(wú)最小值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值是3，C正確；對(duì)于D，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，隨著時(shí)間的推移增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，所以最有前途的生意是①，D錯(cuò)誤，故選:AC.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，甲購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多【答案】AD【詳解】解：設(shè)投資總額為a元，甲先經(jīng)歷一次漲停，再經(jīng)歷一次跌停后的資金為：元，乙先經(jīng)歷一次跌停，再經(jīng)歷一次漲停后的資金為：元，故選：AD.三、填空題11．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【詳解】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，則，，且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故，所以經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為，故，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，因?yàn)椋裕瑒tn的最小值為12.故答案為：1212．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谀┰诓豢紤]空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）滿足（e為自然對(duì)數(shù)的底）．當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的______倍時(shí)，火箭的最大速度可以達(dá)到8000m/s（結(jié)果精確到0.1）．【答案】53.6【詳解】由得，，，，故答案為：53.6.四、解答題13．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每一百輛車售價(jià)800萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤(rùn)＝銷售額－成本）(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1)(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1600萬(wàn)元.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時(shí)，全年銷售額為萬(wàn)元，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所求函數(shù)關(guān)系為：.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式中等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式中等號(hào)成立.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1600萬(wàn)元.14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）廣富林,原稱皇甫林、廣福林,位于上海松江城西北6公里,辰山塘東岸．廣富林地區(qū)地處上海市松江大學(xué)城,古代屬于華亭谷范疇,孕育了燦爛的廣富林古文化,是上古時(shí)期東吳東部文化、政治、經(jīng)濟(jì)和交通中心．廣富林古墓中發(fā)掘的隨葬品有上百件之多,包括石器生產(chǎn)工具、陶器生活用品和禮器、獨(dú)具文化象征意義的動(dòng)物類骨骼等．(1)生物體死亡后,它的機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間叫做“半衰期”．設(shè)生物體死亡時(shí)體內(nèi)碳14的含量為1,根據(jù)上述規(guī)律,寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式;(2)某考古研究團(tuán)隊(duì)對(duì)廣富林出土的動(dòng)物遺骸進(jìn)行了碳14年代檢測(cè),測(cè)出的碳14的殘留量約為初始量的48.5%,請(qǐng)你推斷這些動(dòng)物遺骸距今大約有多少年？（精確到1年）【答案】(1)(2)5982年【詳解】（1）解:由題意生物體死亡后,它的機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,所以設(shè),根據(jù)半衰期可知,解得,代入得,所以生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由(1)得,令,解得,所以這些動(dòng)物遺骸距今大約有5982年．15．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大報(bào)告提出，積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國(guó)能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國(guó)能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個(gè)月，我國(guó)光伏新增裝機(jī)達(dá)到4447萬(wàn)千瓦，同比增長(zhǎng)2241萬(wàn)千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機(jī)的全年固定成本為1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（單位：百臺(tái)）發(fā)電機(jī)組需增加投入y（單位：萬(wàn)元），其中，該光伏發(fā)電機(jī)年產(chǎn)量最大為10000臺(tái)．每臺(tái)發(fā)電機(jī)的售價(jià)為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機(jī)當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤(rùn)P（單位：萬(wàn)元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？（總收入＝總成本＋利潤(rùn)）．【答案】(1)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800萬(wàn)元.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，∵，∴當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800萬(wàn)元．B能力提升1．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來(lái)對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需可變成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，．每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬(wàn)件 B．50萬(wàn)件 C．60萬(wàn)件 D．80萬(wàn)件【答案】D【詳解】由題意得，銷售收入為100x萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)．所以利潤(rùn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，所以當(dāng)時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為1000萬(wàn)元．故選:D．2．（2023秋·湖南婁底·高一校考期末）如圖，假定P，Q兩點(diǎn)以相同的初速度（單位：?jiǎn)挝?秒），分別同時(shí)從A，C出發(fā)，點(diǎn)Q沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)P沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離，那么定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為，則P從靠近A的第一個(gè)五等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近B的三等分點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒【答案】B【詳解】P，Q兩點(diǎn)的初速度為單位/秒．設(shè)P運(yùn)動(dòng)到靠近的第一個(gè)五等分點(diǎn)時(shí)，，則，得．設(shè)P運(yùn)動(dòng)到靠近B的三等分點(diǎn)時(shí)，，則，得．故所求的時(shí)間為秒．故選：B3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）蒙牛成為2022年卡塔爾世界杯的奶制品供應(yīng)商．該廠商計(jì)劃臨時(shí)租用總面積為3000平方米的生產(chǎn)廠區(qū)，其中涵蓋臨時(shí)搭建牛奶類和酸奶類共計(jì)60間生產(chǎn)車間及綠化改造．每間牛奶類車間的面積為50平方米，租金為每月x萬(wàn)元；每間酸奶類車間的面積為30平方米，租金為每月0.5萬(wàn)元．現(xiàn)要求所有車間的面積之和不低于總面積的，又不能超過(guò)總面積的，則牛奶類生產(chǎn)車間的搭建方案有______種，為保證任何一種搭建方案平均每個(gè)車間租用費(fèi)用不低于每間牛奶類車間月租費(fèi)的，則x的最大值為_____________萬(wàn)元．【答案】

16

##0.625【詳解】設(shè)牛奶類m間，酸奶類間，則有，解得，又，故方案有16種；由，得，又，故在上恒成立，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易得在上單調(diào)遞增，所以，所以，即x的最大值為.故答案為：16；.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知通過(guò)某種圓筒型保溫層的熱流量，其中，分別為保溫層的內(nèi)外半徑（單位：mm），，分別為保溫層內(nèi)外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長(zhǎng)度（單位：m），為保溫層的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：）．某電廠為了減少熱損失，準(zhǔn)備在直徑為120mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據(jù)安全操作規(guī)定，保溫層外表面溫度應(yīng)控制為50℃．經(jīng)測(cè)試，當(dāng)保溫層的厚度為30mm時(shí)，每米長(zhǎng)管道的熱損失為300W．若要使每米長(zhǎng)管道的熱損失不超過(guò)150W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（

）A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm【答案】D【詳解】由題意可得，，，設(shè)覆蓋的保溫層厚度至少為，則，，整理可得，即，解得，故選：D．2．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動(dòng)動(dòng)機(jī)（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)B．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高【答案】BCD【詳解】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)，對(duì)于A，，，，，∴，，，所以，即甲比乙勞累程