離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第十章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特

征

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測

離散型隨

本講是高考的命題熱點，常

機(jī)變量分

以實際問題為情境，與計數(shù)

了解離散型隨布列的性

原理、古典概型等知識綜合

機(jī)變量的概質(zhì)

命題，考查離散型隨機(jī)變量

念，理解離散離散型隨

2022全國卷甲T19；2021新的分布列、均值與方差，以

型隨機(jī)變量分機(jī)變量的

高考卷IT18；2021新高考卷解答題為主，有時也以選擇

布列及其數(shù)字分布列及

IIT21；2019全國卷IT21題、填空題的形式進(jìn)行考

特征(均值、數(shù)字特征

查，難度中等.預(yù)計2025年

方差).利用均值

高考會著重考查本講知識的

與方差進(jìn)2021新高考卷IT18

實際應(yīng)用.

行決策

。學(xué)生用書P239

1.離散型隨機(jī)變量

一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間◎中的每個樣本點o,都有①唯一的實數(shù)x(a)與之

對應(yīng)，我們稱x為隨機(jī)變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨

機(jī)變量.

隨機(jī)變量一般用大寫英文字母表示，例如X,Y,Z隨機(jī)變量的取值一般用小寫英文字母表

示，例如x,y,z.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為XI,X2,…，招，我們稱X取每一個值沏的概

率=Pi,i=\,2,〃為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機(jī)變量的分

布列可以用表格或圖形表示.

3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

(1)p②N0,z=l,2,???,"；

(2)0l+p2H----\-pn-?1

4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

…

XX1X2Xn

PPiP2???Pn

n

則稱￡(X)歷+…=>xs為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)

i=l

期望簡稱期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

n

稱。(X)=(xi—E(X))61+(%2—E(X))62+…+(xn—E(X))⑤_Z(區(qū)上

1^1

二￡(20)2必—為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為,并稱JD(X)為隨機(jī)變量X的

⑥標(biāo)準(zhǔn)差，記為◎(X).方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的⑦偏離程

度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方

差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.

5.均值與方差的性質(zhì)

若y=°X+6,其中a,6是常數(shù)，X,不，蒞是隨機(jī)變量，則

(1)E(aX+6)=?aE(X)+6,D(aX+6)=?a2D；

(2)E(Xi+范)=E(M)+E(蒞)，D(X)=E(相)~\_E(X)]2.

1.下列說法錯誤的是(B)

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量

B.離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1

C.離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的

D.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越

小，則偏離變量的平均程度越小

2.設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為

X-101

1

pi-qq-q

2

則q等于（D）

A.1B.融后C.1+日調(diào)

1+1-q+q-q2=1,

0<1—q<g,解得

{0<q-q2<|,

3.一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利

30元，生產(chǎn)一件次品要賠20元，已知這臺機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別

為0.6,0.3和0.1,則這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利(B)

A.367CB.37元C.38元D.39元

解析設(shè)這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X元，則X可能取的數(shù)值為50,30,-20,所以

P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=—20)=0.1,所以這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品

平均預(yù)期可獲利為E(X)=50X0.6+30X0.3-20X0.1=37(元),故選B.

4.［多選］設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2X+l,則下列結(jié)果正確的有(ACD)

A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4

C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(K)=5,D(K)=7.2

解析因為g+0.4+0.1+0.2+0.2=l,所以q=0.1,故A正確；又￡(X)=0X0.1+

lX0.4+2X0.1+3X0.2+4X0.2=2,

D(X)=(0-2)2義0.1+(1-2)2X0.4+(2-2)2X0.1+(3-2)2X0.2+(4-2)

2X0.2=1.8,故C正確，B錯誤；因為y=2X+l,所以E(K)=2E(X)+1=5,D

(y)=4￡>(X)=7.2,故D正確.故選ACD.

5.若隨機(jī)變量X滿足P(X=c)=1,其中c為常數(shù)，則。(X)的值為0.

解析?:P(X=c)=1,：.E(X)=cXl=c,：.D(X)=(c—c)2X1=O.

d學(xué)生用書P241

命題點1離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

例1(1)某射手射擊所得環(huán)數(shù)4的分布列如下表：

78910

pX0.10.3y

已知。的數(shù)學(xué)期望E(：)=8.9,則〉的值為(C)

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

解析由題中表格可知x+0.1+0.3+y=l,7x+8X0.1+9X0.3+10j=8.9,解得y=0.4.故

選C.

(2)［多選］設(shè)隨機(jī)變量忑的分布列為P(e=1)=ak"=1,2,3,4,5),貝|

(AB)

A-TB.P=!

C1.P12=卷D.尸(0=1)=22

10,215、10

解析?.,隨機(jī)變量。的分布列為尸=ak(左=1,2,3,4,5),

'.P+P(^=1)+P(/=*+P+尸G=l)=a+2a+3a+4a+5a=15。

=1,解得。=備故A正確；

易知尸(#y)=PH=|)=3X^=1,故B正確;

易知尸=P(<f=1)+P(E=|)=^+2X^=1,故C錯誤；

易知P&=1)=5嗎=,，故D錯誤.

方法技巧

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用

1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值及檢驗分布列是否正確；

2.利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求

某些特定事件的概率.

訓(xùn)練1(1)若隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

則當(dāng)尸(X<a)=0.8時，實數(shù)。的取值范圍是(C)

A.(―8,2]B.[l,2]C.(1,2]D.(1,2)

解析由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當(dāng)P(X<a)=

0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1,2],

(2)隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-101

Pabc

其中a,b,c成等差數(shù)列，則尸(1X1=1)=_|_,公差d的取值范圍是「一]..

解析因為a,b,c成等差數(shù)列，

所以26=a+c.又a+6+c=1,所以6=：,所以尸([X|=1)=a+c=|.

11

又a=--d,c=--\-d,

根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0七一1(|,og+dw|,所以一

命題點2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

例2(1)[多選]設(shè)隨機(jī)變量^的分布列為尸&=左)=熱(k=l,2,5),aGR,

E(f),D(f)分別為隨機(jī)變量。的數(shù)學(xué)期望與方差，則(ABC)

A.P(0<^<3.5)=jB.E(3/+1)=7

6

C.D&)=2D.D(3^+1)=6

解析,:P(己=k)=工(左=1,2,5),aGR,

fc+1

：.p(/=i)pe=2)p(e=5)=m=2，i,

'1+12’、2+13，55+16'236'

解得a=l.

P(0<^<3.5)=P(忑=1)+P(4=2)=^+7=7,故A正確；

YE(J)=1乂工+2><工+5義工=2,：.E(3J+1)=3E((f)+1=3X2+1=7,故B正確；

236

D(。)=ix(1-2)2+iX(2—2)2+iX(5-2)2=2,故C正確；

236

D(3忑+1)=32r>(<f)=9X2=18,故D錯誤.

(2)[2022全國卷甲]甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方

得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲

學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

①求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

②用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

解析①設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為/,則甲學(xué)校必須獲勝2場或者3場.

P(/)=0.5X04X0.8+(1-0.5)X0.4X0.8+0.5X(1-0.4)X0.8+0.5X0.4X(1-

0.8)=0.6.

故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為06

②X的取值可以為0,10,20,30.

P(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16,

P(X=10)=(1-0.5)X0.4X0.8+0.5X(1-0.4)X0.8+0.5X0.4X(1-0.8)=

0.44,

P(X=20)=(1-0.5)X(1-0.4)X0.8+0.5X(1-0.4)X(1-0.8)+(1-0.5)

X0.4X(1-0.8)=0.34,

P(X=30)=(1-0.5)X(1-0.4)X(1-0.8)=0.06.

所以X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

所以E(X)=0X0.16+10X0.44+20X0.34+30X0.06=13.

方法技巧

求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟

(1)理解X的含義，寫出X的全部可能取值；

(2)求X取每個值的概率；

(3)寫出X的分布列；

(4)由均值、方差的定義求￡(X),。(X).

訓(xùn)練2［多選］甲、乙兩人進(jìn)行紙牌游戲(紙牌除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別)，他們

手里各持有4張紙牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張紅牌，

現(xiàn)在兩人都各自隨機(jī)取出1張牌進(jìn)行交換，交換后甲、乙手中的紅牌張數(shù)分別為X,匕則

(AD)

11

A.P(X=2)=-B.P(X=3)=-

24

C.E(X)=E(F)D.D(X)=D(K)

解析記甲取出1張紅牌為事件乙取出1張紅牌為事件3,

則P(1)=：=；,P⑻=i

424

由題意，X的可能取值為1,2,3,且y=3—X,

則尸(X=l)=對胃P(X=2)=|x^+ixi=1,P(X=3)=濟(jì)胃,故A正確,

B錯誤.

E(X)=lX-+2xi+3xi=-,E(Y)=E(3—X)=3—E(X)=3--=-,故C錯誤.

D(y)=D(3—X)=(-1)2D(X)=D(X),故D正確.故選AD.

命題點3利用均值與方差進(jìn)行決策

例3［2021新高考卷I］某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比

賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比

賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該

同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問

題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確

回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解析(1)由題意得，X的所有可能取值為0,20,100,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)當(dāng)小明先回答A類問題時，由⑴可得￡(X)=0X0.2+20X0.32+100X0.48=

54.4.

當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時，記y為小明的累計得分，

則y的所有可能取值為o,so,wo,

P(y=0)=1-0.6=0.4,

P(y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

所以y的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

E（y）=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6.

因為57.6>54.4,即￡（7）>E（X）,所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答

B類問題.

方法技巧

在利用均值和方差的意義去分析、解決實際問題時，一般先比較均值，若均值相同，再用

方差來決定.需要注意的是，實際應(yīng)用中是方差大了好還是方差小了好，要看這組數(shù)據(jù)反映

的實際問題.

訓(xùn)練3[2023湖北荊州中學(xué)模擬]某公司計劃在2023年年初將1000萬元用于投資，現(xiàn)有兩

個項目供選擇.

項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%,也可能虧損

15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為（和|.

項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%,也可能虧損

30%,也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為|,春

（1）針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.

（2）若市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)

用作投資），大約在哪一年年底總資產(chǎn)（利潤+本金）可以翻一番？（參考數(shù)據(jù)：lg2=

0.3010,1g3-0.4771）

解析（1）若投資項目一，設(shè)獲利為41萬元（負(fù)值表示虧損），則占的分布列為

fl300-150

72

p

99

79

E⑶=300X<+（-150）X-=200.

*99

若投資項目二，設(shè)獲利為一萬元（負(fù)值表示虧損，0表示不賠不賺），則一的分布列為

a5000-300

311

p

5153

E(&)=500x|+0X^+(—300)x|=200.

：.E(占)=E(金)，即投資項目一和項目二獲利的期望相同.

79

D⑸=(300-200)2義；+(-150-200)2X^=35000,

D(々)=(500-200)2x1+(0-200)2X^+(-300-200)2x1=140000,

：.D(6)<D(,),即項目一的方差較小，投資項目一更穩(wěn)定.

綜上，建議該投資公司選擇項目一進(jìn)行投資.

(2)假設(shè)〃(〃dN*)年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意得1000X(1+端)"=2000,即

1.2"=2,

兩邊同時取對數(shù)，得“Xlgl.2=lg2,〃=—解一七----竺竺-----七3.8053,

6621g2+lg3-l2x0.3010+0.4771-1

,該投資公司大約在2026年年底總資產(chǎn)可以翻一番.

1.［命題點1］設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為

X01

P9a2-a3—8。

則常數(shù)。的值為（A）

A.-B.-C」或2D.一工或一2

333333

0<9a2—a<1,

0<3-8a<1,解得。=/

{9a2~a+3-8a=1,

2.［命題點2］已知1f的分布列如表所示.

0012

P?!?

其中，“！”處完全無法看清，盡管兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的

數(shù)值相同.據(jù)此計算，下列各式中：①E(，=1;②D0)>1；③P(。=0)W：,正確的

個數(shù)是(C)

A.OB.lC.2D.3

解析設(shè)“？”=a,“！”=b,則a,bG［0,1］,2a+b=l.

①E(J)=0Xa+lX6+2X0=2a+b=l,因此①正確；

②D⑷=(0-1)2義0+(1-1)2x6+(2-1)2Xa=

2aWl,因此②不正確；

③尸(忑=0)=°因此③正確.

3.［命題點2,023南昌市一模］某班準(zhǔn)備購買班服，確定從48兩種款式中選出一種統(tǒng)一

購買.現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購買/,2款式的人數(shù)分別為20,30,為了盡量統(tǒng)一意見，

準(zhǔn)備在全班進(jìn)行3輪宣傳，每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位，介紹他贊成所選款式的

理由.假設(shè)每輪宣傳后，贊成該同學(xué)所選款式的不會改變意見，不贊成該同學(xué)所選款式的同

學(xué)會有5位改變意見，改成贊成該同學(xué)所選款式.

(1)計算第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成/款式的概率.

(2)設(shè)經(jīng)過3輪宣傳后贊成N款式的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

解析(1)記第7,輪宣傳選到的同學(xué)贊成/款式為事件4,

第，輪宣傳選到的同學(xué)贊成2款式為事件3,，=1,2,3.

因為P(4也)=|Jx||=l

P⑶也)=荊=春

所以第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成/款式的概率尸(也)—P(/“2)+P(3也)="+卷=

19

50,

(2)經(jīng)過3輪宣傳后贊成4款式的人數(shù)X的所有可能取值為5,15,25,35,

則尸(X=5)=P(B1B2B3)=|Jx||x^=^,

P(X=15)=PG1S2B3)+P(B1A2B3)+P(BiB2A3)=|Jx||x|^+|Jx,X,+

、/、/

—30X—35X—10=——39，

505050125

P(X=25)=P(BMM3)+P(A1B2A3)+P(4/283)

、/

——20X—25X-2—0=——29，

505050125'

P(X=35)=P(4在小)=—X-X—=—.

1'50505025

所以X的分布列為

X5152535

4239293

P

12512512525

所以E(X)=5X急+15X■+25X言+35X,=翳.

4.［命題點3〃023南寧市第一次適應(yīng)性測試］在某次現(xiàn)場招聘會上，某公司計劃從甲和乙兩

位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答.假設(shè)甲能答對的問題有

4個，乙每個問題能答對的概率為申

(1)求甲在第一個問題答錯的情況下，第二個和第三個問題均答對的概率；

(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大.

解析(1)記“甲第一個問題答錯”為事件/,“甲第二個和第三個問題均答對”為事件

B,則P(/)P(AB)=-X-X-=~,

633545

???甲在第一個問題答錯的條件下，第二個和第三個問題均答對的概率為P(5|4)=

1

P(AB)73

下7—

3

(2)設(shè)甲答對的問題數(shù)為X,則X的所有可能取值為1,2,3.

P(X=l)=等=/P(X=2)=警=]P(X=3)=誓=]

的分布列為

X123

131

p——一

555

E(X)=1X1+2X|+3X|=2,

D(X)=(1-2)2x|+(2-2)2x1+(3-2)2x1=|.

設(shè)乙答對的問題數(shù)為y,則y的所有可能取值為o,1,2,3.

p(y=o)=(i-|)i=~,

p(y=i)=clx-x(i--)2=2

5339

p(y=2)=髭*(|)2x(i-|)=、

p(y=3)=(|T，

的分布列為

Y0123

1248

P

279927

￡(y)=OX±+1X|+2X|+3XA=2,

(另解：y-5(3,|),：.E(K)=3x|=2)

D(y)=(0-2)2x^+(1-2)2x1+(2-2)2x(+(3—2)1號.(另解:

W=3x|x(l-|)=|)

由￡(X)=E(y),D(X)<D(y)可得，

甲被錄用的可能性更大.

(------------------------------;練習(xí)幫;練透好題精準(zhǔn)分層----------------------------

6學(xué)生用書?練習(xí)幫P390

基軸塔—美〕

1.[2023福建福州聯(lián)考]已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=-(z=l,2,3,4,5),

a

則P(2WX<5)=(C)

1139

A.-B.-C.1D.—

32510

5?

解析由分布列的性質(zhì)，知Z±=l，解得〃=15,故尸(2WXV5)=P(X=2)+P(X=

i=la

3)+P(X=4)=二+2+±=斗=：.故選C.

151515155

2.［2024江蘇鎮(zhèn)江模擬］已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E（X）=/則。（X）=

（B）

X-201

1

Pab

3

=

1—2a+0x-+6=-,(a,—,

解析因為E(X)=；且各概率之和為1,所以《?33解得《；

3a+-+b=1,lb=~,

I3I9

所以。(X)=-X(―2—工)2+-X(0-i)2+-X(1-i)2=±故選B.

9333939

3.設(shè)OVqWb,隨機(jī)變量X的分布列是

X012

Paba~\~b

則E(X)的取值范圍是(D)

A.(”)B.(1,1]C.(1,|)D.[|,|)

0<a<1,

0<b<l,且a+6+(a+b)=2a+2b=l,即a+b=

(0<a+b<1,

I，可得。=；6,結(jié)合0<aWb,得-因為￡（X）=0Xa+lX6+2X（a+6）=1

+b,所以。WE（X）v|.故選D.

42

4.［浙江高考］設(shè)0<a<l.隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P———

333

則當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時，（D）

A.D（X）增大

B.D（X）減小

C.D（X）先增大后減小

D.D（X）先減小后增大

解析由分布列得E（X）=等.

22

解法-D解）=（手―0）X1+（當(dāng)-a）X1+（號-1）2X1=1（a-i）

333333926

所以當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時，D（X）先減小后增大.故選D.

2

2

解法二D（X）=E（相）-E（Z）=0+：+：=2a2；2a+2=|〔2+1］；

所以當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時，D（X）先減小后增大.故選D.

5.［多選］已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有(BD)

X012

pp—p11—pp2

A.P(X=2)的值最大

B.F(X=0)<P(X=l)

C.E(X)隨p的增大而減小

D.E(X)隨〃的增大而增大

解析當(dāng)時，P(X=2)=；,P(X=l)=1—A錯誤；

L4Z24

因為:<pVl,所以p—p2=p(1—p)<\-p,即尸(X=0)<P(X=l),B正確；

E(X)=1—0+2^=2(p—》2+：,因為所以￡(X)隨p的增大而增大，C錯

誤，D正確.

6.［多選］已知/=5={1,2,3),分別從集合N,8中各隨機(jī)取一個數(shù)a,b,得到平面上

一個點P(a,b),設(shè)事件“點P恰好落在直線x+y="上”對應(yīng)的隨機(jī)變量為X,

P(X=n)=Pn，X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),。(X),貝！|(BCD)

7

A.R=2P2B.P(3WXW5)=§

4.

C.E(X)=4D.D(X)=-

3

解析因為4=5={1,2,3},點尸(a,b)恰好落在直線x+y=〃上，

所以X的值可以為2,3,4,5,6.又從4,5中分別任取一個數(shù)，共有9種情況，

所以尸(X=2)=3,P(X=3)=,,P(X=4)P(X=5)=：,P(X=6)=［.對

于A,居=3尸2,故A不正確；對于B,P(3WXW5)=|+|+!=^,故B正確；

對于C,E(X)=2xi+3x|+4xi+5x1+6xi=^=4,故C正確；對于D,D(X)=

(2—4)2X^+(3—4)2><：+(4—4)2x1-+(5—4)2X-|+(6—4)2X^=-1,故D正確.

故選BCD.

7.若〃是一個三位正整數(shù)，且〃的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱

"為"三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所

有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位

遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整

除，得一1分；若能被10整除，得1分.若甲參加活動，則甲得分X的均值￡(X)=_

4

21-,

解析由題意知，“三位遞增數(shù)”總共有瑤=84(個)，隨機(jī)變量X的取值為0,-1,

I,因此，P(x=0)=4=1，P(^=-1)=3=之，p(X=1)=1一5一，益

LgDCg14,14□

所以X的分布列為

X0-11

2111

P

31442

則E(X)=OX|+(-1)X±+1X11=±

8.[2024惠州市一調(diào)]學(xué)校團(tuán)委和工會聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動比賽.經(jīng)多輪比賽

后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個項目，每個項目勝者得10分，負(fù)者得

—5分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲

勝的概率分別為0.4,0.5,0.75,各項目比賽結(jié)果相互獨立.甲、乙獲得冠軍的概率分別記

為Pl,P2.

(1)用X表示教師乙的總得分，求X的分布列與期望.

(2)如果Ipi—p2I》『幅了列+",那么認(rèn)為甲、乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否

則認(rèn)為沒有明顯差別.請根據(jù)上述要求判斷甲、乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別.

解析(1)根據(jù)題意知，X的所有可能取值為一15,0,15,30.

可得P(X=T5)=0.4X0.5X0.75=0.15,

P(X=0)=0.6X0.5X0.75+0.4X0.5X0.75+0.4X0.5X0.25=0.425,

P(X=15)=0.4X0.5X0.25+0.6X0.5X0.25+0.6X0.5X0.75=0.35,

P(X=30)=0.6X0.5X0.25=0.075.

的分布列為

X-1501530

P0.150.4250.350.075

：.E(X)=-15X0.15+0X0.425+15X0.35+30X0.075=5.25.

(2)設(shè)教師甲在三個項目中獲勝的事件依次為B,C,由題意知/,B,。相互獨立,

則教師甲獲得冠軍的概率

pi=P(ABC)+P(ABO+P(ABC)+P(.ABC)

=0.4X0.5X0.75+0.6X0.5X0.75+0.4X0.5X0.75+0.4X0.5X0.25

=0.15+0.225+0.15+0.05

=0.575.

由對立事件的概率公式，可得°2=1—pi=0425,

AJ211+O7^V(M6=O.4,Ip、一p2I=0.15.

PPl

,/IP「P2I<J''\1+0A,

甲、乙獲得冠軍的實力沒有明顯差別.

9.[2023重慶市三檢]在“五一”節(jié)日期間，某商場準(zhǔn)備舉行有獎促銷活動，顧客購買超過

一定金額的商品后均有一次抽獎機(jī)會,抽獎規(guī)則如下：將質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤平均分成n

（n￡N*,〃23）個扇區(qū)，每個扇區(qū)涂一種顏色，所有扇區(qū)的顏色各不相同，顧客抽獎時連

續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤三次，記錄每次轉(zhuǎn)盤停止時指針?biāo)干葏^(qū)內(nèi)的顏色（若指針指在分界線處，本

次轉(zhuǎn)動無效，需重轉(zhuǎn)一次），若三次顏色都一樣，則獲得一等獎；若其中兩次顏色一樣，

則獲得二等獎；若三次顏色均不一樣，則獲得三等獎.

(1)若一、二等獎的獲獎概率之和不大于右求〃的最小值；

(2)規(guī)定一等獎返還現(xiàn)金108元，二等獎返還現(xiàn)金60元，三等獎返還現(xiàn)金18元，在〃取

(1)中的最小值的情況下，求顧客在一次抽獎中獲獎金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析（1）設(shè)“獲得三等獎”為事件/,由題意得尸Q）

（）=組=（九―）（九一）

又PZ12

、n3n2，

'"T）廠2>出,整理得4層一27〃+18,0,

解得〃N6或〃（舍去）（注意〃￡N*）,

:.n的最小值為6.

（2）設(shè)顧客在一次抽獎中獲獎金額為隨機(jī)變量貝花的所有可能取值為108,60,18,

根據(jù)題意得

P（尸1。8）=11=?，尸（片60）=等=||=*

二。的分布列為

01086018

155

P

36129

???E=108X^+60X^+18X1=38.

II-能力像

10.[2024南昌市模擬]黨建知識競賽有兩關(guān)，某學(xué)校代表隊有四名隊員，這四名隊員通過

比賽的概率見下表：

隊員第一關(guān)第二關(guān)

32

甲

43

32

乙

43

21

丙

32

21

T

32

比賽規(guī)則是：從四名隊員中隨機(jī)選出兩名隊員分別參加比賽，每個隊員通過第一關(guān)可以得

60分，且有資格參加第二關(guān)比賽，若沒有通過，得0分且沒有資格參加第二關(guān)比賽，若

通過第二關(guān)可以再得40分，若沒有通過，不再加分.兩名參賽隊員所得總分為該代表隊的

得分，代表隊得分不低于160分，可以獲得“黨建優(yōu)秀代表隊”稱號.假設(shè)兩名參賽隊員的

結(jié)果互不影響.

(1)求這次比賽中，該校獲得“黨建優(yōu)秀代表隊”稱號的概率；

(2)若這次比賽中，選中了甲、乙兩名隊員參賽，記該代表隊的得分為X,求隨機(jī)變量X

的分布列、期望和方差.

解析(1)記“選甲、乙兩名隊員參賽”為事件4,

“選甲、乙其中一人，丙、丁其中一人參賽”為事件也，

“選丙、丁兩名隊員參賽”為事件外,

“獲得'黨建優(yōu)秀代表隊'稱號”為事件A

則尸⑴=!=?「(也)=警號，尸(出)=|=1

P⑻=P(A1B+A2B+A3B)=1x(|)2X[(|)2+2x|x|]+|x|x|x(|x|+|x|+

-X