平面向量基本定理及坐標表示-2025年高考數(shù)學備考復習

第六章平面向量、復數(shù)

第2講平面向量基本定理及坐標表示

課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測

1.理解平面向量基本定平面向量基本

該講命題熱點為平面

理及其意義.定理的應(yīng)用

向量的坐標運算、共

2.借助平面直角坐標2023新高考卷IT3；

線的坐標表示等，一

系，掌握平面向量的2022北京T10；2021

平面向量的坐般以選擇題、填空題

正交分解及坐標表示.全國卷甲T14；2021

標運算的形式出現(xiàn)，難度不

3.會用坐標表示平面向新高考卷mo；2019

大.預(yù)計2025年高考

量的加、減運算與數(shù)全國卷HT3

命題穩(wěn)定，備考時要

乘運算.

向量共線的坐關(guān)注坐標法在求解向

4.能用坐標表示平面向2021全國卷乙T13

標表示量問題中的應(yīng)用.

量共線、垂直的條件.

b學生用書P115

1.平面向量基本定理

（1）定理：如果ei,e?是同一平面內(nèi)的兩個①不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任

一向量用②有且只有一對實數(shù)力,七，使"=九01+勿02.

（2）基底：若ei,e2③不共線，我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個

基底.

注意（1）基底向量ei,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，零向量不能作為基

底向量；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐標表示

（1）把一個向量分解為兩個⑷互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）平面向量運算的坐標表示

坐標表示

已知〃=(xi,yi),b=(%2,J2),則^+力=⑤(xi+%2,.V1+.V2)，a~

和（差）

b=?(?—%2，——"2).

數(shù)乘已知〃=（xi，方），貝?。萜?（/Ixi，僅1）,其中2是實數(shù).

任一向量

已知/(xi,yO,B(12,芹)，則的二⑦(%2~~xi,、2-yi).

的坐標

說明(1)相等向量的坐標相同；(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的端點無

關(guān)，只與其相對位置有關(guān).

(3)平面向量共線的坐標表示

如果。=(xi，yi),b—>2),那么?！?的充要條件為⑧"”一工2了1=0.

注意a〃'的充要條件不能表示成包=左的形式，因為血，H有可能等于0.

X272

1.下列說法正確的是(B)

A.平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底

B設(shè)｛a,6｝是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)九，山，后,〃2滿足小。+〃山=%2。+〃26,則九=

%2，M1=M2

仁若。=(X1,H),b=(X2,>2)，則”〃b的充要條件可以表示成現(xiàn)="

X2V2

D.平面向量經(jīng)過平移后其坐標改變

解析對于A,共線向量不可以作為基底，故A錯誤；對于B,同一向量在給定基底下的

分解是唯一的，B正確；對于C,若b=(0,0),則衛(wèi)="無意義，故C錯誤；對于D,

X2V2

平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移，其坐標都不變，故D錯誤.

2.［教材改編］已知M(—2,7),N(10,-2)，點尸是線段VN上的點，且前=

-2PM,則點尸的坐標為(A)

A.(2,4)B.(-14,16)

C.(6,1)D.(2,-11)

解析設(shè)P(x,y),則城=(10-x,—2—y),~PM=(一2—x,7-y),又前=

Q一Y——2(—?—x)［％=2

-2PM,所以|“解得|一’所以點P的坐標為(2,4).故選A.

1―2—y=—2(7—y),(y=4,

3.已知ei,e2不共線，a=ei+2e2,A=2ei+腹2,要使｛a，6｝能作為平面內(nèi)所有向量的一個

基底，則實數(shù)力的取值范圍是(一一，4)U(4,+〈).

,-----------------------------；—；陋聞8明.方向----------------------------

B學生用書P116

命題點1平面向量基本定理的應(yīng)用

例1(1)［全國卷I］在△/BC中，為8c邊上的中線，￡為/D的中點，則麗=

(A)

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

解析解法一根據(jù)向量的運算法則可得，在跳1中，麗=瓦?+荏.因為E為4。的中

點，所以萬才=；瓦?，在△N3D中，萬彳=麗+而=礪一屈.因為。為8c的中點，所以礪

=：而,在△48C中，麗=前一前.逐步代入，可得方=說+版=［方+荏(DB-

AS)+ZB=-(-CB-AB)+AB^-CB+-AB^~(Zfi-Zc)+工四=。同一工前.故選A.

22424244

解法二由。為3c的中點，得而=：(卷+而)，由E為4D的中點，得荏=m而=

-(.AB+AC).在△/8￡中，EB=AB-AE=AB--(AB+AC)荏一工前.故選A.

4444

(2)如圖，在直角梯形/BCD中，DC=^AB,BE=2EC,且版=7編Dc

+sAD,則2r+3s=(C)/

A.lB.2

C.3D.44^——-----------------

解析根據(jù)題圖，由題意可得荏=存+鋸=荏+日正=近+|(BX+AD+PC)=［四+

|(.AD+DC)=|AB+|CAD+^AB}=g希+|而.因為荏=「法十$前，所以r=g,s=

I，所以2r+3s=1+2=3.故選C.

方法技巧

1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量，實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的

加、減或數(shù)乘運算.

2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一個基底，并運用該基底將相關(guān)向量

表示出來，再通過向量的運算來解決.

注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.

訓練1(1)［2024昆明市模擬］在平行四邊形中，點7為。的中點，貝U(A)

->1--->--->--->--->1--->

22

C.^f=-^+-^4DD肅=2萬+工而

3333

解析因為四邊形45s是平行四邊形，所以沆=與.因為丁為CQ的中點，所以正=

|PC,則方=而+/=前+［反=3荏+前，故選A.

(2)［2024廣東省模擬］已知△048中，OC=CA,OD=2DB,與8c相交于點M,OM

^xOA+yOB,則有序數(shù)對(x,y)=(D)

A.號B.(p

2332

C.J7)D.(-,9

2442

解析如圖，依題意/,M,。三點共線，故詢=丸而，所以麗=市

+AM^0A+AAD=0A+2.(0D-0A)=OA+A(-0B-0X)^—0B+,

I;/>

(l-A)OA,又C,M,8三點共線，故函=〃荏，則麗=沆+屈=...-；；<,

OC+luCB^OC+ju(,OB-OC)=(1一〃)OC+^uOB^^-OA+^iOB,所以12二'

''2(I〃十2z

(43=—,____________(x=—1,

解得《t所以血=工加+工瓦?，又麗所以《所以有序數(shù)對(X,

-4-

y)=G，.故選D.

命題點2平面向量的坐標運算

例2(1)［全國卷I］己知點/(0,1),B(3,2),向量標=(-4,-3),則向量麗=

(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析因為同=(3,2)-(0,1)=(3,1),所以由=前一荏=(-4,—3)-

(3,1)=(-7,-4).故選A.

(2)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，以a,b為

基底，貝I(C)

A.c=~2a+3bB.c=_3a+26

C.c=3a—2bD.c=2a—3b

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則a=(1,1),b=

(—2,3),c=(7,—3).iic=xa-\-yb,則|‘解得

(x+3y=-3,

(x—3,,

1故c=3a-2Z?.故選C.

\y=~2,

方法技巧

1.利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法貝I,根據(jù)“兩個向量相等

當且僅當它們的坐標對應(yīng)相等''這一原則，化歸為方程(組)進行求解.

2.向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解

答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.

訓練2(1)如圖，在直角梯形N8CD中，AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E為AD

的中點，若育=溫+面Q,〃GR),則1+〃的值為(B)

A-|B.1

C.2D.1

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則。(0,0).不妨設(shè)48=1,則

CD=AD=2,：.C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),：.CA^

(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),,：CA=ACE+fiDB,

y故%+〃=).

fl=l，5

(2)已知平面上的三個點/(一2,1),B(-1,3),C(3,4),若/,B,C,。四

點能構(gòu)成平行四邊形，則點D的坐標為(2,2)或(4,6)或(-6,0).

解析由四邊形A8CD為平行四邊形，得屈=虎，可解得。(2,2).

由四邊形/2DC為平行四邊形，得泡二而,可解得。(4,6).

由四邊形/D5C為平行四邊形，得前=而，可解得。(-6,0).

因此，使/,B,C,。四點構(gòu)成平行四邊形的點。的坐標為(2,2)或(4,6)或

(―6,0).

命題點3向量共線的坐標表示

例3(1)[2021全國卷乙]已知向量0=(2,5),b=(九4),若"〃6,貝!

解析因為a〃b,所以2x4—5%=0,解得；l=|.

(2)已知點。(0,0),A(0,5),B(4,3),OC^OA,OD=^OB,AD與BC交于

點、M,則點M的坐標為與，2).

解析由已知可得點C(0,§),點。(2,■!).因為N,M,。三點共線，所以前與前共

線，設(shè)M的坐標為(x,j),則前=(x,廠5),又而=(2,一，,所以一夕一2⑶

-5)=0,即7x+4y=20.因為C,M,3三點共線，所以而與而共線，又兩=(x,了一

-),CB=(4,-),所以4—4(j--)=0,即7x-16y=—20.由+—2°'得

4444-l7x-16y=-20,

_12

X----,1?

7所以點M的坐標為(釜，2).

、y=2,

方法技巧

平面向量共線問題的解題策略

(1)若a=(Xl,Jl),b=(X2,夕2),貝U"〃方".口y2—》29=0.

(2)若a〃分(6R0),貝I]a=Ab.

訓練3(1)[2023貴州省聯(lián)考]已知馬(3,2),尸2(9,11),P(5,>),陌一現(xiàn),

則y與4的值分別為(D)

131

A.y=8,2=2B.y=—,2=-

1511

C.尸？，4=5D.y=5,2=5

4ZZ

解析因為馬(3,2),P2(9,11),P(5,y),所以P/=(2,y-2),PP2=(4,

ll-y),由聲=4恒，得(2,y-2)=%(4,11-y)=(4九1U一如)，所以

產(chǎn)以，解得?尸"攵選D.

(y—2=11A—Ay,(y=5.

(2)設(shè)向量〃=(sin2仇cos0),b=(cos仇1),若?！ā?，則tane=_1_

2

解析-：a//b9Asin2<9=cos6>,

/.2sin6cos0=cos20.

■:嶼(0,]),

2sin6=cos0,tan0=~.

，2

門思維幫?提升思維快速解題

奔馳定理

例4［2023江蘇南京三模］如圖，。是△/2C內(nèi)一點，且U1+而+2沆=0,

則也竺￡=4..

S^AOCJ

解析解法一取的中點D,連接。。，則方=:（瓦1+通），又成+赤+2沆=

0,所以麗=一沆，即。為CD的中點.

又。為AB的中點，所以SAAOC=：SAADC=；S"BC,故等世=4.

解法二OA+OB+2OC=0,則由奔馳定理得用型="些=4.

S^AOC1

方法技巧

奔馳定理：P為△/BC內(nèi)一點，則5-PI+SB?而+Sc?無=0,其中必，SB,Sc分別是

△BPC,△CPN,△4P8的面積.

證明過程如下.

延長NP交邊8C于點0,如圖所示.'

用S表示△/8C的面積，則S=S+SB+SC,用⑶表示△APC的邊8C/'錄、\

上的高，用〃表示△4BC的邊3c上的高.W—jj—

則絲=包=盟￡"=當”=絲二"=］一絲=1一出=包盤所以左=包土也.而

人」412h^BC-hs'AQAQAQSS'S"

用〃2表示△0>/的邊/尸上的高，用角表示的邊/P上的高.

則*=*=能，所以而=Wr而+?^和則存=*卷+苓前，

BQ婦3cSB+ScSB+Sc33

即S-Q=SB?（而一對）+Sc-CPC-PA）,所以必?為+SB?麗+Sc,玩=0.

訓練4［2023江蘇蘇州市第六中學三模］已知。是△45C內(nèi)一點，滿足。Z+2OB+冽。。=

4

O且-

7則冽=(C)

A.2B.3C.4D.5

解析解法一由萬?+2而+加沃=0,得一￡沆=16?+|礪，令兩=一藍況，貝|麗=

-OA+-OB,所以4,B,/三點共線，所以四"=!綜=/-==解得加=4.

33'''9S&ABCIocIm+37’

解法二由奔馳定理得SABOC-瓦？+S/UOC?布+&/OB?反=0,又65+2而+加沆=0,所以

S^BOC:S^AOC:品/OB=1：2：加，所以嬰空=招==±解得機=4

S^ABCl+2+m7

1.［命題點1］如圖是由等邊三角形4?和等邊三角形KGC構(gòu)成的六角星，；

圖中的8,D,F,H,J,￡均為對應(yīng)線段的三等分點，兩個等邊三角形的

Yw

中心均為。.若a="2而+,何，貝哈=(B),,

A.-B.-

23

3

C.-D.1

4

解析因為等邊三角形4"和等邊三角形KGC的中心均為。，所以H,

O,2三點共線，J,O,。三點共線.如圖，連接HB,OD,則四邊形I立今2c

AJHB,80DC都是平行四邊形，且點。為的中點.市=司+耳=

-----------$----X.

ft

OJ+HB^OJ+1OB,又礪=反=9+瓦=列+沆，所以罰+2方=切

+2(,OC+OJ)=2方+3切，即瓦?=2瓦+33，又成=機沆+〃守，所以〃z=2,〃=3,

所tie.以一=一2.

n3

2.［命題點2/多選］已知向量ei=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=2iei+22e2,則使力也

<0成立的。可能是(AC)

A.(1,0)B.(0,1)C.(~1,0)D.(0,-1)

解析因為ei=(—1,2),e2=(2,1),所以向量。=為61+2202=(一九，2九)+

(2^2,入2)—(24一九，2九十心).當a=(1,0)時，241+入2=0,滿足題意；當a—

(0,1)時，2七一九=0,不滿足題意；當。=(-1,0)時，2為+心=0,滿足題意；當a

=(0,-1)時，2七一加=0,不滿足題意.

3.［命題點2］在矩形4BCD中，AB=3,AD=4,P是以點C為圓心，2為半徑的圓上的動

點.設(shè)與+〃而，則4+〃的最小值為(B)

7

B-

A.6

8

C2D-

3

解析如圖，以點4為原點，以45和4。所在直線分別為n軸

和丁軸，建立平面直角坐標系，則/(0,0),B(3,0),

D(0,4),圓C的方程為(x—3)2+(y—4)2=4.

因為點P在圓C上，所以可設(shè)點尸的坐標為(2cos6(+3,2sin0+

4),又萬=49+〃而，所以(2cos6+3,2sin6?+4)=2(3,

、?(2cose+3=32,?,

0)+〃(0,4)=(3九4〃x)，即｛所以;1+〃=

(2sin0+4=4〃，

|cos0+-1sin0+2=-sin(6+9)+2>-(其中tan9=：).故選B.

32663

4.［命題點3］已知向量。=(1,x),b=⑶，1),x>0,?>0.若則三的最大值為

(A)

A.|B.lC.V2D.2

解析a//b=>xy=l,所以又x>0,y>0,所以‘^=」一=」-^-^==工，當且僅當x

‘Xx+yx+yx+--2112

qx

=-,即x=l時取等號，所以‘匕的最大值為士

xx+y2

(------------------------------:練習幫!練透好題精準分層-----------------------------、

b學生用書?練習幫P317

■破城蕨，汩

1.［2024山東荷澤模擬］設(shè)｛ei,e2｝為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的

是(C)

Ae+c2和C1——C2B.4ci+2c2和2?2——4約

C.2g+e2和《i+12De—2氏和4。2+26

解析平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，選項C中，2d+?2=2(?1+;?2),

即2ei+e2和ei+*2為共線向量，所以它們不能作為基底，故選C.

2J2024河南商丘期末］已知點/(8,-1),B(1,一3),若點C(2加-1,機+2)與

A,3共線，則實數(shù)加=(C)

A.-12B.13C.-13D.12

解析因為點C與4,3共線，且屈=(-7,-2),AC=(2/72-9,m+3),故網(wǎng)”=

"，所以用=—13.故選C.

312023山東省實驗中學開學考試］已知向量0=(2,-3),b=(m,1),若Ia+26I

=Ia—2bI,則m=(A)

解析由a=(2,—3),b—(m,1),可得〃+26=(2+2機，-1),a—2b=(2—

2m,—5),又Ia~\~2bI=Ia—2bI,所以Ia~\~2bI2=Ia—2bI2,即(2+2加)2+1

=(2—2加)2+25,解得W=|,故選A.

4J2023河北石家莊質(zhì)檢］△N3C中，點M是3C的中點，點N為N8上一點，AM與CN交

于點。，且而=［宿，AN=XAB,則;1=(A)

2345

A.-B.-C.7D.-

3456

解析如圖，因為點”是2c的中點，所以而=(戒=2］(AB+ZC)

=|(AB+AC^.因為N,D,。三點共線，所以前=〃m+(1—〃),"/\

____，戶，

AN,又前=力屈，所以，(AB+ZC)=//Zc+(1一〃)AAB,由平面向

(2_(_2

解得《1故選A.

|=(1—〃)九A=f,

513

5.在平面直角坐標系xOy中，已知/(1,0),B(0,1),點。在第二象限內(nèi)，ZAOC=

"，MIOCI=2,若反=疝?+洶福，則九洶的值分別是(D)

6

A.V3,1B.l,V3C.-l,V3D.-V3,1

解析設(shè)C(x,了)，：點C在第二象限，且N/OC=￡,IOCI=2,；.x=I

OCI-cos—=-V3,y—IOCI-sin—=1,

66

：.C(-V3,1),：,0C=(-V3,1).

又：前=入市+4旗，(-V3,1)(1,0)+〃(0,1),

即(一百，1)=a,〃)，Vs,1M=i.

6.［多選］已知等邊三角形/8C內(nèi)接于。。，。為線段。區(qū)的中點，￡為8C的中點，則麗=

(AC)

A.-BA+-BCB.-BA--BC

3636

CJA+-AED.-BA+-AE

333

解析BD=BA+AD=BA+-AE=BA+-(.AB+BE)=BA--BA+-x-BC=-BA+-BC.it

3333236

選AC.

7.［多選］已知向量方?=(1,-3),05=(2,-1),而=(〃?，僅一2),若連接/瓦

BC,/C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)加的值可以是(ACD)

A.12B.3

C.1D.-1

解析由題知，AB=OB~OA=(2,-1)-(1,—3)=(1,2),AC=OC~OA=

(m,m—2)—(1,—3)=1,m+1).假設(shè)4,B,。三點共線，則lx(m+1)—

2(m-1)=0,即冽=3.所以若連接45,BC,4c能構(gòu)成三角形，則加丹.故選ACD.

8J2024河南信陽模擬］已知兩點/(3,—2)和3(-5,—1),點尸滿足9=之屈，則點

P的坐標為(T,一|).

解析解法一設(shè)點尸的坐標為(x,y),由9=弓荏，得(x—3,7+2)(-8,1).

(X-3=-4,(x=-1,&

所以11解得］3所以點尸的坐標為(-1,.

(y+2=|,2

解法二由而=1萬，得P為的中點，則由中點坐標公式得，點尸的坐標為(辭，

啜1),即(-1,.

9.在△NBC中，點M,N滿足前=2標，BN=NC.^'MN=xAB+yAC,則x=,,y=_

_1

■

解析由題意得而=防？+而=工前+：而=:左+：BC=^-AB--AC=XAB+

3232(Z-Z)26

yAC,所以x=；,尸T

10.如圖，在平行四邊形A8CD中，E,尸分別為邊48,3C的中點，連接CE,DF,交于點

G.若鋸=%而+必荏(/,蚱R),貝%=_}_.

解析由題圖可設(shè)無=X荏(x>0),則德=x(CB+BF)=x(CB+1CD)=1CD+

x而.因為前=痂+初,而與而不共線，所以;1=；,〃=x,所以;=(.

靛力緣"1

11.［2023陜西安康一模］已知。是△NBC內(nèi)一點，2瓦?+3礪+加反=0,若△NO8與△NBC

的面積的比值為點則實數(shù)加的值為(D)

A.--B.-C.--D.—

3333

解析解法一由2萬5+3赤=一加反得2瓦5+三而=—2而，設(shè)一？擊?

5555,l?.二

=礪，則麗,甌則/,B,。三點共線，如圖所示，:,反與

而反向共線，：.m>0,.?.瞿騫=q...也迺=鏢；=

J

I0CI5'ICDIm+5S^BCICDI

解得機=型.故選D.

m+573

解法二V207+305+mOC=0,上由奔馳定理(。為△/5C內(nèi)一點，貝US^oc?瓦5+

S^AOC0B+S^AOB,。C=0)

可知S^BOC:S^AOC:S?OB=2：3：加,S^AOB:S“BC=m:(2+3+加),——==,

2+3+m7

解得加=弓，故選D.

12.［與基本不等式交匯］在正方形48CD中，。為兩條對角線的交點，￡為邊8C上的動點.

若旗K前+〃前(2>0,〃>0),則升十的最小值為(C)

A.2