甘肅省蘭州市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)（理）第一次模擬考試試卷

2022-2023學(xué)年度高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用像

皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知全集〃=R,集合—{x|—3〈矛〈1},八』{x||x|Wl},則陰影部分表示的集合是（）

A.[—1,1]B.(—3,1]C.(—8,—3)U(—1,+°°)D.(—3,—1)

2.如果復(fù)數(shù)器是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)〃等于()

A.-1B.0C.0或1D.0或一1

3.設(shè)a,則“aWl或6W2”是“a+6W3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科.其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱(chēng)

為分形.分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過(guò)程.標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭

代生成無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu).也就是說(shuō)，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一

些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下

規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)〃=6時(shí)，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個(gè)數(shù)為（）

n—\77=2刀=3

A.81B.121C.364D.1093

5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

1—X

A.y=—x+lB.y=-

-LIX

1

c-尸rD.y=x\x\

6.如圖，在直角梯形46(力中，46=2/小2%,6為6c邊上一點(diǎn)，6C=3￡C"為熊的中點(diǎn)，則m=()

1-2f

A.

Jo

—x+2,

7.已知不等式組1jWAx—1，所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于1的三角形，則實(shí)數(shù)A的值為()

、介0,

11

-I---D

A.XB.22

8.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到

了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)?/p>

甲歌”就是其中一首：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒

多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問(wèn)題中，記這位公公的第〃個(gè)兒子的年齡為則4=()

A.23B.32C.35D.38

9.已知。＞0,函數(shù)F(x)=sin(ox+2)在(一■,上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

1

民-

A.(O,212

13-15-

-----

C.4-D.24

2?--

10.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的

甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有()

A.30種B.36種C.42種D.48種

3

11.已知雙曲線G：W=l(a〉0,垃0),圓Ci：x+f—2ax+-a—0,若雙曲線G的一條漸近線與圓C

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取值范圍是()

C.(1,2)D.(2,+8)

12.若函數(shù)f(x)=ae'—x—2a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.B,k

C.(—8,0)D.(0,+8)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若(x—l)4=ao+aix+a2x'：+a3x：i+a4x4,則ao+az+a的值為.

14.如圖的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框

圖，若輸入的a,6分別為176,320,則輸出的a為.

15.若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這

個(gè)橢圓的方程為.

16.在鈍角△/反:中，角43。所對(duì)的邊分別為a,b,c,夕為鈍角，若acos/=6sin4則sind+sin

C的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)△/a'的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若角4B,C成等差數(shù)列，且人=+.

(1)求的外接圓直徑；

(2)求a+c的取值范圍.

18.(12分)如圖所示，在四面體力及/中，ADLAB,平面/應(yīng)LL平面/及7,AB=BC=^AC,且"+a'=4.

(1)證明：6人平面/做；

(2)設(shè)￡為棱/C的中點(diǎn)，當(dāng)四面體力及方的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

19(12分)某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表1是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余

額)，

年份X20132014201520162017

儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810

表1

為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t=x~2012,z=y—5得到下表2：

時(shí)間代號(hào)t12345

Z01235

表2

(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；

(2)通過(guò)⑴中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；

(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？

n

-一〃％，y"__八__

(附：對(duì)于線性回歸方程y=6x+a,其中6=曰二——1~a=~~b^)

。2―2

2%-nx

1=11

20(12分)已知直線/：x—y+1=0與焦點(diǎn)為分的拋物線。：y=2口火(4>0)相切.

(1)求拋物線。的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)廠的直線力與拋物線。分別相交于/,夕兩點(diǎn)，求46兩點(diǎn)到直線/的距離之和的最小值.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+-/￡R.

xf

(1)當(dāng)〃=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求Ax)的極小值；

Y

(2)討論函數(shù)g(x)=f'(x)—§零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)

的題號(hào)方框涂黑。按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分。

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

「,1

x=m-v~

m

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為j]E為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

y=m—

Im

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為十Psi/?0—pcos°—小=0.

(1)求曲線。的普通方程和直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)尸(0,1),直線/與曲線。交于48兩點(diǎn)，求力十旖的值.

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

己知函數(shù)/'(x)=|2x+l|,g(x)=|x|+a.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，解不等式f(x)2g(x)；

(2)若存在xGR,使f(x)Wg(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案及解析

1已知全集〃=R,集合Q{4一3〈忒1},e{x||x|Wl},則陰影部分表示的集合是（)

D陰影部分表示（（血.由U=R,N=|x|Wl},可得{x|x〈一1或x>l}.又4{x\—3<A<1},

所以〃n（CM=U|-3<x-i}.

2.如果復(fù)數(shù)*7是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)必等于（）

1十㈤.

A.-1B.0C.0或1D.0或一1

/n+i(m+i)(l—/zzi)in+m~\~（1—i[勿+m=0,

D解得m=-1

9+血(l+777i)(l—/zzi)」，因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以（一百,

或0,故選D.]

3設(shè)a,6GR,則“aWl或6W2”是"a+6W3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B（等價(jià)轉(zhuǎn)化法）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷“a+6=3”是“a=l且6=2”的什么條件.由a+6=3*a=l且

6=2,反之，a=l且6=2na+6=3,因此“a+6=3"是"a=l且6=2”的必要不充分條件，從而“aWl

或6W2”是“a+3W3”的必要不充分條件，故選B.]

4.分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科.其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱(chēng)

為分形.分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過(guò)程.標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭

代生成無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu).也就是說(shuō)，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一

些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下

規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)〃=6時(shí)，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個(gè)數(shù)為（）

77=177=2刀=3

A.81B.121C.364D.1093

C[由題圖可知，每一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)等于前一個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)的3倍加1,

所以，72=1時(shí)，4=1；

刀=2時(shí)，52=3+1=4；

刀=3時(shí)，&=3X4+1=13；

〃=4時(shí)，a=3X13+1=40；

刀=5時(shí)，a5=3X40+1=121；

刀=6時(shí)，a=3X121+1=364,故選C.]

5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

i-x

A.y=-x~\-1B.y=T+；

1

C.y=D.y=x\x\

x

D[對(duì)于A,f(—x)=—(―x”+l=—V+l=f(x),函數(shù)/1(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，排除A.

對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)?一8,-l)u(-h+8),函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除B.

對(duì)于C,函數(shù)是奇函數(shù)，但在定義域(一8,0)U(0,+8)上不是增函數(shù)，排除C.

\x,xNO

對(duì)于D,f(—x)=—x|—x|=一x|x|=-f(x),函數(shù)為奇函數(shù)，又尸x|x|={2，則函數(shù)

〔一步,x<0

為增函數(shù)，故選D.]

6如圖，在直角梯形ABCD^,AB=2AD=2DC,E為8c邊上一點(diǎn)，詼=3擊廣為/￡的中點(diǎn)，則滋=()

DC

1—2f2f1-1—2—2f1一

A.-~AB~\-~AEC,一WZ3+/ZD.~AB—~AD

OUOO00UO

-*,1-*■1-?-?2-A-*--?-?

B根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得物三碑十萬(wàn)龍，BE^-BC,BC^AC-AB.

因?yàn)榻?前+而DC^^AB,所以赤一一^^訪法一時(shí)=一|法+；訪，故選B.]

—x+2,

所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于;的三角形，則實(shí)數(shù)A的值為()

7已知不等式組1，

11

1D

A.±B.-2-C.2-

—x+2,

B由題意知A>0,且不等式組(代取一1,所

、后0，

表示的平面區(qū)域如圖所示.

:直線y=kx-\與x軸的交點(diǎn)為0),

直線y=kx—\與直線y=-x+2的交點(diǎn)為

(32k-

lj+l，k+1/

1

???三角形的面積為呆(2一力X等(

4-

22

解得#=1或《=不，經(jīng)檢驗(yàn)，#=不不符合題意，

4=1.]

8.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)

起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九

兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)

長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問(wèn)題中，記這位公公的第〃個(gè)兒子的年齡為a,則&=()

A.23B.32C.35D.38

9X8

C[由題意可知年齡構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為一3,貝U9a+^y><(—3)=207,角星得包=35,

故選C.]

9已知口＞0,函數(shù)F(x)=sin(口才+卜(萬(wàn)，兀)上單調(diào)遞減，貝!J口的取值范圍是()

1

9民-

A.212

1315

C.

2f4D.2f4

(Jl\Jl(TlG)JIJI

D[⑴法一：(反子集法)mJ,ox+彳彳+1，JI

??"(x)在七，上單調(diào)遞減,

JIJIJI

萬(wàn)萬(wàn)+20,kRZ,

：A

JI3兀

兀co+—^—z-+2k,kGZ,

、4,

r1

g三4A+2,k^Z,

解得<[

5

A6Z.

又G>0,kRZ,

15

.'.k=0,此時(shí)/WgW1,故選D.

,,JIJI3兀24兀JI2k5兀

法二：（子集法）由24兀+丁式cox+—^2kn+飛-,得一kRZ,

/,4乙343343

因?yàn)閒（x）=sin［°x+1］住仔，m）上單調(diào)遞減，

〃2?兀JIJIr1

3+4GW2'

所以《解得《因?yàn)樽蟆闦,3>0,所以4=0,

2kw5Ji5

丁+A口,gW2A+].

一15-

15---

所以口W不，即3的取值范圍為4.故選D.

?

一2_

10.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的

甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有（）

A.30種B.36種C.42種D.48種

C［若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有以種選法，9日、10日有C黑舞中

安排方法，共有C；Cg=24（種）安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C；Cg種安排方法，共有12種安排方法；

若甲、乙都在10日值班，則共有C七=6（種）安排方法.

所以總共有24+12+6=42（種）安排方法.］

VB3.

11已知雙曲線G：1一/=l（a〉0,6〉0）,圓G：Y+y—2ajr+-a2=0,若雙曲線G的一條漸近線與圓G有

兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取值范圍是（）

JQ

卜［由雙曲線方程可得其漸近線方程為尸土/，即打±”=。，圓G：/+“2/+/=°可化為（x

11

22

2-

+y4-H圓心G的坐標(biāo)為(a,0),半徑r2-a由雙曲線G的一條漸近線與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

得即。>2力，即c>4b2,又知t)^c~a,所以d>4(d——)，即d號(hào)2,所以e=(〈2^,又知

e〉l,所以雙曲線G的離心率的取值范圍為[1,坐.]

12若函數(shù)f(x)=ae'—x—2a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.—?B.(O,§

C.(—8,0)D.(0,+8)

D函數(shù)/*(x)=we"—x—2乃的導(dǎo)函數(shù)/*'(x)=aex—1,

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)〈0恒成立，函數(shù)f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)=0,得x=ln(,函數(shù)在(一8,In今內(nèi)單調(diào)遞減，在(in+,內(nèi)單調(diào)遞增，

所以F(x)的最小值為

f(in-)=1—In，—2a=l+lna—2a

7a)a

令g(a)=l+lna—2H(司>0),則g'(a)----2,

a

當(dāng)ae(0,力時(shí)，g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)@心十8)時(shí)，鼠動(dòng)單調(diào)遞減，

所以g(a)皿==—ln2<0,

所以f(x)的最小值f(in^<0,

當(dāng)x——8時(shí)，/?(王)一+8,當(dāng)王一+8時(shí)，/(^)-*4-oo,函數(shù)F(x)=ae"—x—2a有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+8).

13.若(*-1)4=%+81*+皿￥2+8才3+2才4,則a+a+a的值為.

8[令x=l,則為+&+。2+&+&=0;令x=-1,則為一功+/一&+&=16,兩式相加得法+均+

a=8.]

14.如圖的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框

圖，若輸入的&6分別為176,320,則輸出的a為.

A.16B.18C.20D.15

16[由a=176,6=320,a老b,且不滿足a>6,

則6=320776=144,

由a>6,則a=176—144=32,

由水用則6=144—32=112,

由a〈b,則6=112—32=80,

由a〈b,貝ij6=80—32=48,

由a〈b,則6=48—32=16,

由a>6,則a=32—16=16,

由a—b,退出循環(huán)，輸出a=16.

故選A.]

15若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這

個(gè)橢圓的方程為.

2222

a+*=1法一：(直接法)：橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),.?.設(shè)橢圓方程為七十親=

r22

y+萬(wàn)]

1(6>0),由<"+4F'消去X,

j=3x+7

得(10?+4)/-14(萬(wàn)+4)/一9〃+13而+196=0,

設(shè)直線尸3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為小為，%),Ba,㈤，

由題意知心當(dāng)=1,

..14彷+4)

??%+刃一10//+4—2'斛得b—8.

22

???所求橢圓方程X為不V+￡=1.

o1Z

V2X2

法二：(點(diǎn)差法)??,橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),???設(shè)橢圓的方程為帚+了=1(力0).

設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為人荀，％),BG,⑸，

M」為

?+4+71,①

則，22

茨?X2

1?+4+?1,②

①一②得

(%-0)(7+%):(X1一茲)(荀+吊)n

一幣—十P=3

口口乃一姓為+姓4+4

即---------L=一F-，

X\~X2x\~rx2b

又：弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,故橫坐標(biāo)為一2,

#=22二更=二代入上式得3x二：1=一沫,解得6，=8,故所求的橢圓方程為5+白=1」

Xi~X22X(—2)b812

16.在鈍角△/歐中，角A,3,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,8為鈍角，若“os/=6sin4則sinZ

+sin。的最大值為.

9

8-Vacos4=6sinA,由正弦定理可得，sinAcosA=sinBsinA,VsinZWO,.".cos4=sinB,

又6為鈍角，

*.B=A+—,sinZ+sinC=sinZ+sin(/+戌=sinJ+cos2J=sinA+1—2sin2J=—2^sin4一；

2

+1，

9

AsinZ+sin。的最大值為不.］

o

17.△/肉的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若角4B,。成等差數(shù)列，且仁拳

⑴求△46C的外接圓直徑；

(2)求a+c的取值范圍.

［解］⑴因?yàn)榻?B,C成等差數(shù)列，所以26=4+C,

JI

又因?yàn)閐+6+C=m,所以6=彳.

也

b2

根據(jù)正弦定理得，△板的外接圓直徑2"=-——-=1.

sinB.兀

sin-

o

,JI2兀，2兀

(2)由B=—,知可得0V4V=.

O0O

由⑴知△/歐的外接圓直徑為1,根據(jù)正弦定理得,

’2兀.

所以乃+c=sinZ+sinC=sinJ+sin~~A

sin4+"osA\—sinM+-I

2JIJi兀5兀

因?yàn)椤簇?所以不</+不<丁.

所以￡<sinG+總W1,

所以a+c的取值范圍是

18如圖所示，在四面體4閱9中，ADLAB,平面/胡，平面46GAB=BC=且肥+6c=4.

(1)證明：8入平面/初；

(2)設(shè)￡為棱/C的中點(diǎn)，當(dāng)四面體力及力的體積取得最大值時(shí)，求二面角3處￡的余弦值.

［解］⑴證明：因?yàn)锳9_L/6,平面/JSZLL平面/8G平面NMA平面4七平面力劭,

所以1平面/8C,

因?yàn)楸萾平面48C,所以4LL6C

因?yàn)?6=比三乎47,

所以初+初=",

所以/反L6C,

因?yàn)槊驛28=4所以6aL平面/的.

⑵設(shè)/小x(0<x<4),則AB=BC=4—x,

四面體4優(yōu)》的體積

2=f(x)=(xXg(4-x)2

=/-8a16幻(09<4).

f'(X)=*-16x+16)=/X-4)(3x-4),

4

當(dāng)OVxV1時(shí)，f'(x)>0,/=F(x)單調(diào)遞增；

4

當(dāng)可VxV4時(shí)，f'(x)V0,「=F(x)單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，四面體48切的體積取得最大值.

以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系層xyz,

則用0,0,0),io,|,0),J|,0,0

設(shè)平面閱9的法向量為〃=(x,y,z),

gx=O,

n?BC=O,

則＜_，即q

8?4

、n?BD=O,卬+L，

令z=-2,得A=(0,1,—2),

同理可得平面〃厲的一個(gè)法向量為〃=(1,—1,2),

為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t=x—2012,z=y—5得到下表2：

時(shí)間代號(hào)t12345

Z01235

表2

(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；

(2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程;

(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？

----2%y-nx-

(附：對(duì)于線性回歸方程y=6x+a,其中6=0二———a=y-bx)

。2―2

2%-nx

i=i1

______55

［解］(1)t=3,z=2.2,￡1加=45,X卷=55,

2=12=1

45-5X3X2.2

b=--------------------=12,

55-5X9

a=z~bt=2.2—3X1.2=-1.4,

所以z=l.2t~l.4.

(2)Wt=x~2012,z=p—5,代入z=1.2Z—1.4,

得y—5=1.2(x—2012)-1.4,即y=L2x—2410.8.

(3)因?yàn)閥=l.2X2022-2410.8=15.6,所以預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6千億元.

20已知直線/：x—y+l=0與焦點(diǎn)為尸的拋物線C：/=2內(nèi)(0>0)相切.

(1)求拋物線。的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)廠的直線力與拋物線。分別相交于48兩點(diǎn)，求48兩點(diǎn)到直線，的距離之和的最小值.

[解](1)；直線1：x—y+l=0與拋物線C：/=2px(p>0)相切，

[x—y+1=0,

聯(lián)立《2c消去x得產(chǎn)一20p+24=0,從而/=442—84=0,解得夕=2或A=0(舍).

Ly=2px,

J拋物線。的方程為y=4x.

(2)由于直線力的斜率不為0,

可設(shè)直線力的方程為方y(tǒng)=才一1,Z(xi,以)，B1X2,㈤.

[ty=x—1,

聯(lián)立《2消去x得/—4少一4=0,</>0,

LK=4X,

.??%+刃=41，即為+茲=4d+2,

???線段AB的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(212+1,21).

設(shè)點(diǎn)4到直線/的距離為加點(diǎn)方到直線/的距離為4，點(diǎn)〃到直線/的距離為必

則—+―=2d=2?'"+21二2嫡|"Z+11=2^^j2+1,

當(dāng)力=5寸，A,6兩點(diǎn)到直線，的距離之和最小，最小值為羋.

21設(shè)函數(shù)f{x)=ln/￡R.

x

(1)當(dāng)"=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；

Y

⑵討論函數(shù)g(x)=/(X)一鼻零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

O

［解］(1)由題意知，當(dāng)/=e時(shí)，_f(x)=lnx+-(x>0),則/(x)

x

???當(dāng)x￡(0,e)時(shí),f'(T)<0,_f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)(e,+8)時(shí)，f'(x)>0,_f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞增，

???當(dāng)x=e時(shí),f(￡)取得極小值f(e)=Ine+-=2,

e

???Hx)的極小值為2.

v1mv

⑵由題意知g(x)=f'(x)——-(^>0),

3xx3

令g(x)=o,得勿=—；￡+※0>0).

設(shè)0(x)=—1￡+x(x2o),

則O'(x)=—/+1=—(xT)(x+1).

當(dāng)(0,1)時(shí)，O'(x)>0,O(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)(1,+8)時(shí)，0,(x)V0,O(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

???x=l是0(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，

因此x=l也是05)的最大值點(diǎn)，

2

???O(x)的最大值為0(1)=*

又?.?0(0)=0.

結(jié)合尸O(x)的圖象(如圖)，可知，

9

①當(dāng)〃>可時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn);

O

2

②當(dāng)0=5時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);

2

③當(dāng)0<卬<石時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

O

④當(dāng)勿W