2.3一元二次不等式課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3一元二次不等式湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程,理解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函數(shù)的圖象,理解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我們把只含有

未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的不等式,稱為一元二次不等式.

(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0); ②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0); ④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某個一元二次不等式成立的x的值叫作這個不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.解集用集合、區(qū)間表示一個2名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0或a<0兩種,注意a≠0.當(dāng)a<0時,我們通常將不等式兩邊同乘-1,化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式,但要注意不等號要改變方向,這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定為整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定義時,還需了解下列概念.(1)如果兩個不等式的解集相同,那么這兩個不等式稱為同解不等式;(2)將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式稱為不等式的同解變形.過關(guān)自診1.已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0.其中是一元二次不等式的個數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.42.從未知數(shù)的個數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點(diǎn)?提示

它們只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.A知識點(diǎn)二一元二次不等式的解法二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒有實(shí)數(shù)根y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

ax2+bx+c>0(a>0)的解集

(-∞,+∞)ax2+bx+c<0(a>0)的解集

(-∞,x1)∪(x2,+∞)(x1,x2)??過關(guān)自診1.不等式x2-2x-3<0的解集為

.

(-1,3)解析

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.因?yàn)閷?yīng)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為(-1,3).2.求關(guān)于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集,其中a是常數(shù).解

依題意知方程x2+(1-a)x-a=0的實(shí)數(shù)根為x1=-1,x2=a,且一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象是開口向上的拋物線.(1)當(dāng)a<-1時,如圖1,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(diǎn)(a,0)與(-1,0).所以原不等式的解集為(a,-1).(2)當(dāng)a=-1時,如圖2,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)(-1,0).所以原不等式的解集為?.圖1圖2(3)當(dāng)a>-1時,如圖3,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(diǎn)(-1,0)與(a,0).所以原不等式的解集為(-1,a).圖3綜上所述,當(dāng)a<-1時,原不等式的解集為(a,-1);當(dāng)a=-1時,原不等式的解集為?;當(dāng)a>-1時,原不等式的解集為(-1,a).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)x2-2x+2>0.解

不等式可化為3x2-6x+2<0.因?yàn)?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,解

因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.規(guī)律方法

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實(shí)根.(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;解

不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)(x-3)(x-7)<0;解

由題意知不等式對應(yīng)方程的兩個根是3和7,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

解

不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開口向上,所以不等式的解集是R.探究點(diǎn)二已知不等式的解集求參數(shù)值【例2】

已知函數(shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),求不等式cx2+2bx-a<0的解集.解

因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的兩個實(shí)數(shù)根,規(guī)律方法

1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當(dāng)a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2},當(dāng)a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練2關(guān)于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集為(-∞,-3)∪(1,+∞),求關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集.解

由題意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的兩根,∴x=1為方程ax-b=0的根,∴a=b,則不等式ax+b>0可化為x+1<0,即x<-1,∴不等式ax+b>0的解集為(-∞,-1).探究點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】

行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離s(單位:m)與汽車的車速v(單位:km/h)滿足下列關(guān)系:s=

(n為常數(shù),且n∈N).做了兩次剎車實(shí)驗(yàn),有關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示,其中(1)求n的值;(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?解得-84≤v≤60.因?yàn)関≥0,所以0≤v≤60,即行駛的最大速度為60

km/h.變式探究本例中,條件不變,若該型號的汽車在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場勘查,測得該車的剎車距離超過了25.65m,試問該車是否超速行駛?解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v≥90>80,因此該車超速行駛.規(guī)律方法

用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題.(3)解這個一元二次不等式,得到實(shí)際問題的解.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234561.不等式2x2-7x+3>0的解集為(

)D1234562.關(guān)于x的不等式x2-ax+1>0的解集是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-2,2)D.[-2,2]C解析

由已知可得不等式x2-ax+1>0在R上恒成立,則只需Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,2).故選C.1234563.(多選題)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a<0 B.c<0

C.a-b+c>0 D.a+b+c>0AD123456又a<0,所以b>0,c>0,故B錯誤;由題意可知a+b+c>0,a-b+c<0,故D正確,C錯誤.故選AD.1234564.[2024甘肅隴南高二?？计谀若不等式ax2+bx-2<0的解集為(-4,1),則a+b等于

.

2解析

∵不等式ax2+bx-2<0的解集為(-4,1),∴a>0且-4和1是方程ax