第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)周末試卷

賀蘭一中20232024學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)周末試卷（20）一、單選題1．已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再利用元素與集合之間的關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】，，故ABD正確；而與是兩個(gè)集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故C錯(cuò)誤.2．“微信”和“QQ”是騰訊社交體系中的兩款產(chǎn)品，小明為了解不同群體對(duì)這兩款產(chǎn)品的首選情況，統(tǒng)計(jì)了周圍老師和同學(xué)關(guān)于首選“微信”或“QQ”的比例，得到如圖等高條形圖．根據(jù)等高條形圖中的信息，可判斷下列說法正確的是（

）A．對(duì)老師而言，更傾向于首選“微信”B．對(duì)學(xué)生而言，更傾向于首選“QQ”C．首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多D．如果首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多，則小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)一定比學(xué)生多【答案】A【分析】先識(shí)圖再結(jié)合圖象進(jìn)行簡單的合情推理逐一檢驗(yàn)即可得解．【詳解】解：A對(duì)老師群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為：，故對(duì)老師而言，更傾向于首選“微信”，即A正確，B對(duì)學(xué)生群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為：，故對(duì)學(xué)生而言，更傾向于首選“微信”，即B錯(cuò)誤，C由于老師群體與學(xué)生群體人數(shù)不定，即首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)無法比較，即C錯(cuò)誤，D設(shè)老師群體人，學(xué)生群體人，則有，即，則小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)不一定比學(xué)生多，即D錯(cuò)誤，3．某班班委由3名男同學(xué)和2名女同學(xué)組成，從中選擇2名班委成員去參加交通值勤，則選出2名班委中至少有一名女同學(xué)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】所有選法有種，其中選出2名班委中沒有女同學(xué)有種，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，所有選法有種，其中選出2名班委中沒有女同學(xué)有種，所以選出2名班委中至少有一名女同學(xué)的概率為，4．新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池占了新能源整車成本的大頭，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高，下表是2021年我國江西某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y（萬元/）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則（

）A．0.28 B．0.29 C．0.30 D．0.31【答案】A【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，代入線性回歸方程，得.5．展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．100 D．220【答案】A【分析】先求得展開式的通項(xiàng)公式，分別求得展開式中常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)，化簡計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以，令，解得，所以，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.6．杭州亞運(yùn)會(huì)共設(shè)個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目，共設(shè)杭州賽區(qū)、寧波賽區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū)、現(xiàn)需從名管理者中選取人分別到溫州、金華、紹興、湖州四個(gè)賽區(qū)負(fù)責(zé)志愿者工作，要求四個(gè)賽區(qū)各有一名管理者，且人中甲、乙兩人不去溫州賽區(qū)，則不同的選擇方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】利用排列組合的知識(shí)分別求解甲、乙都沒有被選派、甲、乙有且僅有一人被選派和甲、乙均被選派三種情況下的方案數(shù)，加和即可求得結(jié)果.【詳解】若甲、乙都沒有被選派，則共有種方案；若甲、乙有且僅有一人被選派，則共有種方案；若甲、乙均被選派，則共有種方案；綜上所述：不同的選擇方案有種.7．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)極值點(diǎn)，求出參數(shù)，再據(jù)此求導(dǎo)，討論單調(diào)性，求得最大值.【詳解】因?yàn)椋士傻?，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，故可得，即，解得.此時(shí)令，解得，由可得或；由可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.則的極大值為.8．已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)思想化為在上恒成立，求出的取值范圍即可．【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，二、多選題9．下列說法中不正確的是（

）A．0與表示同一個(gè)集合；B．由1，2，3組成的集合可表示為或；C．方程的所有解組成的集合可表示為；D．集合可以用列舉法表示．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的定義和表示方法分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：0表示元素，不是集合，所以A錯(cuò)誤．根據(jù)集合元素的無序性可知，由1，2，3組成的集合可表示為，2，或，2，，B正確．根據(jù)集合元素的互異性可知，滿足方程的解為，，所以C錯(cuò)誤．滿足的元素有無限多個(gè)，所以無法用列舉法表示，所以D錯(cuò)誤．10．下列命題中，正確的有（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正常數(shù)后，方差變大B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．從裝有大小?形狀都相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋子中一次抽出2個(gè)球，取到白球的個(gè)數(shù)記為，則【答案】BC【分析】對(duì)于A，利用方差的性質(zhì)判斷，對(duì)于B，利用二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式判斷，對(duì)于C，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解，對(duì)于D，直接求解判斷【詳解】解：對(duì)A，根據(jù)方差的計(jì)算公式可知，將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變，所以A錯(cuò)，對(duì)B，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，所以，解得，所以B正確，對(duì)C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以C正確，對(duì)D，由題意可得。所以D錯(cuò)，11．以下四個(gè)命題中，真命題的有（

）A．在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；B．回歸模型中殘差是實(shí)際值與估計(jì)值的差，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度越高；C．對(duì)分類變量與的統(tǒng)計(jì)量來說，值越小，判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大．D．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則．【答案】AB【分析】根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義確定A；根據(jù)殘差的性質(zhì)確定B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)確定C；根據(jù)二項(xiàng)分布與均值的運(yùn)算確定D.【詳解】對(duì)A，由相關(guān)指數(shù)的定義知：越大，模型的擬合效果越好，A正確；對(duì)B，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，則殘差平方和越小，模型擬合精度越高，B正確；對(duì)C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知：值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，C錯(cuò)．對(duì)D，，，又，，解得：，D錯(cuò)．12．下列關(guān)于多項(xiàng)式的展開式的結(jié)論中，正確的是（）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為C．不存在項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【分析】賦值法判斷A、B；根據(jù)已知多項(xiàng)式，結(jié)合二項(xiàng)式定理判斷C、D的正誤.【詳解】令得，故A正確﹔取多項(xiàng)式，將代入多項(xiàng)式可得，故B錯(cuò)誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項(xiàng)，只需個(gè)因式中個(gè)取，剩下個(gè)取，故C錯(cuò)誤;個(gè)因式中個(gè)取，個(gè)取，剩下個(gè)取，得5個(gè)因式中個(gè)取個(gè)取，剩下個(gè)取，得，5個(gè)因式中均取，得.故常數(shù)項(xiàng)為，D正確.三、填空題13．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則.【答案】【分析】講切線方程變形，代入可得，而切線斜率即為，由此即可得解.【詳解】由題意函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以.14．若的展開式式中含的項(xiàng)為.【答案】【分析】利用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】的展開式中通項(xiàng)公式為，令時(shí)，展開式中含的項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).15．某校團(tuán)委組織了一場(chǎng)“承五四精神，譜青春華章”的學(xué)生書畫比賽，評(píng)出一?二?三等獎(jiǎng)作品若干，其中二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)作品數(shù)量相等，高二年級(jí)作品分別占.現(xiàn)從獲獎(jiǎng)作品中任取一件，記事件“取出一等獎(jiǎng)作品”，“取出獲獎(jiǎng)作品為高二年級(jí)”，若，則.【答案】【分析】設(shè)出一、二、三等獎(jiǎng)作品件數(shù)，由可得，進(jìn)而可求得，結(jié)合條件概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)作品分別有x，y，y件，所以，解得：，所以0.46，所以.16．若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上有極值轉(zhuǎn)化為在上有變號(hào)零點(diǎn)即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上有變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即在上有解，轉(zhuǎn)化為在上有解.因?yàn)?，所以，即，于是，?由此可得.實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題17．利用展開式（n∈N*）回答下列問題：（1）求（1+2x）10的展開式中x4的系數(shù)；（2）通過給a，b以適當(dāng)?shù)闹?，將下式化簡：；?）把（2）中化簡后的結(jié)果作為an，求的值．【答案】（1）3360．（2）．（3）．【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解；（2）根據(jù)展開式的特點(diǎn)，考慮令a＝1，b即可求解；（3）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?+2x）10的展開式中x4的系數(shù)為3360．（2）令a＝1，，得．（3）．18．已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）令，由，則，由，可得．又，所以.（2）由（1）可知，，令，解得或；令，解得，所以在和(1，2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．19．某公司為了提高利潤，從2014年至2020年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如表：年份2014201520162017201820192020投資金額(萬元)4.55.05.56.06.57.07.5年利潤增長(萬元)6.07.07.48.18.99.611.1（1）請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）如果2021年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬元，估計(jì)該公司在該年的年利潤增長為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）11.44萬元.【分析】(1)先求出的值，然后由最小二乘法公式求出，然后再求出，即可得出答案.（2）將2021年所對(duì)應(yīng)的值代入回歸方程即可【詳解】（1）由題意計(jì)算，得，又，所以，所以，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，（2）2021年所對(duì)應(yīng)的值為將代入方程，得，即該公司在該年的年利潤增長大約為11.44萬元.20．甲、乙兩所學(xué)校之間進(jìn)行排球比賽，采用五局三勝制（先贏3局的學(xué)校獲勝，比賽結(jié)束）.約定比賽規(guī)則如下：先進(jìn)行兩局男生排球比賽，后進(jìn)行女生排球比賽.按照以往比賽經(jīng)驗(yàn)，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，設(shè)各局比賽相互之間沒有影響且無平局.(1)求甲校以獲勝的概率；(2)記比賽結(jié)束時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）甲校以3：1獲勝的情況有：①前兩局男排比賽中甲全勝，第三局比賽中甲負(fù)，第四局比賽甲勝，②前兩局男排比賽中甲1勝1負(fù)，第三局比賽中甲勝，第四局比賽甲勝，由此能求出甲校以3：1獲勝的概率．（2）記比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，則ξ的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布．【詳解】（1）甲校以3：1獲勝的情況有：①前兩局男排比賽中甲全勝，第三局比賽甲負(fù)，第四局比賽甲勝，概率為：，②前兩局男排比賽中甲1勝1負(fù)，第三局比賽甲勝，第四局比賽甲勝，概率為：，甲校以3：1獲勝的概率為.（2）的可能取值為3，4，5，，，345P，的分布列為：數(shù)學(xué)期望.21．2023年11月10日，第六屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)圓滿落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本屆進(jìn)博會(huì)辦成了一屆高標(biāo)準(zhǔn)、高質(zhì)量、高水平的全球經(jīng)貿(mào)盛會(huì)，為世界經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇和全球發(fā)展繁榮做出積極貢獻(xiàn).本屆進(jìn)博會(huì)優(yōu)化了志愿者服務(wù)，為參展商提供了更加準(zhǔn)確、細(xì)致的服務(wù).為了解參展商對(duì)志愿者服務(wù)的滿意度，組委會(huì)組織了所有的參展商對(duì)志愿者服務(wù)進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），并從評(píng)分結(jié)果中隨機(jī)抽取100份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求出的值和參展商對(duì)志愿者服務(wù)評(píng)分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.(2)以頻率估計(jì)概率，樣本估計(jì)總體，從所有參展商的評(píng)分結(jié)果中隨機(jī)抽取3份，將記為評(píng)分不低于90分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）利用頻率分布直方圖中各組頻率之和為1求出的值，再利用平均數(shù)求解公式求解平均數(shù)即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求出對(duì)應(yīng)的概率，列表得分布列，然后利用期望公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以評(píng)分結(jié)果在的頻率為0.2，所以，所以參展商對(duì)志愿者服務(wù)評(píng)分的平均數(shù)為；（2）由題意，評(píng)分不低于90分的概率為0.3，故，01230.3430.4410.1890.027則，，，，所以的分布列為所以.（或者）22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在最小值；(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；(3)求證：.【答案】(1)1；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）可先求，從而判斷在上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求在最小值；（2）求，可得，若存在單調(diào)遞減區(qū)間，需有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為在上有解．通過對(duì)分，與當(dāng)三種情況討論解得的取值范圍；（3）（法一）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，即，再構(gòu)造函數(shù)，令有，從而，問