猜題06 圖形的相似（拔尖必刷30題8種題型專項訓(xùn)練）（含答案解析）

第6章圖形的相似（拔尖必刷30題8種題型專項訓(xùn)練）利用相似三角形性質(zhì)與判定求長度利用相似三角形性質(zhì)與判定求面積利用相似三角形性質(zhì)與判定求周長利用相似三角形性質(zhì)與判定求最值利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決新定義問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決規(guī)律探究問題一．利用相似三角形性質(zhì)與判定求長度（共4小題）1．如圖，在矩形ABCD中，E為邊AB上一點，將△ADE沿DE折疊，使點A的對應(yīng)點F恰好落在邊BC上，連接AF交DE于點G．若BF?AD=12，則AF的長度為（

）

A．6 B．12 C．6 D．2【答案】D【分析】連接BG，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BG=1【詳解】解：連接BG，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴AE=EF，AD=DF，∴DE垂直平分AF于點G，∵∠ABF=90°，∴BG=1∴∠GBA=∠GAB，∠BGF=2∠BAG=2∠ADE=∠FDG，∴△NBF～△DAF，∴BFAF=BG∴AF?BG=12，∴12∴AF=26故選：D．

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC邊上一點，且BD=AB．E是AB延長線上一點，連接ED交AC于F，若∠ADE=∠B，則EF的長度為．【答案】161015【分析】作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DM=1，CD=3，利用勾股定理求得AD，證得△ADE∽△DCA，求得DE，證得△ADF∽△ACD，求得DF，根據(jù)F=DE-DF即可求解．【詳解】解：作AM⊥BC于M，∵AB=AC=5，BC=8，∴BM=CM=4，∴AM=∵BD=AB=5，∴DM=5-4=1，∴AD=32∴∠B=∠C，∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C，∵BD=AB，∴∠BAD=∠BDA，∵∠BAD=∠ADE+∠E，∠BDA=∠C+∠DAC，∴∠E=∠DAC，∴△ADE∽△DCA，∴DE∴DE5∴DE=5∵∠ADE=∠C，∠DAF=∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴DF∴DF3∴DF=3∴EF=DE-DF=5故答案為：1610【點睛】題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，正確應(yīng)用性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．已知，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=120°，對角線BD平分∠ABC，BC=4，BD=6，則AD的長度是．

【答案】3【分析】過點D作DE⊥AB交AB于E，由四邊形內(nèi)角和可得∠A+∠C=120°，由對角線BD平分∠ABC，知∠ABD=∠CBD=60°，可得∠BDC+∠C=120°，可知∠A=∠BDC，進(jìn)而可證△ABD∽△DBC，利用其性質(zhì)求得AB=9，再利用∠ABD=60°求得BE，DE，AE=AB-BE，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=∠ADC=120°，∴由四邊形內(nèi)角和可知∠A+∠C=120°，∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=60°，則∠BDC+∠C=120°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DBC，則ABBD=BD∴AB=9，過點D作DE⊥AB交AB于E，

則BE=BD?cos60°=3，∴AE=AB-BE=6，∴AD=AE2+D【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，四邊形的內(nèi)角和，證明△ABD∽△DBC是解決問題的關(guān)鍵．4．在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作直線EF分別交DA、BC的延長線于點E、

(1)若EF=BD，判斷四邊形EBFD的形狀.并說明理由；(2)若EF⊥CD于H，CH:DH=2:3，直接寫出OH的長度．【答案】(1)矩形，理由見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AO=OC，AD∥BC，則∠EAO=∠FCO；根據(jù)全等三角形的判定，得△EAO≌△FCOASA（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，AC⊥BD，則∠COH+∠DOH=90°，根據(jù)EF⊥CD，得∠COH+∠OCH=90°，根據(jù)等量代換∠OCH=∠DOH，根據(jù)相似三角形的判定得△OCH∽△DOH；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OH2=CH?HD，求出CH=4【詳解】（1）四邊形EBFD是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=OC，AD∥∴∠EAO=∠FCO，∴在△EAO和△FCO中，∠EAO=∠FCOAO=OC∴△EAO≌△FCOASA∴OE=OF，∵OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF=BD，∴四邊形EBFD是矩形．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COH+∠DOH=90°，∵EF⊥CD，∴∠COH+∠OCH=90°，∴∠OCH=∠DOH，∴△OCH∽△DOH，∴CHOH∴OH∵CH:DH=2:3，CD=10，CH+DH=10，∴CH=4，DH=6，∴OH=CH×HD【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形得判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)．二．利用相似三角形性質(zhì)與判定求面積（共2小題）1．△ABC的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（

）

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【答案】D【分析】先證明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AC=45，得出S△ACFS△ACB=【詳解】解：∵BE=7，EF=4，F(xiàn)C=5，∴BC=7+4+5=16，∵∠B=∠FAC，∠C=∠C，∴△CAF∽△CBA，∴CACB∴CA∵CA>0，∴AC=45∴ACBC∴S△ACF同理可證△BDE∽△BCA，∵BD=AC，∴BDBC∴S△BDE∴四邊形ADEF與△ABC的面積比=16-5-5故選D．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF:CE=1:2，△BGF的面積為3，則菱形ABCD的面積＝．

【答案】72【分析】過點D作DH⊥AB于點H，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=AB=CD，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得HF=DE，DH=EF，推得HF=12CD=12AB，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得△CGE的面積為12，設(shè)BF=x，則CE=2x，推得AH=AF-HF=3x，求得相似三角形的相似比【詳解】解：過點D作DH⊥AB于點H，如圖，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD，AB∥CD，∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四邊形DHFE為平行四邊形，∴HF=DE，DH=EF，∵點E是邊CD的中點，∴DE=1∴HF=1∵AB∥CD，∴△BGF∽∵BF:CE=1:2，∴△CGE的面積為12，∵∠CEG=∠AHD=90°，∠C=∠A，∴△CEG∽設(shè)BF=x，則CE=2x，∴CD=4x，DE=HF=2x，∴AD=AB=4x，∴AF=AB+BF=5x，∴AH=AF-HF=3x，∴CE:AH=2:∴S△AHD在Rt△ADH∵DH∴DH=A∴12∴12∴7x∴菱形ABCD的面積=AB?DH=4x?7故答案為：72．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．利用相似三角形性質(zhì)與判定求周長（共3小題）1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AC上一點，過點D作DE⊥AC交AB于點E．動點P從D點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按D→E→B→C的路徑勻速運(yùn)動，設(shè)P點的運(yùn)動時間為t秒，△PCD的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖所示，則△ABC的周長為（

）

A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】先由當(dāng)t=6秒時，S有最大值8，當(dāng)t=10秒時，S=0，得出BC的值，進(jìn)而根據(jù)t=6時，S=8，得出CD的值，從而可進(jìn)一步求得DE和BE的值；然后證明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)可得AD和AE的值，從而【詳解】解：∵當(dāng)t=6秒時，S有最大值8，當(dāng)t=10秒時，S=0，∴BC=10-6=4，∵當(dāng)t=6時，S=8，∴12∴CD=4，∵12∴12∴DE=1，∴BE=6﹣∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴DE∥∴△ADE∽∴ADAC∴ADAD+4解得：AD=43，∴AC=43+4=∴△ABC的周長為16故選：D【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形的面積計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，連接BD，分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EF分別交線段A．212 B．11 C．2310 D【答案】A【分析】利用基本作圖可判斷EF垂直平分BD，再利用勾股定理計算出BD=5，則CH=BH=52，接著證明△BHG∽△BAD，利用相似比求出HG=158，【詳解】解：由作法得EF垂直平分BD，∴GH⊥BD，BH=DH，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠BCD=90°，BC=AD=3，在△ABD中，BD=A∵CH為Rt△BCD∴CH=BH=1∵∠BHG=∠A，∠HBG=∠ABD，∴△BHG∽△BAD，∴HGAD=BG∴HG=158，∴四邊形BCHG的周長=HG+BG+BC+CH=15故選：A．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)．3．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形△ABC的頂點A，B，C均落在格點上．

（1）△ABC的周長等于；（2）有以AB為直徑的半圓，圓心為O，請你在半圓內(nèi)找到一個點P，使得PA=AC，PB=PC．請用無刻度的直尺在如圖所示的網(wǎng)格中畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】4+42如圖，取格點D，連接OD，再取半圓與格線的交點E，連接AE，則AE與OD的交點即為所求的點P【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）取格點D，連接OD，再取半圓與格線的交點E，連接AE，則AE與OD的交點即為所求的點P．如圖，證明△AFE∽△POA，通過計算即可說明AP=22【詳解】（1）C△ABC故答案為：4+42（2）如圖，取格點D，連接OD，再取半圓與格線的交點E，連接AE，則AE與OD的交點即為所求的點P．

理由如下：如圖，連接OE，則OE=2,MO=1，∴ME=3，∴AF=∵FE∥AB，∴∠FEA=∠PAO，又∵∠AFM=∠AOP=135°，∴△AFE∽△POA，∴EFAE=AO∴AP=22

故答案為：取格點D，連接OD，再取半圓與格線的交點E，連接AE，則AE與OD的交點即為所求的點P．【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．四．利用相似三角形性質(zhì)與判定求最值（共7小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B6,0，A是y軸正半軸上的動點，以AB為一邊在AB的右側(cè)作面積為48的矩形ABCD，連接OC，則OC的最大值為

【答案】4+2【分析】作BM⊥OB交CD于點M，如圖，先證明△AOB～△MCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OB?BM=AB?BC，求出BM=8，取BM的中點N，連接ON,CN，根據(jù)OC≤ON+CN即可求出答案．【詳解】解：作BM⊥OB交CD于點M，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，且其面積為48，∴∠ABC=∠BCM=90°,AB?BC=48，∴∠OBM=∠BCM=90°,∠OBA=∠90°-∠ABM=∠CBM，∴△AOB～△MCB，∴OBBC∴OB?BM=AB?BC，∵OB=6,AB?BC=48，∴BM=8，

取BM的中點N，連接ON,CN，則CN=BN=1∴ON=6∵OC≤ON+CN=4+213（當(dāng)O、C、N∴OC的最大值是4+213故答案為：4+213【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，正確添加輔助線、證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=4，點D是邊AC上一動點，連接BD，以BD為斜邊作Rt△BDE，使∠BDE=30°，∠BED=90°，連接【答案】3【分析】過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于M根據(jù)題意得到△ACB∽△DEB，△ADB∽△CEB，進(jìn)而得到S△CDE【詳解】解：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于M，

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BCAB∵∠BDE=30°，∠BED=90°，∴△ACB∽△DEB，∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC=60°，∴BEBC=BD∴BEBD∴△ADB∽△CEB，∴CEAD=BC∴AD=2CE，∴∠ECM=60°，∴∠CEM=30°，∴CE=2CM，∴EM=C∴AD=2CE=4CM，∴CD=4-4CM∴S△CDE∴△CDE面積的最大值是32故答案為32【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．人教版九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習(xí)題：在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖1），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，

(1)求這個正方形零件的邊長；(2)如果把它加工成矩形零件如圖2，其余條件不變，矩形EGHF的面積S的最大值是多少？【答案】(1)48(2)2400【分析】（1）根據(jù)正方形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”．設(shè)正方形零件的邊長為xmm，設(shè)EF與AD相交于點K，則KD=EG=EF=xmm，（2）設(shè)EG=a，根據(jù)（1）可得KD=EG=a，根據(jù)△AEF∽△ABC，可得EFBC=AKAD，即可得【詳解】（1）∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，EF⊥EG，EF=EG，∴△AEF∽△ABC．∵AD⊥BC，∴AD⊥EF，即結(jié)合EF⊥EG，可得EGDK是矩形，∴KD=EG=EF，設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則KD=EG=EF=x即AK=(80-x)mm∵AD⊥BC，AD⊥EF，△AEF∽△ABC，∴EFBC∴x120解得x=48．答：這個正方形零件的邊長是48mm（2）設(shè)EG=a，根據(jù)（1）可得KD=EG=a，∵矩形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴EF120∴EF=120-3∴矩形面積S=EF×EG=120-當(dāng)a=40時，此時矩形面積最大，最大面積是2400mm即：矩形面積最大是2400mm【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是證明出△AEF∽△ABC．4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運(yùn)動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運(yùn)動，速度為2米/秒．運(yùn)動時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，∠AMN=∠ANM？(2)當(dāng)t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．(3)當(dāng)t為何值時，△ABC與△AMN相似?【答案】(1)當(dāng)t=4時，∠AMN=∠ANM(2)當(dāng)t=6時，△AMN的面積最大，最大面積為180(3)當(dāng)t=15637或t=7219時，【分析】（1）由勾股定理求出AB=BC2+AC2=52（2）設(shè)△AMN的面積為y，過點N作ND⊥AC，由△AND∽△ABC得到ANAB=NDBC，則（3）分△ANM∽△ABC和△AMN∽△ABC兩種情況，分別列式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，BC=5米，∴AB=B由題意可知，CM=t，要使∠AMN=∠ANM，則AM=AN，∴12-t=2t，

∴t=4，∴當(dāng)t=4時，∠AMN=∠ANM.（2）設(shè)△AMN的面積為y．過點N作ND⊥AC，

∴ND∥BC，

∴△AND∽△ABC，∴ANAB∴2t13∴ND=10t∴y=12×當(dāng)t=6時，△AMN的面積最大，最大面積為18013（3）當(dāng)∠ACB=∠AMN時，△ANM∽△ABC，則AMAC=∴12-t12解得t=156當(dāng)∠ACB=∠ANM時，△AMN∽△ABC，∴AMAB=∴12-t13解得t=72∴當(dāng)t=15637或t=7219時,【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式和最值等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點D為斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN．(1)當(dāng)點D為BC的中點時，線段MN與BC有何位置關(guān)系？并說明理由．(2)當(dāng)點D在什么情況下時，線段MN的長最??？這個最小值是多少？【答案】(1)MN∥BC，理由見解析(2)當(dāng)AD⊥BC時，線段MN的長最小，最小為45【分析】（1）先證明△ABC∽△MBD，得到BMAB=BDBC，再由線段中點的定義得到BD=12BC，則可得到點M為AB的中點，同理可證點N為AC（2）如圖所示，連接AD，證明四邊形AMDN是矩形，得到MN=AD．則當(dāng)AD⊥BC時，AD最小，即此時MN最小．利用勾股定理求出BC=25，再用等面積法求出AD的最小值為4【詳解】（1）解：MN∥BC，理由如下：∵DM⊥AB，∴DM∥AC，∴△ABC∽△MBD，∴BMAB∵點D為BC的中點，即BD=1∴BMAB∴點M為AB的中點，同理可證點N為AC的中點，∴MN為△ABC的中位線，∴MN∥BC；（2）解：當(dāng)AD⊥BC時，線段MN的長最小，理由如下：如圖所示，連接AD，∵DM⊥AB，∴∠AMD=∠AND=90°．又∵∠BAC=90°，∴四邊形AMDN是矩形．∴MN=AD．∵點D在BC上，∴當(dāng)AD⊥BC時，AD最小，即此時MN最?。摺螧AC=90°，∴BC=∵當(dāng)AD⊥BC時，△ABC的面積=1∴AD的最小值為AB?ACBC∴線段MN的最小值為45∴當(dāng)AD⊥BC時，線段MN的長最小，最小為45【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(一)感知：如圖1，EF是△ABC的中位線，BC=a，G、H分別是BE、CF的中點，則GH=__________；(用字母a表示)GH與EF+BC間有怎樣的相等關(guān)系：____________________．(二)探索：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，其中AB=a，CD=b，(1)E是AD的中點，EF∥CD交BC于點F，則EF=___________．(用字母a，b表示)(2)K在AD上，L在BC上，KL∥CD，且使四邊形ABLK∽四邊形KLCD，則KL=__________(用字母a，b表示)(3)M在AD上，N在BC上，MN∥CD，且MN平分四邊形ABCD的面積，求MN的長(用字母a，b表示)(三)猜想：KL、EF、MN間的大小關(guān)系：__________，(用a、b的表達(dá)式表示)并對EF與MN間的關(guān)系進(jìn)行證明；(四)應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點E、F分別在AC、BC上，EF平分△ABC的面積，求△CEF

【答案】(一)34a；GH=12EF+BC；(二)（1）12a+b；（2）ab；（3）a2+b【分析】(一)由三角形的中位線定理可得出結(jié)論；連接BF交GH于點M，分別在△BEF和△BCF，利用三角形中位線定理可得出結(jié)論；(二)（1）由(一)中的結(jié)論可直接解答；（2）利用相似圖得出線段比例關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）延長DA交CB的延長線于點P，過點P作PQ⊥CD于點Q，交AB于點G，交MN于點H，設(shè)PG=h1，PH=h2，PQ=h3；由平行可得出△PAB∽△PMN∽△PDC，得出比例式用h2表示h1(三)利用作差法可得出結(jié)論；(四)由△ECF的面積=△ACB的面積的一半可得出EC?CF的值，再根據(jù)三角形周長，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：(一)∵EF是△ABC的中位線，BC=a,∴EF=12BC，EF∥BC∵BC=a，∴EF=12a∵G、H分別是BE、CF的中點，∴EG：BG=FH：CH，∴GH∥BC，∴GH∥EF∥BC，如圖1，連接BF交GH于點M，則GM是△BEF的中位線，MH是△BCF的中位線，

∴GM=12EF=14a,MH=12BC=1∴GH=GM+MH=34a由上可得，GH=GM+MH=12EF+12整理得EF+BC=2GH；故答案為：34a；二（1）由(一)中的結(jié)論可得EF=1故答案為：12（2）∵四邊形ABLK∽四邊形KLCD，∴AB：KL=KL：CD，∴KL2=AB?CD=a?b∴故答案為：ab；（3）如圖2，延長DA交CB的延長線于點P，過點P作PQ⊥CD于點Q，交AB于點G，交MN于點H，

由題意可知，AB∥KL∴△PAB∽△PMN∽△PDC，∴AB：MN=PG：PH；PH：PQ=MN：CD，設(shè)PG=h1則a:MN=∴h1=ax∵M(jìn)N平分四邊形ABCD的面積，∴S四邊形ABNM=∴12∴12整理得x2=a(三)由上可知，MN∴MN2∴MN≥EF，∵EF∴EF≥KL，∴MN≥EF≥KL，即ab≤故答案為：ab≤(四)∵EF平分△ABC的面積，∴S△ECF=12S∵∠C=90°，∴EF∴EF≥2EC?CF∴△ECF的周長=EC+CF+FE≥2EC?CF+7．（1）如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90o，點C在OA上，點D在線段BO延長線上，連接AD，BC，則（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α0（3）如圖3，若AB=8，點C是線段AB外一動點，AC=33，連接BC，若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_____【答案】（1）AD=BC；（2）AD=BC仍然成立，證明見解析；（3）8+36【分析】（1）證明△BOC≌△AODSAS即可得到AD=BC（2）根據(jù)△AOB和△COD是等腰直角三角形得到OA=OB，OC=OD，證明△AOD≌△BOC即可得到AD=BC；（3）過點A作AE⊥AB，取AE=AB，連接BE、DE，證明△ABC∽△EBD，求出ED=36【詳解】解：（1）在△BOC和△AOD中，BO=AO∠BOC=∠AOD=90∴△BOC≌△AODSAS∴AD=BC；故答案為：AD=BC．（2）AD=BC仍然成立，證明如下：∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD，即∠AOD=∠BOC，∴△AOD≌△BOCSAS∴AD=BC．（3）過點A作AE⊥AB，使得AE=AB，連接BE、DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CB，∴△BAE，∴BEAB∵∠CBD=∠ABE=45°，∠CBE=∠CBE∴∠ABC=∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴EDAC∴ED=33∵AD≤AE+ED=8+36∴AD的最大值為8+36故答案為：8+36【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．五．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點問題（共2小題）1．已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=a，AC=b．E是AC上的動點，F(xiàn)為BC上的點，點E在運(yùn)動的過程中保持BE⊥EF．試寫出△EFC面積S與AE的長度x

【答案】S=ax【分析】過點C作CD⊥EF，交EF延長線于點D，先證△CDE∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE=ab-xa2+x2【詳解】過點C作CD⊥EF，交EF延長線于點D，

∵∠A=90°，CD⊥EF，∴∠A=∠CDE=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵BE⊥EF，∴∠AEB+∠DEC=90°∴∠ABE=∠DEC∴△CDE∽△EAB，∴ABDE=BECE=AECD∵∴CE=b-x，BE=a∴aDE∴DE=ab-xa∵∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴△DFC∽△EFB，∴BECD∴BEBE+CD=EFEF+FD=∴S=1【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，用含x的代數(shù)式表示出EF和CD是解本題的關(guān)鍵．2．如圖1，在△ABC中，∠B=36°，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動至點C停止．若點P的運(yùn)動速度為1cm/s，設(shè)點P的運(yùn)動時問為ts，AP的長度為ycm，y與t的函數(shù)圖象如圖2所示；根據(jù)圖像信息請你計算∠BAC的度數(shù)是度，當(dāng)AP恰好平分∠BAC時t

【答案】72°/70度25+2【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)；作∠BAC的平分線AP交BC于點P，先證AP=AC=BP，再證△APC∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)得出APBA=PCAC，求出BP=25【詳解】解：如圖，作∠BAC的平分線AP交BC于點P，由圖2知AB=BC=4，

∵∠B=36°，AB=BC，∴∠BAC=∠C=72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，∴AP=BP，∠APC=∠B+∠BAP=72°=∠C，∴AP=AC=BP，∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，∴△APC∽△BAC，∴APBA∴AP?AC=AB?PC，∴AP解得AP=25-2或∴BP=25∴t=2故答案為：72°，25【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定等，解題的關(guān)鍵是證明△APC∽△BAC．六．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決新定義問題（共4小題）1．定義：如圖①，若點D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B，則稱滿足這樣條件的點為△ABC的“理想點”

(1)如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=22，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”(2)如圖②，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求(3)如圖③，已知平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,2)，B(0,-3)，C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點D，使點A，B，C，D中的某一點是其余三點圍成的三角形的“理想點”．若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點D是△ABC的“理想點”，理由見解析(2)12(3)存在，點D的坐標(biāo)為(0,42)或(0,6)或(0,-6)【分析】（1）結(jié)論：點D是△ABC的“理想點”．只要證明△ACD∽△ABC即可解決問題；（2）只要證明CD⊥AB即可解決問題；（3）如圖③中，存在．有三種情形：過點A作MA⊥AC交CB的延長線于M，作MH⊥y軸于H．構(gòu)造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程求出點C坐標(biāo)，分三種情形求解即可解決問題；【詳解】（1）解：結(jié)論：點D是△ABC的“理想點”．理由：如圖①中，

∵D是AB中點，AB=4，∴AD=DB=2，∵AC2=∴AC∴ACAD∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴點D是△ABC的“理想點”，（2）解：如圖②中，

∵點D是△ABC的“理想點”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，當(dāng)∠ACD=∠B時，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，當(dāng)∠BCD=∠A時，同法證明：CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4∴BC=A∵12∴CD=12（3）解：如圖③中，存在．有三種情形：

過點A作MA⊥AC交CB的延長線于M，作MH⊥y軸于H．∵∠MAC=∠AOC=∠AHM=90°，∠ACM=45°，∴∠AMC=∠ACM=45°，∴AM=AC，∵∠MAH+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，∴∠MAH=∠ACO，∴△AHM≌△COA(AAS∴MH=OA，OC=AH，設(shè)C(a,0)，∵A(0,2)，B(0,-3)，∴OA=MH=2，OB=3．AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，∵M(jìn)H∥∴MHOC∴2a解得a=6或-1（舍棄），經(jīng)檢驗a=6是分式方程的解，∴C(6,0)，OC=6，①當(dāng)∠D1CA=∠ABC時，點A是△BCD1的“∵∠D1CA=∠ABC∴△D∴CD∴m解得m=42，∴D②當(dāng)∠BCA=∠CD2B時，點A是△BCD2根據(jù)①同理可得：∠CD∴OD∴D③當(dāng)∠BCA=∠AD3C時，點B是△ACD3根據(jù)①同理可得：∠CD∴OD∴D綜上所述，滿足條件的點D坐標(biāo)為(0,42)或(0,6)或(0,-6)．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．2．定義：如圖1，對于線段AB的內(nèi)分點C和外分點D，如果滿足ACCB=ADDB，那么稱A、B、C、D是“調(diào)和點列”．如圖2，在△ABC中，點D在AB上，點E在AB的延長線上，聯(lián)結(jié)CE，射線CD、CB與射線AM交于點

圖1

圖2【答案】12/【分析】根據(jù)調(diào)和點列可得AD?BD=6，進(jìn)而得出BD=1，證明△DAF∽△DEC,△BAG∽△BEC，得出AF,AG，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵A、B、∴AD∴AE?BD=6即2+3+BD解得：BD=1（負(fù)值舍去）∵AG∥∴△DAF∽△DEC,△BAG∽△BEC∴AF∴AF=∴AFAG故答案為：12【點睛】本題考查了幾何新定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．【答案】(1)中原三角形與原三角形的面積之比為1(2)見解析(3)△FEM與△ABC的面積之比為1【分析】（1）由F是AD的中點，可得S△DFC=12S（2）作CE的中點G，連接DG，由AD是△ABC的中線，可得DG是△BCE的中位線，CE=2EG，即得BE∥DG，即EF∥DG，根據(jù)AC=3AE，CE=2AE，可得AE=EG，即得（3）過D作DH∥CM交AB于H，由DH∥CM，D是BC中點，F(xiàn)是AD中點，可得AM=MH=BH，即知AEAC=13=AMAB，可得△AME∽△ABC，有∠AME=∠ABC，ME【詳解】（1）解：∵F是AD的中點，∴S△DFC∴S△DFC∴S△FBC∴中原三角形與原三角形的面積之比為1：（2）證明：作CE的中點G，連接DG，如圖：

∵AD是△ABC的中線，∴D是BC中點，∵G是CE中點，∴DG是△BCE的中位線，CE=2EG，∴BE∥DG，即∵AC=3AE，∴CE=2AE，∴AE=EG，又∵EF∥∴AF=DF，即F是AD中點，∴△FBC是中原三角形；（3）解：過D作DH∥CM交AB于

∵DH∥CM，D是∴BH=MH，∵DH∥MF，F(xiàn)是∴AM=MH，∴AM=MH=BH，∴AMAB∵AC=3AE，∴AEAC又∵∠MAE=∠BAC，∴△AME∽∴∠AME=∠ABC，MEBC∴ME∥∴△MEF∽∴S△FEM∴S△FBC=9S△FEM，由（∴9S∴S△FEM∴△FEM與△ABC的面積之比為1：【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．4．定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

理解：（1）如圖1，△ABC的三個頂點均在正方形網(wǎng)格中的格點上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”四邊形，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點D（保留畫圖痕跡，找出2個即可）；（2）①如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，對角線BD平分∠ABC．請問BD是四邊形ABCD的“相似對角線”嗎？請說明理由；②若BD=4，求AB?BC的值．運(yùn)用：（3）如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∠EFH=∠HFG=30°．連接EG，若△EFG的面積為123，求FH【答案】（1）詳見解析；（2）①BD是四邊形ABCD的“相似對角線”，理由見解析；②16；（3）4【分析】（1）根據(jù)“相似對角線”的定義，利用方格紙的特點可找到D點的位置；（2）①∠ABC=80°，BD平分∠ABC，則∠ABD=∠DBC=40°，由三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠ADB=140°，又由∠ADC=140°得到∠BDC+∠ADB=140°，則∠A=∠BDC，即可證明△ABD∽△DBC，結(jié)論成立；②△ABD∽△DBC，利用相似的性質(zhì)求解即可；（3）先判斷出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE?FG，再求出EQ=【詳解】解：（1）如圖1所示．如圖①中，D1

由題意可得AB=2∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，①當(dāng)∠ACD=90°時，∴ACAB∴55∴CD=10，①當(dāng)∠CAD=90°時，△ACD∽△BAC，∴ACAB∴55∴AD=10；（2）①如圖2，BD是四邊形ABCD的“相似對角線”，

理由如下：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°，∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；②∵△ABD∽△DBC，∴ABBD∴BD∵BD=4，∴AB?BC=16；（3）如圖3，

∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∴△EFH與△HFG相似．∵∠EFH=∠HFG=30°，∴△FEH∽△FHG，∠EFQ=∠EFH+∠HFG=60°，∴EFFH∴FH過點E作EQ⊥FG于點Q，則∠FQE=90°，∴∠FEQ=90°-∠EFQ=30°，∴FQ=1∴EQ=EF2-F∴12∴FG?FE=48，∴FH∴FH=43【點睛】本題是屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，正確判定相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．七．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題（共4小題）1．如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P,DM⊥AB于點M,AM=4，則下列結(jié)論：①Q(mào)E=5，②BQ=3，③BP=158，④△EFQ∽△EDB．正確的是（A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠QDF=∠CDF=∠QEF，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ=AM=4，再求出BQ即可判斷②正確；由△CDP∽△BQP得CPBP=CDBQ=53，求出BP即可判斷③【詳解】由折疊性質(zhì)可知:∠CDF=∠QDF,CD=DQ=5,∵CD∥∴∠CDF=∠QEF.∴∠QDF=∠QEF.∴DQ=EQ=5.故①正確;∵DQ=CD=AD=5,DM⊥AB,∴MQ=AM=4.∵M(jìn)B=AB-AM=5-4=1,∴BQ=MQ-MB=4-1=3.故②正確;∵CD∥AB,∴△CDP∽△BQP.∴CPBP=∴BP=38BC=∵CD∥∴△CDF∽△BEF.∴DF∴EF∵QE∴EF∴△EFQ與△EDB不相似.故④錯誤；故選:A．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．如圖，點O為正方形ABCD的中心，AD=1，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使BD=BF，連結(jié)DF交BE的延長線于點H，連結(jié)OH交DC于點G，連結(jié)HC則以下四個結(jié)論中：①OH∥BF；②OG:GH=2+1:1；③GH=2-12；④A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】①過點E作EP⊥BD于點P，求出EC=CF，證明△BCE≌△DCF，然后可得BH⊥DF，再根據(jù)等腰三角形三線合一與中位線定理可得出結(jié)論；②③由三角形中位線定理知，OG=BC=12，GH=CF=2-12，然后可得結(jié)論；④根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線可求出∠EBC=22.5°，進(jìn)而得到∠F=67.5°，再由H是DF中點，可得CH＝HF，求出∠CHF即可得出結(jié)論；⑤證明△HEC∽△HCB，則HC:HB=HE:HC【詳解】解：①∵BE平分∠DBC，BD=BF，∴DH=HF，∵OD=OB，∴OH是△DBF的中位線，∴OH∥BF，故②③∵點O為正方形ABCD的中心，AD=1，BD=BF，∴BD=BF=2由三角形中位線定理知，OG=12BC=∴OG:GH=1:2-1=④∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，∴∠EBC=22.5°，∵∠BHF=90°，∴∠F=90°-22.5°=67.5°，∵H是DF中點，∴CH=HF，∴∠CHF=180°-67.5°-67.5°=45°，∴∠CHF=2∠EBC，故④正確；⑤∵∠CHF=∠CDF+∠ECH=2∠EBC，∠EBC=∠CDF，∴∠ECH=∠CBH，∵∠CHE=CHB，∴△HEC∽△HCB，∴HC:HB=HE:HC，即CH2=HE·HB綜上可知，①②③④⑤正確，共5個正確，故選：D．【點睛】此題考查了等腰三角形三線合一定理、角平分線的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，利用正方形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義逐步解答是解題的關(guān)鍵．3．在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，在BC延長線上取點F使EF=ED，過點F作FG⊥ED交ED于點M，交AB于點G，交CD于點N，以下結(jié)論中：①CNCF=12；②NM=NC；③CMEGA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)已知確定CE:CD=1:2，再證明△DEC≌△FEM可得MF=CD=2,ME=CE=1,MF=CD=2，進(jìn)一步證明△MEF∽△CNF，判定①對，然后證明Rt△DMN≌Rt△FCN可得NM=CN得出②對，由三角形全等，勾股定理得③錯誤；在Rt△EFM中，EF=5，則BF=1+5，再證明Rt△GBF∽Rt△FCN【詳解】解：∵正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，∴BE=CE=1,CD=AB=2,∠DCE=90°，∴CE:CD=1:2，在△DEC和△FEM中，∠DEC=∠MEF∠DCE=∠FME=90°∴△DEC≌∴MF=CD=2,ME=CE=1,MF=CD=2，∵FG⊥ED,∠DCF=90°，∴∠EMF=∠DCF=90°，又∵∠F=∠F，∴△MEF∽∴CNCF=ME∵EF=ED，∴EF-CE=ED-EF，∴DM=FC，∵∠MND=FNC，∴Rt∴NM=CN，故②對；∵BE=EC,ME=EC，∴BE=ME，∵GE=GE，∴Rt∴∠BEG=∠MEG，∵M(jìn)E=EC,∠EMC=∠ECM，∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG，∴∠GEB=∠MCE，∴MC∥∴△CMF∽∴CM∵EF=DE=EC2∴CMEG=在Rt△EFM中，EF=∴BF=BE+EF=1+5∵CN∥∴Rt∴GFBF∴GF=12BF=∵BE=ME=1,GE=EG，∴Rt∴S四邊形GBEM故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)乃綜合題，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在CB的延長線上，連接AE，AF⊥AE交CD于點F，連接EF，點H是EF的中點，連接AH并延長交BC于點M，連接DH交AF于點G，則下列結(jié)論中：①BE=DF；②∠DHF=∠EAB；③AM=2AG；④若MB=3，DF=2，則S△AHG

【答案】①②③【分析】證明△ABE≌△ADF判斷①；利用∠ADF=∠AHF=90°可以得到A，H，D，F(xiàn)四點共圓，然后利用圓周角定理可以判斷②；根據(jù)△AEM∽△AHG可以得到AMAG=AEAH，即可判斷【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵AE⊥AF，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△AB