第一章 《特殊的平行四邊形》-解析版

一、命題二、平行四邊形的性質(zhì)三、菱形的性質(zhì)四、矩形的判定及性質(zhì)五、正方形的性質(zhì)一、命題1．（2020-2021成都雙流棠湖中學(xué)九年級(jí)（上）期中·4）（3分）下列命題是假命題的是A．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形 C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形【考點(diǎn)】矩形的判定；正方形的判定【專題】矩形菱形正方形；推理能力【分析】利用特殊平行四邊形的判定方法分別對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：、一組鄰邊相等的矩形是正方形，所以選項(xiàng)為真命題；、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以選項(xiàng)為假命題；、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以選項(xiàng)為真命題；、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，所以選項(xiàng)為真命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊平行四邊形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單，解答的關(guān)鍵是牢記特殊平行四邊形的判定方法．2．（2020-2021成都雙流中和中學(xué)九年級(jí)（上）期中·7）（3分）下列命題中，真命題是A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形 D．兩條對角線互相平分且相等的四邊形是正方形【考點(diǎn)】命題與定理【分析】根據(jù)矩形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和平行四邊形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對進(jìn)行判斷．【解答】解：、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對角線互相垂直的平行邊形是菱形，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；、順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，所以選項(xiàng)正確；、兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果那么”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．3．（2020-2021成都雙流中學(xué)九年級(jí)（上）期中·9）（3分）下列說法中不正確的是A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線垂直的平行四邊形是菱形 C．菱形的對角線互相垂直且相等 D．菱形的鄰邊相等【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形【分析】由菱形的判定與性質(zhì)即可得出、、正確，不正確．【解答】解：．四邊相等的四邊形是菱形；正確；．對角線垂直的平行四邊形是菱形；正確；．菱形的對角線互相垂直且平分，選項(xiàng)不正確；．菱形的鄰邊相等；正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)；熟記菱形的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2020-2021成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中·4）（3分）（2020秋?長寧區(qū)期末）下列命題中，說法正確的是A．四條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似 B．四個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似 C．兩邊對應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似 D．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似【考點(diǎn)】命題與定理；相似圖形；相似三角形的判定【專題】圖形的相似；推理能力【分析】根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答．【解答】解：、四個(gè)角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；、四個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；、兩邊對應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，原命題是假命題；、斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，是真命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形相似和相似多邊形，難度不大．5．（2021-2022成都七中育才九年級(jí)（上）期中·5）（3分）下列命題是真命題的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【分析】根據(jù)平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形也可能是等腰梯形等四邊形，故A不符合題意；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，若對角線再相等，則四邊形是矩形，故B符合題意；C、對角線互相垂直的四邊形不能判定是平行四邊形，也就不能判定是菱形，故C不符合題意；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，不能判斷它的內(nèi)角有直角，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形、特殊平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理．6．（2021-2022成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校西區(qū)九年級(jí)（上）期中·9）（3分）下列說法不正確的是（）A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 D．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、正方形、菱形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．【解答】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故原說法正確；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原說法正確；C、一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法錯(cuò)誤；D、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原說法正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形、矩形、正方形、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．7．（2021-2022成都大邑縣九年級(jí)（上）期中·9）（3分）下列命題正確的是（）A．平行四邊形的對角線互相垂直平分 B．矩形的對角線互相垂直平分 C．菱形的對角線互相平分且相等 D．正方形的對角線互相垂直平分且相等【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，矩形到現(xiàn)在，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：A、平行四邊形的對角線互相垂直平分，錯(cuò)誤，應(yīng)該是平行四邊形的對角線互相平分，本選項(xiàng)不符合題意．B、矩形的對角線互相垂直平分，錯(cuò)誤，應(yīng)該是矩形的對角線相等且互相平分，本選項(xiàng)不符合題意．C、菱形的對角線互相平分且相等，錯(cuò)誤，應(yīng)該是菱形的對角線互相平分且垂直，本選項(xiàng)不符合題意．D、正方形的對角線互相垂直平分且相等，正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．8．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學(xué)九年級(jí)（上）期中·10）（3分）下列判斷中正確的個(gè)數(shù)有（）①全等三角形是相似三角形②頂角相等的兩個(gè)等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤兩個(gè)位似三角形一定是相似三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用相似三角形的判定方法以及位似圖形的性質(zhì)分別判斷得出答案．【解答】解：①全等三角形是相似三角形，正確；②頂角相等的兩個(gè)等腰三角形相似，正確；③所有的等腰三角形不一定相似故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④所有的菱形都相似，錯(cuò)誤；⑤兩個(gè)位似三角形一定是相似三角形，正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定方法以及位似圖形的性質(zhì)、相似多邊形的判定方法，正確掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵．9．（2021-2022成都九年級(jí)（上）期中·2）（3分）下列說法正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形 C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等且垂直的四邊形是正方形【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形和菱形的判定即可得到答案．【解答】解：A、對角線互相垂直的四邊形無法判定是菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形，故此選項(xiàng)符合題意；C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不能判斷是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、對角線相等，互相平分且垂直的四邊形是正方形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形、平行四邊形和菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握它們的判定方法．10．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學(xué)九年級(jí)（上）期中·5）（3分）下列說法正確的是A．菱形都是相似圖形 B．各邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形 C．等邊三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似圖形【考點(diǎn)】：相似圖形【專題】1：常規(guī)題型；：圖形的相似【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：、菱形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定相等，所以不一定是相似圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．、各邊對應(yīng)成比例的多邊形對應(yīng)角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、等邊三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，所以是相似三角形，故本選項(xiàng)正確；、矩形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，所以不一定是相似圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵，要注意從邊與角兩個(gè)方面考慮解答．11．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學(xué)九年級(jí)（上）期中·6）（3分）正方形具有，而菱形不一定具有的性質(zhì)是A．四條邊都相等 B．對角線垂直且互相平分 C．對角線相等 D．對角線平分一組對角【考點(diǎn)】：菱形的性質(zhì)；：正方形的性質(zhì)【分析】舉出正方形具有而菱形不一定具有的所有性質(zhì)，即可得出答案．【解答】解：正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：①正方形的對角線相等，而菱形不一定對角線相等，②正方形的四個(gè)角是直角，而菱形的四個(gè)角不一定是直角，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對正方形、菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力．二、平行四邊形的性質(zhì)1．（2020-2021成都雙流中學(xué)九年級(jí)（上）期中·14）（4分）在平行四邊形中，連接，按以下步驟作圖，分別以、為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)、，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的周長為．【考點(diǎn)】：作圖基本作圖；：平行四邊形的性質(zhì)；：線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，再由作法可知直線是線段的垂直平分線，故可得出，即，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，由作法可知，直線是線段的垂直平分線，，，的周長．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都簡陽九年級(jí)（上）期中·13）（4分）如圖，將△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'，若△ABC的周長為8cm，則四邊形ABC'A'的周長為cm．【分析】據(jù)平移的性質(zhì)可得AA′＝CC′＝1，AC＝A′C′，然后根據(jù)四邊形的周長的定義列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴AA′＝CC′＝1（cm），AC＝A′C′，∴四邊形ABC′A′的周長＝AB+（BC+CC′）+C′A′+AA′＝AB+BC+AC+AC′+CC′，∵△ABC的周長＝8cm，∴AB+BC+AC＝8（cm），∴四邊形ABC′A′的周長＝8+1+1＝10（cm）．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，熟記性質(zhì)得到相等的線段是解題的關(guān)鍵．三、菱形的性質(zhì)1．（2020-2021成都雙流棠湖中學(xué)九年級(jí)（上）期中·12）（4分）已知菱形的周長為，一條對角線長為，則這個(gè)菱形的面積是．【考點(diǎn)】：菱形的性質(zhì)【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，先求另一條對角線的長度，再運(yùn)用菱形的面積等于對角線乘積的一半求解．【解答】解：如圖，在菱形中，．菱形的周長為20，，，，，．面積．故答案為24．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)及面積求法，難度不大．2．（2020-2021成都雙流中學(xué)九年級(jí)（上）期中·6）（3分）如圖，已知菱形的邊長為2，，則對角線的長為．A． B． C．2 D．1【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力【分析】連接與交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得，，，，，再證是等邊三角形，得，則，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，即可求解．【解答】解：如圖，連接與交于點(diǎn)，菱形的邊長為2，，，，，，是等邊三角形，，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，由含角的直角三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．3．（2020-2021成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中·6）（3分）已知菱形的周長為，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為A．2 B． C．3 D．4【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)【專題】推理能力；運(yùn)算能力；矩形菱形正方形；等腰三角形與直角三角形【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，，求出，則，再由勾股定理得，得，即，即可求解．【解答】解：四邊形是菱形，周長為，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，菱形的面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．4．（2021-2022成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校西區(qū)九年級(jí)（上）期中·10）（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE的長為（）A．4.8 B．5 C．9.6 D．10【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AO的長，可得AC＝8，由菱形的面積公式可求DE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×8×6＝24，∵DE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB?DE＝5DE，∴5DE＝24，∴DE＝＝4.8，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對角線相互垂直平分是解題的關(guān)鍵，注意等積法的應(yīng)用．5．（2021-2022成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校西區(qū)九年級(jí)（上）期中·14）（4分）如圖，在?ABCD中，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于F．分別以點(diǎn)F，B為圓心，大于BF長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線AG交BC于點(diǎn)E，若BF＝6，AB＝5，則AE的長為．【分析】設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．證明四邊形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．由作圖可知：AB＝AF，∠FAE＝∠BAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝AF，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝3，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝4，∴AE＝2OA＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．6．（2021-2022成都大邑縣九年級(jí)（上）期中·22）（4分）如圖，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，過D作DP⊥BC于點(diǎn)P，則DP的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)可得CO＝AO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求BC的長，由菱形的面積公式可求DP的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形∴CO＝AO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝BC×DP＝，∴DP＝故答案為【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出BC的長是解題關(guān)鍵．7．（2021-2022成都九年級(jí)（上）期中·14）（4分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則OH的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)可得BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，根據(jù)面積相等，可求出OH的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO?BO＝AB?OH，∴OH＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出AB邊上的高OH．第二周到此8．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級(jí)（上）期中·12）（4分）如圖，在菱形中，已知，，那么菱形的面積為．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)【專題】矩形菱形正方形；推理能力【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得的長，從而得到的長，再根據(jù)菱形的面積公式即可求得其面積．【解答】解：四邊形是菱形，，，在中，，則，故．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形對角線互相垂直且平分，及菱形的面積等于對角線乘積的一半．9．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學(xué)九年級(jí)（上）期中·14）（4分）如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)【專題】推理能力；矩形菱形正方形【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出，，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是解此題的關(guān)鍵．10．（2020-2021成都雙流中和中學(xué)九年級(jí)（上）期中·23）（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形，，，都是菱形，點(diǎn)，，，都在軸上，點(diǎn)，，，都在直線上，且，，則的坐標(biāo)是．【考點(diǎn)】：菱形的性質(zhì)；：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)【專題】：規(guī)律型；556：矩形菱形正方形；67：推理能力【分析】根據(jù)題意和圖形可以求得前幾個(gè)菱形的邊長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：直線，當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，同理可得，，，，，的橫坐標(biāo)是：，縱坐標(biāo)是：，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)已知點(diǎn)的變化規(guī)律求出菱形的邊長，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2020-2021成都雙流中學(xué)九年級(jí)（上）期中·22）（4分）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)是兩條對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，當(dāng)菱形的兩條對角線長分別為12和16時(shí)，則陰影部分面積為．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；中心對稱【專題】矩形菱形正方形；推理能力【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．【解答】解：菱形的兩條對角線的長分別為12和16，菱形的面積，是菱形兩條對角線的交點(diǎn)，陰影部分的面積．故答案是：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，中心對稱，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2021-2022成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校西區(qū)九年級(jí)（上）期中·19）（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點(diǎn)O．（1）證明：四邊形ADCE為菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．【分析】（1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝AD，即可得出四邊形ADCE為菱形；（2）過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，先證明△BCD是等邊三角形，得出∠BDC＝60°，CD＝BC＝8，再由平行線的性質(zhì)得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF中，由三角函數(shù)求出DF即可．【解答】（1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝DA，∴四邊形ADCE為菱形；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，如圖所示：DF即為菱形ADCE的高，∵∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝BD，∵∠B＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BDC＝60°，CD＝BC＝8，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝8，在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝8×＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)定義；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．四、矩形的判定及性質(zhì)1．（2021-2022成都大邑縣九年級(jí)（上）期中·13）（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠ACB＝30°，AB＝3，則BD的長為．【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，AC＝BD，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，∴BD＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都簡陽九年級(jí)（上）期中·8）（3分）依次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及三角形中位線定理即可推出新四邊形的形狀．【解答】解：菱形的對角線垂直，新四邊形的各邊都平行于菱形對角線，可得到新四邊形的各邊也互相垂直，所以新四邊形為矩形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用三角形中位線定理得到新四邊形各邊與相應(yīng)線段之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2021-2022成都簡陽九年級(jí)（上）期中·10）（3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為（）A． B． C． D．6【分析】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，∠BCE＝∠ACE，求出AC＝2BC，求出∠BAC＝30°，求出∠BCE＝30°，解直角三角形求出CE即可．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，∠BCE＝∠ACE，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分線，AC＝2BC＝2×3＝6，∴∠CAB＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠BCE＝∠ACE＝30°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠BAC＝30°是解此題的關(guān)鍵．4．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級(jí)（上）期中·10）（3分）如圖，是矩形的對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．若，，則四邊形的周長為A．16 B．20 C．29 D．34【考點(diǎn)】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力【分析】先由，得到，然后結(jié)合矩形的性質(zhì)得到，再結(jié)合點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)得到和的長，最后得到四邊形的周長．【解答】解：，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，，，是的中位線，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)．5．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學(xué)九年級(jí)（上）期中·9）（3分）如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，且．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則等于A． B． C． D．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【專題】推理能力；矩形菱形正方形；等腰三角形與直角三角形【分析】由矩形的性質(zhì)得，易求，則為等邊三角形，由，得出，推出，即可得出結(jié)果．【解答】解：四邊形是矩形，，，，為等邊三角形，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021-2022成都九年級(jí)（上）期中·23）（4分）已知任一平面封閉圖形，現(xiàn)在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每條邊都與該圖形有至少一個(gè)交點(diǎn)，且構(gòu)成該圖形的所有點(diǎn)都在矩形內(nèi)部或矩形邊上，那么就稱這個(gè)矩形為“該圖形的矩形”，且這個(gè)矩形的水平長成為該圖形的寬，鉛直高稱為該圖形的高．如圖，邊長為1的菱形的一條邊水平放置，已知“該菱形的矩形”的“高”是“寬”的，則該“菱形的矩形”的“寬”為．【分析】先根據(jù)要求畫圖，設(shè)AF＝x，則CF＝x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【解答】解：在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC，設(shè)AF＝x，則CF＝x，在Rt△CBF中，CB＝1，BF＝x﹣1，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2，，解得：x＝或0（舍），則該“菱形的矩形”的“寬”是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義、矩形和菱形的性質(zhì)、勾股定理，理解新定義中矩形的寬和高是關(guān)鍵．7．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學(xué)九年級(jí)（上）期中·17）（8分）已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝8，∠BCD＝120°，求四邊形AODE的面積．【分析】（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AC⊥BD，然后判斷出四邊形AODE是平行四邊形，即可推得四邊形AODE是矩形．（2）根據(jù)AB＝8，∠BCD＝120°，求出AO、BO的大小，即可求出四邊形AODE的面積是多少．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∴四邊形AODE是矩形．（2）解：∵∠BCD＝120°，四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠BAO＝120°÷2＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝4，∴BO＝＝＝4，∴DO＝BO＝4，∴四邊形AODE的面積＝4×4＝16．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．8．（2021-2022成都九年級(jí)（上）期中·19）（10分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，則∠BDF的度數(shù)是多少？【分析】（1）證四邊形ABCD是平行四邊形，得∠ABC＝∠ADC，再證∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）證∠FDC＝30°，則∠DCO＝60°，再由矩形的性質(zhì)得OC＝OD，則∠ODC＝∠DCO＝60°，即可求解．【解答】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四邊形ABCD是矩形，∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，∴∠FDC＝30°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝60°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、正方形的性質(zhì)1．（2021-2022成都簡陽九年級(jí)（上）期中·6）（3分）正方形ABCD的一條對角線長為2，則正方形ABCD的周長為（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得邊長，進(jìn)而可得正方形ABCD的周長．【解答】解：因?yàn)檎叫蜛BCD的一條對角線長為2，設(shè)正方形的邊長為a，根據(jù)勾股定理，得a2+a2＝22，解得a＝，所以正方形的邊長為，則正方形ABCD的周長為4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．2．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中·7）（3分）如圖，在正方形ABCD中，E點(diǎn)是對角線BD上的一點(diǎn)，AE的延長線交CD于點(diǎn)F，連接CE，若∠BAE＝56°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．30° B．79° C．22° D．81°【分析】利用正方形的性質(zhì)證明△ADE≌△CDE，得到∠DAE＝∠DCE，根據(jù)三角形外角定理即可解答．【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠DAF＝34°，∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的