基本不等式課件-高三數(shù)學一輪復習

必備知識·逐點夯實第二節(jié)基本不等式第二章一元二次函數(shù)、方程、不等式核心考點·分類突破

考向考法利用基本不等式求最值是高考的重點,通常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導數(shù)等內容相結合,題型以選擇題、填空題為主,中低檔難度.預測2025年備考仍以選擇題、解答題為主,重點關注利用基本不等式進行大小判斷、求最值和求取值范圍的問題.必備知識·逐點夯實

a>0,b>0a=b

×基礎診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號1423

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核心考點·分類突破考點一利用基本不等式求最值考情提示利用基本不等式求最值時應注意基本不等式成立的條件.高考時,一般不會直接應用基本不等式求最值,常常需要對題目進行“添加項”“換元”或“常數(shù)代換”后再利用基本不等式求最值.

解題技法利用基本不等式求最值的條件必須滿足的三個條件為“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各項必須為正數(shù).(2)“二定”:要求和的最小值,必須把構成和的兩項之積轉化成定值;要求積的最大值,則必須把構成積的因式的和轉化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值.

解題技法常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除,進而構造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.

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解題技法利用消元法、換元法求最值的方法(1)消元法,即根據條件建立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解.有時會出現(xiàn)多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.(2)換元法,求較復雜的式子的最值時,通常利用換元法將式子恰當變形,簡化式子,再利用基本不等式求解.

角度5由條件等式求a+b或ab的取值范圍或最值教考銜接教材情境·研習·典題類[9,+∞)

解題導思看問題雙變量求范圍問題提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]從結構特征上看,聯(lián)想到基本不等式法.利用a+b≥2與ab=a+b+3建立關于的不等式,求解ab的取值范圍.[思路②]從方程角度上分析,聯(lián)想到換元法.令ab=t(t>0),與ab=a+b+3聯(lián)立建立關于b(或a)的一元二次方程,根據方程有正根,建立關于t的不等式求解t的范圍,從而求出ab的取值范圍.

[溯源點評]從命題情境角度上,高考真題與教材題目“形似”,都考查了二元二次方程相關的知識.從解題方法上看“法同”,通過構造變形采用基本不等式法和換元法求解.體現(xiàn)了高考試題對于同一考點可以變換角度與變換題型進行考查.

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(-∞,-1)∪(25,+∞)解題技法利用基本不等式求解綜合問題的求解策略(1)當基本不等式與其他知識相結合時,往往是提供一個應用基本不等式的條件,然后利用常數(shù)代換法求最值.(2)求參數(shù)的值或取值范圍時,一般需要結合題目特征,分離參數(shù),利用基本不等式確定等號成立的條件,從而得到參數(shù)的值或取值范圍.

解題技法有關函數(shù)最值的實際問題的解題技巧(1)根據實際問題建立函數(shù)的解析式,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(3)解應用題時,一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(4)在應用基本不等式求函數(shù)最值時,若等號取不到,可利用函數(shù)的單調性求解.對點訓練某校生物興趣小組為開展課題研究,分得一塊面積為32m2的矩形空地,并計劃在該空地上設置三塊全等的矩形試驗區(qū)(如圖所示).要求試驗區(qū)四周各空0.5m,各試驗區(qū)之間也空0.5m.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為

m2.

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解題技法柯西不等式求解最值的策略關鍵是構建條件與結論之間的聯(lián)系,通過合理的恒等變形與配湊轉化,使之符合柯西不等式的結構,利用柯西不等式來轉化所求的代數(shù)關系式,聯(lián)系條件來確定對應的最值問題.

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解題技法柯西不等式證明不等式成立的策略(1)結合所要證明的不等式,引入一次線性關系式進行配湊,利用柯西不等式加以轉化,并利用不等式的性質與恒等變形來證明對應