高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第23練平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算(原卷版+解析)

第23練平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算一、課本變式練1.（人A必修二P36習(xí)題6.3T5變式）已知點，向量，則向量（

）A． B． C． D．2.（人A必修二P36習(xí)題6.3T10變式）與向量方向相同的單位向量為（

）A． B． C． D．3.（人A必修二P36習(xí)題6.3T9變式）已知平面向量，，若，則______．4.（人A必修二P36習(xí)題3.6T11變式）在平行四邊形ABCD中，，，（1）如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，試用分別表示.（2）如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用表示.二、考點分類練(一)向量的基底5．下列向量組中，能作為基底的是（

）A． B．C． D．6.設(shè)為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和(二)向量基本定理的應(yīng)用7．在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點，與交于，則（

）A． B． C． D．8.（2022屆江蘇省木瀆高級中學(xué)、蘇苑高級中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合適應(yīng)性檢測）如圖所示，的面積為，其中，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．9．在三角形ABC中，點D在邊BC上，若，，則______．(三)根據(jù)向量共線求點或向量坐標(biāo)10.（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三下學(xué)期模擬）已知向量，，，若滿足，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．11.已知為坐標(biāo)原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．12．（2022河南省南陽市高三下學(xué)期月考）已知，，若，，則點C的坐標(biāo)______．(四)由向量共線求參數(shù)13．（2022屆北京市密云區(qū)高三4月期中）已知，，，則的值為（

）A．2 B． C． D．14.已知＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(λ，－1)，，則λ等于（

）A．－2 B．－1 C．－ D．15．已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.三、最新模擬練16.（2022屆安徽省“皖南八?！备呷聦W(xué)期第三次聯(lián)考）已知向量．若，則實數(shù)（

）A． B．2 C． D．17.（2022屆重慶市第八中學(xué)校高考全真模擬）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，，與相交于O．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．518.（2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．19.（2022屆湖北省十堰市竹溪縣高三上學(xué)期月考）如圖，已知點是平行四邊形的邊的中點，點在線段上，且滿足，其中數(shù)列是首項為1的數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．20.（2022天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設(shè)且，則可推出___________.21.（2022江蘇省徐州市沛縣高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研）已知，，.(1)若，求D點的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實數(shù)k的值.四、高考真題練22.（2022高考全國卷乙）已知向量,則（）A.2 B.3 C.4 D.523．(2021年高考全國卷乙)已知向量，若，則__________．24．(2018高考全國卷Ⅲ)已知向量，，，若，則．25．(2016高考全國卷Ⅰ)設(shè)向量，，且，則．五、綜合提升練26．已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．27.（2022屆陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期訓(xùn)練）已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．28.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．29.（2022屆天津市西青區(qū)高三上學(xué)期期末）在等腰直角三角形中，，點在三角形內(nèi)，滿足，則______.30.如圖，在中，分別為上的點，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點（點不在邊界上），若，則實數(shù)的取值范圍為______第23練平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算一、課本變式練1.（人A必修二P36習(xí)題6.3T5變式）已知點，向量，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故選C.2.（人A必修二P36習(xí)題6.3T10變式）與向量方向相同的單位向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與同向的單位向量為，∵，故=.故選D.3.（人A必修二P36習(xí)題6.3T9變式）已知平面向量，，若，則______．【答案】6【解析】因為，，所以，又，所以，所以．4.（人A必修二P36習(xí)題3.6T11變式）在平行四邊形ABCD中，，，（1）如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，試用分別表示.（2）如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用表示.【解析】（1），；（2）.二、考點分類練(一)向量的基底5．下列向量組中，能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，因，則有，與不能作為基底；對于B，因，，則有與不共線，與可作基底；對于C，因，則有，與不能作為基底；對于D，因，則有，與不能作為基底.故選B6.設(shè)為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】由題意可知，是不共線的兩個向量，可以判斷選項，，都可以做基底，選項，，故選項不能做基底．故選．(二)向量基本定理的應(yīng)用7．在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點，與交于，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，連接與交于，則為的中點，因為為的中點，所以為三角形的重心，所以.故選B.8.（2022屆江蘇省木瀆高級中學(xué)、蘇苑高級中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合適應(yīng)性檢測）如圖所示，的面積為，其中，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因為AD為BC邊上的高，所以，因為M為AD的中點，所以，又因為，所以，所以.故選C.9．在三角形ABC中，點D在邊BC上，若，，則______．【答案】【解析】由已知，得，所以，因為，所以，，所以．(三)根據(jù)向量共線求點或向量坐標(biāo)10.（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三下學(xué)期模擬）已知向量，，，若滿足，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為向量，，，所以，又，，所以，解得，所以向量的坐標(biāo)為，故選D.11.已知為坐標(biāo)原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選C．12．（2022河南省南陽市高三下學(xué)期月考）已知，，若，，則點C的坐標(biāo)______．【答案】【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，因為，，所以，因為，，所以，，所以，所以點C的坐標(biāo)為(四)由向量共線求參數(shù)13．（2022屆北京市密云區(qū)高三4月期中）已知，，，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，解方程可得，故選A.14.已知＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(λ，－1)，，則λ等于（

）A．－2 B．－1 C．－ D．【答案】A【解析】∵＝(1，2)，＝(2，－2)，∴＝(4，2)，又＝(λ，－1)，，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故選A15．已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.【答案】【解析】因為與共線，可設(shè)，即，因為，不共線，所以，所以.三、最新模擬練16.（2022屆安徽省“皖南八校”高三下學(xué)期第三次聯(lián)考）已知向量．若，則實數(shù)（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由題，因為，所以.故選A．17.（2022屆重慶市第八中學(xué)校高考全真模擬）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，，與相交于O．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在平行四邊形中，E是的中點，，與相交于O．設(shè)，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長為4，故選C18.（2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．【答案】BC【解析】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；，所以，所以，B項正確；因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；正八邊形的每一個內(nèi)角為，，所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.故選BC19.（2022屆湖北省十堰市竹溪縣高三上學(xué)期月考）如圖，已知點是平行四邊形的邊的中點，點在線段上，且滿足，其中數(shù)列是首項為1的數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】為中點，，，又、、三點共線，，又，，化簡可得，，又，數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列.，，，.故選ABD20.（2022天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設(shè)且，則可推出___________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，因為和是等邊三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，過點D作DG⊥AB于點G，設(shè)AG=m，DG=n，則BG=2-m，由勾股定理得：，解得：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，垂直AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，由得：，即，解得：，則21.（2022江蘇省徐州市沛縣高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研）已知，，.(1)若，求D點的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實數(shù)k的值.【解析】(1)設(shè)，又因為，所以，因為，所以，得，所以.(2)由題意得，，，所以，，因為與平行，所以，解得.所以實數(shù)的值為.四、高考真題練22.（2022高考全國卷乙）已知向量,則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因為,所以,故選D.由題意得,所以1,故選C.23．(2021年高考全國卷乙)已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以由可得，，解得．24．(2018高考全國卷Ⅲ)已知向量，，，若，則．【答案】【解析】依題意可得，又，所以，解得．25．(2016高考全國卷Ⅰ)設(shè)向量，，且，則．【答案】【解析】由已知得：∴，解得．五、綜合提升練26．已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是內(nèi)一點，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時所以，即當(dāng)M與C重合時，最大，此時所以，即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即，故選B27.（2022屆陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期訓(xùn)練）已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選A28.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項C：，得，由奔馳定理：