高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用10種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用10種常見考法歸類考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）定義法（二）基底法（三）坐標(biāo)法（四）投影法（五）極化恒等式法考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積的最值問題考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)四平面向量的垂直問題考點(diǎn)五平面向量的模長(zhǎng)問題（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求參數(shù)考點(diǎn)六平面向量的夾角問題考點(diǎn)七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考點(diǎn)八平面向量與三角形“四心”考點(diǎn)九平面向量與其他知識(shí)的交匯考點(diǎn)十平面向量的應(yīng)用1.向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的定義①向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②向量的平行與垂直：當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.③向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)向量的投影①定義：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，則稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．(3)平面向量數(shù)量積的幾何意義的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個(gè)向量在單位向量上的投影的數(shù)量. ②a⊥b?a·b＝0.注：可用于解決與兩個(gè)非零向量垂直有關(guān)的問題.③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：當(dāng)兩個(gè)向量的相等時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夾角公式，實(shí)質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.⑤．注：可用于解決有關(guān)“向量不等式”的問題.(5)向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)(7)數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0?a＝0且b＝0.2.向量數(shù)量積的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且.（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有.當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但.（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng).（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且3.計(jì)算向量數(shù)量積的五種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用條件：已知向量的一個(gè)模，未知的向量在已知向量上做投影（5）極化恒等式平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①②兩式相加，有即，其幾何表示為：在平行四邊形中，，即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。兩式相減：即①-②得：，上式就是極化恒等式，轉(zhuǎn)化為平行四邊形模式如下：，表述了數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為可度量的平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度運(yùn)算。它的幾何意義是：向量的數(shù)量積可以表示為這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一倍。進(jìn)一步思考，可將數(shù)量積直接轉(zhuǎn)化為三角形的中線長(zhǎng)來運(yùn)算，可得極化恒等式的三角形模式。在中，為中點(diǎn)，則有極化恒等式——最顯著的特征是兩個(gè)向量必須能夠轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)的向量，它揭示了三角形的中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，搭起了向量與數(shù)量之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的完美結(jié)合．使用極化恒等式求數(shù)量積最值的方法總結(jié)：①把兩個(gè)向量轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)向量；②構(gòu)建三角形，取連接兩向量終點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為某個(gè)向量模的最值；③利用題目中的特殊條件找到動(dòng)點(diǎn)的最佳位置，進(jìn)而求最值.4.如何建立數(shù)量積問題與有效方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系？——“剪刀手”模型情況一：三個(gè)要素都缺失，一問三不知——轉(zhuǎn)基底總結(jié)：將兩個(gè)未知向量之間的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)確定模長(zhǎng)和夾角的基底之間的四則運(yùn)算情況二：知道一個(gè)向量，知道一個(gè)手指長(zhǎng)——轉(zhuǎn)投影總結(jié)：知道模長(zhǎng)的那個(gè)向量就是地平線，學(xué)會(huì)做投影。情況三：知道指尖連線長(zhǎng)——轉(zhuǎn)極化總結(jié)：三角形模型：已知中線長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)情況四：啥都不定可建系——轉(zhuǎn)坐標(biāo)總結(jié)：建系只是選取了軸作為基底向量，用坐標(biāo)運(yùn)算而已坐標(biāo)化通過計(jì)算可以彌補(bǔ)向量和幾何的缺失，但是運(yùn)算上損失的時(shí)間在在考試上也自然會(huì)體現(xiàn)出來。5.平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．6.平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關(guān)角度問題、線段長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．7.向量夾角問題的解答方法：（1）兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．（2）兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.（3）在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．（4）求向量的夾角有兩種方法：①定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)①向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線（同向）．②向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．8.平面幾何中的向量方法(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.(2)常用充要條件①G為△ABC重心的一個(gè)充要條件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O為△ABC外心的一個(gè)充要條件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P為△ABC垂心的一個(gè)充要條件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量與平面幾何綜合的有關(guān)結(jié)論(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))為非零向量，則給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等價(jià)于已知MA⊥MB；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等價(jià)于已知∠AMB是鈍角或兩向量反向共線；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等價(jià)于已知∠AMB是銳角或兩向量同向共線.(2)給出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等價(jià)于已知MP是∠AMB的角平分線.(3)在?ABCD中，給出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等價(jià)于已知?ABCD是菱形；給出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等價(jià)于已知?ABCD是矩形.10.向量與平面幾何的綜合問題往往要數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的知識(shí)解題.根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值(范圍)問題的一般方法：①基底法；②坐標(biāo)法.11.平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）定義法1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，，，則______．3．（2023春·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72（二）基底法4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則___________.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為6的正中，若點(diǎn)滿足，則__________.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，，，則（

）A．-1 B．-2 C．1 D．27．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B．－1 C． D．8．（2023·北京朝陽(yáng)·高三專題練習(xí)）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C．0 D．29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.（三）坐標(biāo)法10．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)?？既＃┮阎蛄?，則______．11．（2023春·廣東韶關(guān)·高三南雄中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿足，則（

）A．3 B． C． D．412．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點(diǎn)，則______；若為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.

14．【多選】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，若，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．15．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰梯形中，，，，，，.則（

）A．62 B．38 C． D．（四）投影法16．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知菱形中，，則__________.17．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知為圓O的一條弦，且，則（

）A．4 B． C．2 D．18．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中校考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，作于點(diǎn)H．若，則（

）A． B．10 C． D．1219．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）如圖，、是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中，，則（

）A．1 B．2 C． D．（五）極化恒等式法20．【多選】（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)位于圓外，則的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．1021．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).(1)若，求的面積；(2)若，求的值.22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(＋)的最小值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積的最值問題23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值是_____________．24．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．25．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．427．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量，，，滿足，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．828．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是__________.29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，．設(shè)，且（），則當(dāng)取最小值時(shí)，______．考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用30．（2023·云南·校聯(lián)考二模）在梯形中，，,，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對(duì)邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．32．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)O是銳角的外心，，，，若，則______．33．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知D為正三角形ABC中邊BC的中點(diǎn)，E在線段AC上且，若AD與BE交于M，若，則正三角形ABC的邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．18 D．2434．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，在方向上的投影為，P為線段上的一點(diǎn)，且.則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．考點(diǎn)四平面向量的垂直問題35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)平面向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件36．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，，滿足，若，則（

）A． B． C．2 D．37．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)單位向量，滿足與垂直，則（

）A． B．

C．

D．38．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知，若，則______.39．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，若，則___________.40．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或41．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________．42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則______考點(diǎn)五平面向量的模長(zhǎng)問題（一）求向量的模43．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，，則（

）A． B． C． D．744．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量，夾角為，且，，則（

）A．3 B． C．4 D．545．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，，則（

）A．2 B． C．1 D．46．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．347．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．48．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若，則______．49．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則（

）A． B． C． D．3350．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，M為線段BC的中點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．（二）求模的最值51．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．52．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．53．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．154．（2023秋·浙江寧波·高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（

）.A． B． C． D．（三）已知模求參數(shù)55．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知向量，，若，則________．56．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）非零向量滿足且與夾角為，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件57．（2023春·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知平面向量，滿足，，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，則（

）A． B． C． D．58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，且對(duì)于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六平面向量的夾角問題59．【多選】（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量的夾角為，則使為鈍角的一個(gè)充分條件是（

）A． B．C． D．60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件61．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．62．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．63．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．64．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知單位向量，滿足，若向量，則（

）．A． B． C． D．65．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，滿足，若，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．66．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與的夾角為______．67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與的夾角為，則______.69．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍_______71．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市第一中學(xué)?？级＃┮阎腔ハ啻怪钡膬蓚€(gè)單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的的值：_____________．72．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為___________.73．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）已知向量，，定義，則______．考點(diǎn)七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影74．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知向量，，則在方向上的投影是_______________.75．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，則向量在上的投影等于（）A． B． C． D．776．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影為（

）A．2 B．4 C．-2 D．-477．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面上有兩個(gè)非零向量和，則“在方向上投影大于0”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件78．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.（二）求向量的投影向量79．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．80．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．81．（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？既＃┤绻矫嫦蛄?，，則向量在上的投影向量為_____.82．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，且，則__________，在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.83．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)兩個(gè)單位向量，的夾角為，若在上的投影向量為，則（

）.A． B． C． D．84．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，.若在方向上投影向量模長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)為（

）A．-2 B．-1 C．±1 D．±2考點(diǎn)八平面向量與三角形“四心”85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心86．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心87．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心88．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心89．【多選】（2023春·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的外心90．【多選】（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心91．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是的外心，且，則______．考點(diǎn)九平面向量與其他知識(shí)的交匯92．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則________.93．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．面積的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為94．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，分別為的重心和內(nèi)心，則（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)十平面向量的應(yīng)用95．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，則（

）A．1 B． C．2 D．396．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（

）A． B． C．13 D．2697．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形98．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為_____．99．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上（與B、C不重合），延長(zhǎng)射線AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則DB的長(zhǎng)度為__．100．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.考點(diǎn)26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用10種常見考法歸類考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）定義法（二）基底法（三）坐標(biāo)法（四）投影法（五）極化恒等式法考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積的最值問題考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)四平面向量的垂直問題考點(diǎn)五平面向量的模長(zhǎng)問題（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求參數(shù)考點(diǎn)六平面向量的夾角問題考點(diǎn)七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考點(diǎn)八平面向量與三角形“四心”考點(diǎn)九平面向量與其他知識(shí)的交匯考點(diǎn)十平面向量的應(yīng)用1.向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的定義①向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②向量的平行與垂直：當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.③向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)向量的投影①定義：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，則稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．(3)平面向量數(shù)量積的幾何意義的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個(gè)向量在單位向量上的投影的數(shù)量. ②a⊥b?a·b＝0.注：可用于解決與兩個(gè)非零向量垂直有關(guān)的問題.③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：當(dāng)兩個(gè)向量的相等時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夾角公式，實(shí)質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.⑤．注：可用于解決有關(guān)“向量不等式”的問題.(5)向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)(7)數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0?a＝0且b＝0.2.向量數(shù)量積的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且.（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有.當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但.（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng).（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且3.計(jì)算向量數(shù)量積的五種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用條件：已知向量的一個(gè)模，未知的向量在已知向量上做投影（5）極化恒等式平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①②兩式相加，有即，其幾何表示為：在平行四邊形中，，即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。兩式相減：即①-②得：，上式就是極化恒等式，轉(zhuǎn)化為平行四邊形模式如下：，表述了數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為可度量的平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度運(yùn)算。它的幾何意義是：向量的數(shù)量積可以表示為這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一倍。進(jìn)一步思考，可將數(shù)量積直接轉(zhuǎn)化為三角形的中線長(zhǎng)來運(yùn)算，可得極化恒等式的三角形模式。在中，為中點(diǎn)，則有極化恒等式——最顯著的特征是兩個(gè)向量必須能夠轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)的向量，它揭示了三角形的中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，搭起了向量與數(shù)量之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的完美結(jié)合．使用極化恒等式求數(shù)量積最值的方法總結(jié)：①把兩個(gè)向量轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)向量；②構(gòu)建三角形，取連接兩向量終點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為某個(gè)向量模的最值；③利用題目中的特殊條件找到動(dòng)點(diǎn)的最佳位置，進(jìn)而求最值.4.如何建立數(shù)量積問題與有效方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系？——“剪刀手”模型情況一：三個(gè)要素都缺失，一問三不知——轉(zhuǎn)基底總結(jié)：將兩個(gè)未知向量之間的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)確定模長(zhǎng)和夾角的基底之間的四則運(yùn)算情況二：知道一個(gè)向量，知道一個(gè)手指長(zhǎng)——轉(zhuǎn)投影總結(jié)：知道模長(zhǎng)的那個(gè)向量就是地平線，學(xué)會(huì)做投影。情況三：知道指尖連線長(zhǎng)——轉(zhuǎn)極化總結(jié)：三角形模型：已知中線長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)情況四：啥都不定可建系——轉(zhuǎn)坐標(biāo)總結(jié)：建系只是選取了軸作為基底向量，用坐標(biāo)運(yùn)算而已坐標(biāo)化通過計(jì)算可以彌補(bǔ)向量和幾何的缺失，但是運(yùn)算上損失的時(shí)間在在考試上也自然會(huì)體現(xiàn)出來。5.平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．6.平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關(guān)角度問題、線段長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．7.向量夾角問題的解答方法：（1）兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．（2）兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.（3）在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．（4）求向量的夾角有兩種方法：①定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)①向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線（同向）．②向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．8.平面幾何中的向量方法(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.(2)常用充要條件①G為△ABC重心的一個(gè)充要條件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O為△ABC外心的一個(gè)充要條件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P為△ABC垂心的一個(gè)充要條件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量與平面幾何綜合的有關(guān)結(jié)論(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))為非零向量，則給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等價(jià)于已知MA⊥MB；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等價(jià)于已知∠AMB是鈍角或兩向量反向共線；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等價(jià)于已知∠AMB是銳角或兩向量同向共線.(2)給出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等價(jià)于已知MP是∠AMB的角平分線.(3)在?ABCD中，給出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等價(jià)于已知?ABCD是菱形；給出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等價(jià)于已知?ABCD是矩形.10.向量與平面幾何的綜合問題往往要數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的知識(shí)解題.根據(jù)數(shù)量積求模或參數(shù)的值(范圍)問題的一般方法：①基底法；②坐標(biāo)法.11.平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）定義法1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運(yùn)算律，結(jié)合菱形圖形特征，計(jì)算求解可得.【詳解】由條件可知，所以，在中，由余弦定理，可得，，菱形的對(duì)角線互相垂直，則向量與向量的夾角為，則.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，，，則______．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由及，夾角為可知，又，解得，則，故，故答案為：93．（2023春·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】運(yùn)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且與夾角的余弦值為，所以.故選：A.（二）基底法4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】利用向量的加法和減法法則，將，分別用，表示出來，然后代入結(jié)論計(jì)算即可.【詳解】在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，所以.故答案為：.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為6的正中，若點(diǎn)滿足，則__________.【答案】【分析】以、作為一組基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故答案為：6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，，，則（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】由，，用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以，，，故選：D7．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用平面向量基本定理用基底、表示、，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即：，∴，∴如圖所示，∴，∴.故選：C.8．（2023·北京朝陽(yáng)·高三專題練習(xí)）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由已知可得且，根據(jù)已知投影向量可得，進(jìn)而有，再由即可得求結(jié)果.【詳解】由，故為中點(diǎn)，又O是的外心，易知：，且，由在上的投影向量，即，所以，由圖，.故選：A9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【分析】利用向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，故答案為?3（三）坐標(biāo)法10．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)校考三模）已知向量，則______．【答案】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故答案為：?1．（2023春·廣東韶關(guān)·高三南雄中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿足，則（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意得，所以，，所以.故選：A.12．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐標(biāo)表示計(jì)算數(shù)量積即可.【詳解】如圖所示，由題意易得，故可得，所以，故選：B13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點(diǎn)，則______；若為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.

【答案】/5.25【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)?，，所以在和中，，，則，得，，因?yàn)樵谥?，，則，得，又，所以，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，則；設(shè)，，，則，因?yàn)?，所以時(shí)，的最小值為.故答案為：；.

14．【多選】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，若，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用平面向量加法、數(shù)量積、向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，∴，，，，，對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)，則，∴，，∴，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋耘c不垂直，故B項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)不成立.故選：AC.15．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰梯形中，，，，，，.則（

）A．62 B．38 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出，，過作，垂足為，過作，垂足為，求出、、、、，以為原點(diǎn)，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系：根據(jù)，求出和的坐標(biāo)，從而得和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】在等腰梯形中，，，，所以，，過作，垂足為，過作，垂足為，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，又，所以，以為原點(diǎn)，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，所?故選：A（四）投影法16．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知菱形中，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)與交于，則且是線段的中點(diǎn)，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：17．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知為圓O的一條弦，且，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】運(yùn)用數(shù)量積定義及幾何意義計(jì)算即可.【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接OE，則，如圖所示，因?yàn)?，所以，所?故選：D.18．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，作于點(diǎn)H．若，則（

）A． B．10 C． D．12【答案】D【分析】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，由已知可得，則，且即可求結(jié)果.【詳解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)?，所以．又于點(diǎn)H，且，所以，所以．故選：D19．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）如圖，、是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中，，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】連結(jié)、，則有，，根據(jù)求解即可.【詳解】解：連結(jié)、.則，.所以..因?yàn)?，所?故選：.（五）極化恒等式法20．【多選】（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)位于圓外，則的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．10【答案】ABC【分析】利用極化恒等式結(jié)合圖形求數(shù)量積最大值，再逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】如圖所示，取CE中點(diǎn)F，連接BF，則由題意可得：，由極化恒等式可得當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，，即，故C正確，且排除D項(xiàng)；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)三點(diǎn)共線且比較接近時(shí)，此時(shí)存在，故B正確；當(dāng)重合時(shí)，易得，此時(shí)，故A正確；故選：ABC21．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“模”的運(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).(1)若，求的面積；(2)若，求的值.【答案】(1)10(2)240【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求出，根據(jù)同角關(guān)系求出，代入三角形面積公式即可求解；（2）先利用極化恒等式得，由得，代入極化恒等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以，又，所以，所以；?）因?yàn)?，，由極化恒等式得，所以，又，所以，由極化恒等式得.22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(＋)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用極化恒等式求解即可.【詳解】取OC中點(diǎn)D，由極化恒等式得又，∴的最小值為．故選:C.考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積的最值問題23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值是_____________．【答案】【分析】由題意，均在圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓上，再根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】解：由題知，三點(diǎn)共圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，所以，，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可得在上的投影，所以，，即，故當(dāng)，時(shí)有最小值，此時(shí).當(dāng)時(shí)，時(shí)有最大值，所以，綜上，的取值范圍是，所以，的最小值是故答案為：24．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，其中，由平面向量數(shù)量積的定義可得，，因?yàn)闉榱庑蔚闹行模瑒t，所以，，因此，的最小值為.故選：C.25．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積的幾何意義，先求在上的投影的取值范圍，再乘以，則可得到的取值范圍.【詳解】如圖，延長(zhǎng)，過點(diǎn)做交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).因?yàn)?，?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)椋缘娜≈捣秶?故選：D26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，，所以,，設(shè)，則，因?yàn)?，所?,,當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運(yùn)算即可.27．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量，，，滿足，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】把三個(gè)向量平移到同起點(diǎn)，由向量運(yùn)算及得，從而，又由得點(diǎn)在以為圓心半徑為1的圓面上（包括邊界），利用數(shù)量積的幾何意義求得，再利用三角形相似求OD長(zhǎng)度即可求出最值.【詳解】設(shè)，，，，，則如圖所示，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，，所以，，由，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），過圓周上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，且與相切，延長(zhǎng)交于，則，此時(shí)∽，根據(jù)相似知識(shí)可得，所以，所以的最大值為，故選：D.28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】由向量的運(yùn)算得出，再由的范圍得出的取值范圍.【詳解】，且.即設(shè)與的夾角為，則.因?yàn)?，所?故答案為：29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，．設(shè)，且（），則當(dāng)取最小值時(shí)，______．【答案】7【分析】根據(jù)條件建立合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示計(jì)算數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求參數(shù)即可.【詳解】由已知得點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．設(shè)，則由知．以為原點(diǎn)，分別以CB，CA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以直線BD的方程為．易知點(diǎn)在直線BD上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則，，，所以，所以．故當(dāng)時(shí)，取得最小值．此時(shí)，則，．由，得．故答案為：7考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用30．（2023·云南·校聯(lián)考二模）在梯形中，，,，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算在AB上的射影為AB中點(diǎn)可得.【詳解】如圖，為的中點(diǎn)，連接，，，，，所以在上的投影為，所以,又因，,所以四邊形為矩形.故，即.故選：C．31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對(duì)邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用余弦定理得，再利用向量數(shù)量積公式求得，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】由余弦定理得，因?yàn)椋?，又，所以，則，則，故選：C.32．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)O是銳角的外心，，，，若，則______．【答案】【分析】先應(yīng)用外心是垂直平分線的交點(diǎn),再應(yīng)用數(shù)量積的幾何意義求得和列出方程組求解即可.【詳解】如圖，點(diǎn)O在AB、AC上的射影是點(diǎn)D、E，它們分別為AB、AC的中點(diǎn)．由數(shù)量積的幾何意義，可得，．依題意有，即．同理，即．將兩式相加得，所以．故答案為:.33．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知D為正三角形ABC中邊BC的中點(diǎn)，E在線段AC上且，若AD與BE交于M，若，則正三角形ABC的邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量共線和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)?，所以，，，設(shè)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，所以，，由有：，解得，所以的邊長(zhǎng)為，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，在方向上的投影為，P為線段上的一點(diǎn)，且.則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】先求出，，根據(jù)三點(diǎn)共線得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)?，在方向上的投影為，所以，解得?因?yàn)椋?，即，所以，解得?因?yàn)镻為線段上的一點(diǎn)，且，所以，即.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以的最小值為4.故選：B考點(diǎn)四平面向量的垂直問題35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)平面向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用定義法進(jìn)行判斷即可.【詳解】充分性：因?yàn)橄蛄烤鶠閱挝幌蛄?，且“”，所以，即，即所以，所?即充分性滿足；必要性：因?yàn)椋?而，所以，所以.即必要性滿足.故選：C36．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，，滿足，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，后結(jié)合與可得答案.【詳解】由得，所以，即.因?yàn)?，所以，又將代入，整理得，解?故選：D．37．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)單位向量，滿足與垂直，則（

）A． B．

C．

D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】依題意可得，即，則.故選：B38．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)建立等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.39．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，若，則___________.【答案】/【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，則，解得.故答案為：40．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性計(jì)算和垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】所以，因?yàn)?，所以，解得或，故選：D.41．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】/【分析】由于，所以由構(gòu)成的平行四邊形對(duì)角線相等，故為矩形，所以，再運(yùn)用數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】，由構(gòu)成的平行四邊形為矩形，即，則，解得；故答案為：.42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則______【答案】【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理可得，由垂直向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理可求得，結(jié)合內(nèi)角和為，即可得出答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，即，又由余弦定理，所以，則或．因?yàn)锳，，且，所以，故．因?yàn)椋?，結(jié)合正弦定理得，即，由余弦定理可得，則，則有，解得．故答案為：.考點(diǎn)五平面向量的模長(zhǎng)問題（一）求向量的模43．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，，則（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，，所以，所以．故選：C44．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量，夾角為，且，，則（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】D【分析】將方程兩邊平方，然后結(jié)合數(shù)量積的定義可算出答案.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑠A角為，且，，所以，解得，故選：D45．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)算律求解即可.【詳解】，，，，，，，．故選：B．46．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由化簡(jiǎn)可得，再由向量的模長(zhǎng)公式代入化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄康膴A角為，且，所以，即，化簡(jiǎn)得：，.故選：C.47．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)兩邊同時(shí)平方可得，由模長(zhǎng)的計(jì)算公式代入可判斷A，B；由向量夾角計(jì)算公式可判斷C，D.【詳解】由可得：，可得：，，對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，，,故，故C正確；對(duì)于D，，,，故D不正確.故選：C.48．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可求出的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)法求出模.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，所以，所以，所?故答案為：49．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則（

）A． B． C． D．33【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，所以，即.故選：C.50．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，M為線段BC的中點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解作答.【詳解】在中，M為線段BC的中點(diǎn)，則有，由，，，得，所以.故選：B（二）求模的最值51．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由已知條件得，把等式改寫為關(guān)于的方程，方程有解，判別式，可求的最大值.【詳解】向量，的夾角為，，則有，設(shè)，，∴，即，存在，方程有解，則有，解得，則的最大值為.故選：B52．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．【答案】10【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)、的夾角為，因?yàn)樵诜较蛏系臄?shù)量投影為，所以，因此，因此，所以，，因此有，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故答案為：1053．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，且，解之得或，由，即的終點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，故，由圓的對(duì)稱性，不妨令，即，連接AD交圓于E，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知.故選：A

54．（2023秋·浙江寧波·高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，由得到C在以為直徑的圓上，表達(dá)出，設(shè)，利用輔助角公式得到的最值.【詳解】令，不妨，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋訡在以為直徑的圓上，即，所以，令，則，因?yàn)?，所以，所?故選：C.（三）已知模求參數(shù)55．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知向量，，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)向量模的展開計(jì)算，得出，從而進(jìn)一步利用向量的線性計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案為?56．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）非零向量滿足且與夾角為，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由題意，若，根據(jù)向量的數(shù)量積和模的計(jì)算公式，可得，得到，；反之也可求得，即可得到答案.【詳解】由題意，非零向量滿足且與夾角為，若，即，解得，又因?yàn)?，可得，即充分性是成立的；若，由，可得，即必要性是成立的，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的模的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.57．（2023春·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知平面向量，滿足，，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，即可根據(jù)二次函數(shù)最值問題得出時(shí)，取得最小值，即取得最小值，再根據(jù)已知列式解出，即可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.【詳解】平面向量，滿足，，則，，，則時(shí)，取得最小值，即取得最小值，故，解得：，則，故選：B.58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，且對(duì)于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直可得其數(shù)量積為零，即，易知當(dāng)時(shí)，取最小值，聯(lián)立解方程組可得，，由余弦定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)中角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，故，即?）．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，即，所以，故，所以，負(fù)值舍去，則，代入（1）式得，所以．故選：D考點(diǎn)六平面向量的夾角問題59．【多選】（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量的夾角為，則使為鈍角的一個(gè)充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】當(dāng)時(shí)即可判斷A，將兩邊平方，得到，從而求出即可判斷B選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算展開即可判斷的值或范圍即可得到C選項(xiàng)，由得，當(dāng)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】若，則可能為，A選項(xiàng)不是為鈍角的充分條件，故A不正確，若，兩邊平方得，即向量的余弦值為，所以，B選項(xiàng)是為鈍角的一個(gè)充分條件；故B選項(xiàng)正確，若，則，即向量的余弦值為，所以且為鈍角，，C選項(xiàng)是為鈍角的充分條件，故C選項(xiàng)正確，若，兩邊平方得，當(dāng)時(shí)滿足題意所以不一定為鈍角，D不是為鈍角的充分條件，故D不正確，故選：BC.60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由得，充分性成立，是鈍角三角形，鈍角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，即，所以，，又為?nèi)角的補(bǔ)角，所以，是鈍角三角形；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，不一定是鈍角．所以“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，考查向量數(shù)量積的概念，是基礎(chǔ)題.61．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的向量表示求出的表達(dá)式，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】因?yàn)榕c垂直，則，即，化簡(jiǎn)得，而，則．又，有，所以與的夾角為.故選：B62．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故答案為：.63．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】∵在上的投影向量為，，，又是兩個(gè)單位向量，即，.故選：.64．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知單位向量，滿足，若向量，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算出及，利用向量余弦夾角公式計(jì)算，再利用平方關(guān)系求出.【詳解】因?yàn)?，是單位向量，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)椋?故選：A.65．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，若，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，的夾角為，由數(shù)量積的定義和模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)，的夾角為，，則，由可得：，則，所以，解得：.因?yàn)?，?故選：D.66．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A．