人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊全冊各章節(jié)課時練習(xí)題含答案解析（第四章數(shù)列、第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用）

人教A版選擇性必修第二冊練習(xí)題

第四章數(shù)列...................................................................2

1、數(shù)列的概念與簡單表示法................................................2

2、數(shù)列的通項公式與遞推公式.............................................4

3、等差數(shù)列的概念........................................................7

4、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.................................................14

5、等差數(shù)列的前n項和...................................................21

6、等比數(shù)列的概念.......................................................28

7、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.................................................35

8、等比數(shù)列的前n項和...................................................42

9、等比數(shù)列習(xí)題課.......................................................49

10、數(shù)學(xué)歸納法..........................................................59

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)題.........................................65

1、變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念...............................................65

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.......................................................71

3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)...................................................78

4、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..............................84

5、函數(shù)的單調(diào)性.........................................................91

6、函數(shù)的極值..........................................................100

7、函數(shù)的最大（?。┲?...................................................109

8、利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題.......................................118

第四章數(shù)列

1、數(shù)列的概念與簡單表示法

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分)

1.下列四個結(jié)論：

①如果已知一個數(shù)列的遞推公式及其首項，那么可以寫出這個數(shù)列的任何一項；

②數(shù)列短，,，W，^，…的通項公式是an=Tr；

345bn十1

③數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

④數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列一1,1,一1,1,…是同一數(shù)列.

其中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選A.只有③正確.①中，如己知an+2=an+i+an,ai=L無法寫出除首項外的其他

項.②中旬=唱，④中一1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列.

2.下列數(shù)列的關(guān)系是()

(1)1,4,9,16,25(2)25,16,9,4,1(3)9,4,1,16,25

A.都是同一個數(shù)列B.都不相同

C.(1),(2)是同一數(shù)列D.(2),(3)是同一數(shù)列

【解析】選B.三個數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個數(shù)列均不相同.

[3n+l,n是奇數(shù)，

3.已知數(shù)列的通項公式是小=L門曰/田嶺則a2,a3等于()

\2n-2,n是偶數(shù)，

A.70B.28C.20D.8

3n+Ln是奇數(shù)，

【解析】選C.因為a=J所以@2=2X2—2=2,23=3X3+1=10,所以

n12n—2,n是偶數(shù),

a2,@3=20.

4.已知數(shù)列J，,，,，!，-，-4?，則696是該數(shù)列的()

2o4on十1

A.第22項B.第24項

C.第26項D.第28項

【解析】選B.令==0.96,解得n=24.

n+1

5.若an=-%,則須與&+i的天小關(guān)系是（）

n十1

A?a：i>an+iB?a<an+i

C.an=an+iD.不能確定

【解析】選B.因為數(shù)列｛即｝的通項公式是4=士=叱=1—J-（nGjf）,顯然當(dāng)

n+1n+17n+1

n增大時熱的值也隨之增大，故數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，故有心〈必+】.

6.（多選題）下列四個命題中，正確的有（）

A.數(shù)列的第k項為1+；

B.已知數(shù)列｛aj的通項公式為an=i?-n—50,n￡N\則一8是該數(shù)列的第7項

C.數(shù)列3,5.9,17,33…的一個通項公式為外=2“一1

D.數(shù)列｛a｝的通項公式為,nelT,則數(shù)列｛羸｝是遞增數(shù)列

n+1

【解析】選ABD.對于A,數(shù)歹的第k項為1+；,A正確；

B>令r/—n—50=—8,得n=7或n=-6（舍去），B正確；

C,將3,5,9,17,33,…的各項減去1,得2,4,8,16,32,設(shè)該數(shù)列為｛bj,則

其通項公式為況=2「（11￡2）,因此數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為&尸&+1=

20+1（nGN*）c錯誤；D*a"=^T=i一擊'則&+1一a=擊一擊=

>0,

（n+1）\n+2）因此數(shù)列D是遞增數(shù)列，D正確，

二、填空題（每小題5分，共10分）

1

7.設(shè)數(shù)列｛a,｝的通項公式為a=,則四—3是數(shù)列的第_______項.

n而+4|1+1

]__________，n+1-g{r+1-g

【解析】a?==、n+l

y[n+#n+l(、京+#n+l)(y/n+l—y[n)n+1-n

y[n,

令枷-3=訴口一#,所以n=9.

答案：9

8.若數(shù)歹ij｛a｝的通項公式是an=3-2>則a?n=

【解析】因為仙=3-2\

所以a2n=3-22"=3—mg=熱=1.

答案：3-4n1

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.已知數(shù)列｛aj中，a.=5n-3,求as,并判斷97是否為數(shù)列｛aj中的項.

【解析】由已知,as=5X5-3=22,

令5n—3=97,解得n=20,

故97是數(shù)列瓜｝的第20項.

10.寫出數(shù)列｛&｝：1,：2）3》4費(fèi)5，…的通項公式，并判斷它的增減性.

【解析】由于數(shù)列前n項分子分別為1,2,3,4,5,…，因此與項的序號n的關(guān)系可記為n,

而分母依次為1,4,7,10,13,與項的序號n的關(guān)系可記為3n—2.

所以數(shù)列的通項公式為&尸:「一（n￡N.）.

0n-Z

又因為an+l-an=3（n+1）_2-3n_2

—_2

=（3n+l）（3n-2）（①

所以an+Van,所以數(shù)列｛a,｝為遞減數(shù)列.

2、數(shù)列的通項公式與遞推公式

一、選擇題（每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分）

1.已知an+i—an—3=0,則數(shù)列｛aj是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.不能確定

—

【解析】選A.因為3n+i—an-3=0,Wan+）an=3>0?所以數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列.

2.符合遞推關(guān)系式a1（n22）的數(shù)列是（）

A.1,2,3,4,???B.1,^2,2,2乖,???

C.啦，2,啦，2,…D.0,m,2,2m,…

【解析】選B.由題意知從第2項開始每一項是前一項的4倍，只有B項符合.

2

3.數(shù)列（aj中，ai=l,對所有的n22,n￡N*,都有ai?a2?a3..an=n,則a3+as等于（）

25256131

A-TB.正c,-D,-

【解析】選C.a【a2a3=3一,a）a2=22?

a】a2a3a」a5=5,@舊2333=4,

3295225

則nil備=m=4，=16-

M.61

故a：,+a5=7Z-

lo

4.由1,3,5,2n—1,…構(gòu)成數(shù)列｛&J,數(shù)列｛b/滿足bi=2,當(dāng)n由2時,bn=abn-i,

則b6的值是（）

A.9B.17C.33D.65

【解析】選C.因為bn=abn-i,所以b2=abi=a2=3,b3=ab2=a3=5,bt=ab3=a5=9>b5=abi

=3?=17,be=ab5=ai7=33.

5.下列給出的圖形中，星星的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的一個遞推公式可以是（）

A.an+)=an+n,neN*

B.an=an-1+n,n￡N*,n22

C.an+i=a?+(n+1),n￡N*,n22

D.a?=an-i4-(n—1),nGN*,n>2

【解析】選B.結(jié)合圖示易知，ai=l,az=3=ai+2,a3=6=a?+3,ai=10=a3+4.

故該數(shù)列的一個遞推公式可以為an=an-i+n,nEN*,n22.

2

6.(多選題)已知數(shù)列｛aj滿足：aWai，a?=n4-Xn,n￡N\則實數(shù)人可以取的值為()

A.-3B.-2C.1D.2

【解析】選ABCD.anWan+i=n~+入nW(n+l)"+入(n+l)=入2—(2n+l),n￡N'=入2—3.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.設(shè)數(shù)列｛&｝滿足:a=2,an+1=l—,記數(shù)列｛aj的前n項之積為口”，則

ri2021的值為

【解析】由,a；J="b&=2可知，數(shù)列｛aj是周期為3的周期數(shù)列，從而Th⑷=(一

1)673X2X1=-1.

答案：一1

8.數(shù)列｛aj滿足a=1,距—包-=,1(n22且nEN),則數(shù)列｛aj的通項公式為

n(.n-1;

an=.

【解析】5*尸=」7--,

n(n-1)n-1n

an=(an-an-i)+(a^-i—an-2)+(an-2-an-3)+…

+(az-a>)+a),

11,11,11

a=r—+-------r+???+;-~+1

nn-1nn-2n-112

=2—孑，當(dāng)n=l時滿足.

答案：2--

n

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.在數(shù)歹(]｛8｝中，ai=l,an+i=,j^7Y

(1)寫出數(shù)列的前5項；

(2)猜想數(shù)列的一個通項公式.

【解析】(l)ai=l,a2=|ai=1,

2211

a3=3az=3X2=3'

33114411

ai=733=7X-=-,as=7a=TX-=".

443454545

(2)由(1)知a“=，(n￡N').

n

山,……，住，a"為偶數(shù),廣

10.已知數(shù)列｛aj滿足：ai=m(m為正整數(shù))，a?+i=j2若加=1,求m所有

(3加+1,必為奇數(shù).

可能的取值.

【解析】若as為奇數(shù)，則3a5+1=1,刖=0(舍去).

若④為偶數(shù)，則寺=1,35=2.

若山為奇數(shù)，則3a1+l=2,a4=|(舍去).

0

若aa為偶數(shù)，則岑=2,a.=4.

若必為奇數(shù)，則3a3+1=4,a3=l,則a?=2,a1=4.

若久為偶數(shù)，則岑=4,a3=8,

7

若22為奇數(shù)，則3a2+1=8,a2=-(舍去).

若a?為偶數(shù)，則，=8,a2=16.

若a】為奇數(shù),則3ai+l=16,④=5.

若a1為偶數(shù)，則)=16,ai=32.

故m所有可能的取值為4,5,32.

3、等差數(shù)列的概念

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分)

1.已知｛a｝為等差數(shù)列，a2+a8=12,則as等于()

A.4B.5C.6D.7

【解析】選C.a2+a8=a】+d+ad7d=2a1+8d=12,所以ai+4d=6,所以a5=6.

2.等差數(shù)列｛aj中，己知a3=7,as=13,則a：=()

A.16B.17C.18D.19

【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a5=a-a7,

所以a7=2a>—aa=19.

3.若等差數(shù)列的前3項依次是x-Lx+1,2x+3,則其通項公式為()

A.an=2n—5(n￡N*)B.an=2n—3(n^N*)

C.an=2n—1(n^N*)D.&=211+1(n￡N*)

【解析】選B.因為x—l,x+1,2x+3是等差數(shù)列的前3項，所以2(x+l)=x—l+2x+3,

解得x=0.

所以a】=x—1=—1,a2=Ea3=3,

所以d=2,所以0=—l+2(n—1)=2n—3(n￡N*).

4.在數(shù)列｛a｝中,ai=l,an+i—a,=2,nGN*,則a2$的值為()

A.49B.50C.89D.99

【解析】選A.因為a=1,an+-an=2,neiT,所以數(shù)列(aj是等差數(shù)列，則&5=1+2X(25

—1)=49.

5.已知數(shù)列｛須｝是等差數(shù)列，教列｛bn｝分別滿足下列各式，其中數(shù)列｛bn｝必為等差數(shù)列

的是()

A.bn=|an|B.bn=a；

1an

C.bn=_D.b=——

Snn2

【解析】選D.設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,

選項A,B,C,都不滿足b“一bnT=同一常數(shù)，所以三個選項都是錯誤的；

,,-3n.3n—I3n-]3nH

對t于選項D,bn—bn-l=—T+—=-----=—5,

所以數(shù)列｛bn｝必為等差數(shù)列.

6.(多選題)若數(shù)列瓜｝滿足旦=1,3-34+LneN*,則數(shù)列｛&｝是()

A.公差為1的等差數(shù)列

B.公差%的等差數(shù)列

C.通項公式為的等差數(shù)列

D.通項公式為a=曰+1的等差數(shù)列

【解析】選BC.由3an+i=3an+l,得3an+1一3a「=l,即an+i—an=：.所以數(shù)列｛aj是公差為1

*5o

的等差數(shù)列.又因為a1=L得到an=l+(n—l)x1=日,故選BC.

JJJ

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.在等差數(shù)列｛&>｝中，若a1=5,d=2,則aio=_______；若已知a1=3,d=4,母=59,則

n=_________.

【解析】aio=a[+(10—l)d=5+9X2=23.因為&=a1+(n—l)d,所以59=3+4(n—1),解

得n=15.

答案：2315

8.等差數(shù)列1,—1,—3,—5,—89的項數(shù)為_________.

【解析】因為ai=l,d=—1—1=—2,

所以an=ai+(n—l)d=—2n+3.

由一2n+3=—89,得n=46.

答案：46

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知等差數(shù)列｛aj滿足a1+a=10,a.j—as=2.

(1)求首項及公差；

⑵求｛&｝的通項公式.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛&J的公差為d.

因為a一23=2,所以d=2.

又因為ai4-a2=10,

所以2ai+d=10,故a1=4.

(2)由(1)可知an=4+2(n—1)=2n+2(n=1,2?,,,).

10.己知等差數(shù)列｛&｝：3,7,11,15,….

(1)135,4m+19(mWN*)是數(shù)列｛a｝中的項嗎?試說明理由;

(2)若a。,aq(p,q￡N*)是數(shù)列區(qū)｝中的項，則2a0+3%是數(shù)列｛aj中的項嗎？并說明你的理由.

【解析】因為ai=3,d=4,

所以an=ai+(n—l)d=4n—1.

(1)令an=4n—1=135,所以n=34,

所以135是數(shù)列⑸｝中的第34項.

令an=4n—l=4m+19,則n=m+5eM.

所以4m+19是(aj中的第m+5項.

(2)因為4,%是匕0｝中的項，

所以ap=4p—L%=4q—1.

所以2a「+3&=2(4p-l)+3(4q7)

=8p+12q-5=4(2p+3q-l)-b

因為2P+3q—1ehT,

所以2a『+3aM是｛aj中的第2p+3q—1項.

提升訓(xùn)練

一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分)

1.給出下列命題：

①數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列；

②數(shù)列a,a-1,a-2,a—3是公差為一1的等差數(shù)列；

③等差數(shù)列的通項公式一定能寫成an=kn+b的形式(k,b為常數(shù))；

④數(shù)列{2n+l}(ne^)是等差數(shù)列.

其中正確命題的序號是()

A.①@B.①?C.②?④D.③?

【解析】選C.根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6,4,2,0的公差為-2,①錯誤；

對于②，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列a,a-1,a-2,a-3是公差為一1的等差數(shù)列，所

以②正確；對于③，由等差數(shù)列的通項公式①=a1+(n—l)d,得an=dn+(a］一d),令k=d,

b=a)-d,則a?=kn+b,所以③正確；對于④，因為ae—an=2(n+l)+1—(2n+1)=2,

所以數(shù)列{2n+l}(nepf)是等差數(shù)列.所以④正確.

2.我國古代著名的《周髀算經(jīng)》中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬

至展(gui)長一丈三尺五寸，夏至懸長一尺六寸.意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個

節(jié)氣之間的日影長度差為9年分；且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日

影長度最小，為160分.則“立春”時日影長度為()

呼長逐漸變小

國長逐漸變大

C.11511分I）.125o1分

【解析】選B.一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為9年分，

且“冬至”時日影長度最大，為1350分；

“夏至”時日影長度最小，為160分.

從“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影長變短，所以“立春”時日影長度

為：

1350+（—^^X3=l0521（分）.

3.在等差數(shù)列｛aj中，a2,即是方程x?+6x+2=0的兩個實根，則旦=（）

a：an

3

A.——B.—3C.-6D.2

乙

【解析】選A.由于a2,a”是方程x?+6x+2=0的兩個實根，所以a2+a1i=2aR=—6,aB=—

3,32*3U=2?

..r..—33

所以-a-2a-i4=~T2~=-o2-

4.（多選題）等差數(shù)列｛aj的首項為a,公差為1,數(shù)列｛bj滿足人=一￡.若對任意n￡N1

bnWb6,則實數(shù)a的可能取值是（）

A.-7B.-6.5C.-5.3D.-6

【解析】選BC.因為以｝是首項為a,公差為1的等差數(shù)列，所以a?=n+a-l.所以b.=±

an+l

1

=1---.

n+a

又因為對任意的n￡N*,都有bnWb6成立，

可知言,又因為數(shù)歹|缸｝是遞增數(shù)列，

6十a(chǎn)n+a

則必有7+a—1<0且8+a-1>0?所以一7<a<—6.

二、填空題（每小題5分，共20分）

5.已知｛a｝為等差數(shù)列，若a2=2a3+l,a4=2a3+7,則a3=_____.

【解析】因為｛&｝為等差數(shù)列,a2=2&+l,a尸2as+7,

_、ja1+d=2(ai+2d)+1

+3d=2(a】+2d)+7

解得用=-10,d=3,

所以aj=ai+2d=—10+6=-4.

答案：一4

6.已知數(shù)列｛a｝中，為=2,a=l,且數(shù)歹為等差數(shù)列，則&5=_

7[&T1J

【解析】由數(shù)列1二7]為等差數(shù)列，

⑶十1J

1197

則有—T7+~T7=—T7，可解得“5=$.

十1a?十1as十15

7

答案：7

o

7.數(shù)列｛aj滿足：log2an+)=H-log2an,若23=10,則神=.

【解析】10g23n+l=l+10g2an,所以logzH"】一logzHn=1,

所以｛legzaj為等差數(shù)列，公差為1,第三項為1。由10,

所以log2a?=log210+5,

所以秘=320.

答案：320

8.在下面的數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.

第1列第2列第3列…

第1行123…

第2行246…

第3行369…

……???……

那么位于表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是.

【解析1由題意可得，第n行的第一個數(shù)是n,第n行的數(shù)構(gòu)成以n為首項，n為公差的等差

數(shù)列，其中第(n+1)項為n+n?n=n2+n.所以題表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是n2+n.

答案：n2+n

三、解答題(每小題10分，共30分)

9.已知f(x)=-1^,在數(shù)列｛xj中，X1=1,Xn=f(Xn-i)(n^2,nGlT),試說明數(shù)歹是

x+23[XnJ

等差數(shù)列，并求眥的值.

【解析】因為當(dāng)n22時，Xn=f(Xn-1),

所以Xn=-77(n22),即XnXnT+2xn=2xnr(ne2),得7--=l(n^2),

Xn-l十2XnXn-1

即，一-=1(n22).

XnXn-12

又工=3,所以數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以工=3+(n-l)x1=

Xf(XnJ/Xn/

n+5

~2~，

2

所以Xn=n+5，

21

所以*5=95+5=50,

2

10.數(shù)列⑸｝滿足ai=Lan+i=(n+n—X)an(n=L2,…)，人是常數(shù).

(1)當(dāng)a2=—1時，求人及a3的值；

(2)是否存在實數(shù)X使數(shù)列(aj為等差數(shù)列？若存在，求出X及數(shù)列｛aj的通項公式；若不

存在，請說明理由.

【解析】(1)由于an+i=(r?+n—工)aXn=l,2,…)，

且81=1.

所以當(dāng)a2=-1時，得一1=2一入，故入=3.

從而as=(2“+2—3)X(—1)=-3.

(2)數(shù)歹U｛&｝不可能為等差數(shù)列，

2

證明如下：由ai=Lan+]=(n+n—X)a?,

得a2=2—入，加=(6一入)(2—入)，

a」=(12—入)(6一入)(2—入)，

若存在入使｛④｝為等差數(shù)列，

則小-a2=a2—即(5—入)(2—入)=1一入，

解得X=3.于是a2—a)=l—X=-2,

aj—a3=(11—入)(6—X)(2—X)=-24.

這與瓜｝為等差數(shù)列矛盾.所以，不存在X使｛4,｝是等差數(shù)列.

11.已知數(shù)列｛a｝滿足須+1=酶4,且ai=3(n￡N*).

SnIZ

(1)證明：數(shù)列｛—是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式.

【解析】(1)因為,

所以11=]1

‘a(chǎn)i—23—2'&+1-26an—4

an+2-2

肥+2an+2(an-2)+4____1_1]________1____1

(6a“一4)—2(&+2)4an—84(a,.—2)aL24'\4?】-2an—24

n￡N.，

故數(shù)列[三|是首項為1，公差為1的等差數(shù)列?

(2)由(1)知f=-^7+(n-l)Xj=中，所以玉=紅富,ner

a?—2ai—244n+3

4、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得。分)

1.在等差數(shù)列｛aj中，若a2=4,a」=2,則a&=()

A.-1B.0C.1D.6

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6=2aj—a2=2X2—4=0.

2.等差數(shù)列｛aj中a2=5,a?=33,則①+a5=()

A.35B.38C.45D.48

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3+a5=a2+afi=38.

3.等差數(shù)列｛a.｝中，己知a3=10,泱=-20,則公差d=()

A.3B.-6C.4D.-3

—20—10

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得加一a3=(8-3)d=5d,所以d=-I-=-6.

4.設(shè)數(shù)列瓜｝,｛bn｝都是等差數(shù)列，且ai=25,4=75,出+設(shè)=列0,則a箭+b37等于()

A.0B.37C.190D.-37

【解析】選C.因為｛aj,｛&｝都是等差數(shù)歹IJ,

所以｛an+bn｝也是等差數(shù)列.

又因為a】+bi=100,a2+b2=100,

所以an+bn=100,

故as?+ba?=100.

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五

尺，末日織一尺，今三十織迄”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多

的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完.則該女子第11天織布（）

11Ln105「

A.刀尺B.—尺

C垣尺D二尺

29K3K

【解析】選B.設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛aj,由題設(shè)可知｛aj為等差數(shù)列，

]54

且a】=5,aM=l,故公差d=詬=y=——,

故a“=a,+（ll—1）X卜囪=5-§=￡.

6.（多選題）若a,b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=ax?-2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個

數(shù)可能為（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】選BC.因為a,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,

所以A=4b2—4ac=（a+c）2—4ac=（a—c）2^0.

所以二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為1或2.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知各項都為正數(shù)的等差數(shù)列｛④｝中，as=3,則aaa7的最大值為.

【解析】依題意，等差數(shù)列｛①｝各項都為正數(shù)，

所以Q0,a；＞0,

所以a3a=（as）=9.

當(dāng)且僅當(dāng)a3=a7=3時等號成立.

答案：9

8.在等差數(shù)列｛aj中，若az+aklO.則（出+法）2—2as=.

【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，a2+as=a4+a6=2a5=10,

22

所以(a1+a6)—2a5=10-10=90.

答案：90

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.兩個等差數(shù)列⑸｝：5,8,11,…和｛bj：3,7,11,…都有100項,那么它們共有多少

個相同的項？

【解析】方法一：設(shè)已知兩數(shù)列的所有相同的項構(gòu)成的新數(shù)列為｛a｝,6=11,又?jǐn)?shù)列5,8,

11,…的通項公式為an=3n+2,數(shù)列3,7,11,…的通項公式為bn=4n—l,所以數(shù)列｛cj

為等差數(shù)列，且d=12,

所以cn=12n—1.

又因為aioo=3O2,6100=399,

所以c=12n-lW302,

所以nW25；,

所以己知兩數(shù)列共有25個相同的項.

方法二：因為an=3n+2,bn=4n—1,

4

設(shè)an=be則有3n+2=4m—1(n,m￡N.)即n=^m—1(n,m￡N*).要使n為正整數(shù)，m必須

J

4

是3的倍數(shù).設(shè)m=3k(k￡N*),代入n=￡m—1,得n=4k—1.

又因為lW3kW100,且lW4kTW100,

所以lWkW25,

所以共有25個相同的項.

10.在等差數(shù)列｛a｝中,若a】+a2H----卜as=30,a?+a?4-------l-aio=8O,求a“十a(chǎn)12H----bai5.

【解析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得

ai+a“=2&,a2+ai2=2a?,***>3s+ai5=2aio.

所以(ai+az+…+as)+(a“+ai2+…+ag)

=2(a6+a7H------Faio).

所以a“+ai2-l-----f-ai5=2(a?+a7+…+ai。)-

(a1+az+…+a5)=2X80-30=130.

方法二：因為數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列，

所以ai+az+…+as,&+a?+…+aio,a“+ai2+…+ag也成等差數(shù)列,即30,80?an+ai2

+…+由5成等差數(shù)列,所以30+(a“+ai2+???+ai5)=2X80,

an+ai2+「,+a】5=130.

提升練習(xí)

一、選擇題（每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分）

1.數(shù)列｛a｝滿足3+an=3n+i且a2+a+a6=9,則Iog6（a5+a?+aj的值是（）

A.-2B.——C.2D."

乙乙

【解析】選C.因為4+1—4=3,所以｛4｝為等差數(shù)列,且d=3.

a2+ai+a6=9=3ai,所以陽=3,as+a7+ag=3a7=3（a4+3d）=3（3+3X3）=36,

所以logeCas+ai+ag）=log636=2.

2.若5,x,y,z,21成等差數(shù)列，則x+y+z的值為（）

A.26B.29C.39D.52

【解析】選C.因為5,x,y,z,21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項也是x和z

的等差中項.所以5+21=x+z=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.

3.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，

上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）

A.1升B.累升C.升【）.*升

Ouqqoo

【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列3｝的首項為協(xié)，

ai+a24-a3+a(=3,

公差為d,則有

a?+a8+ao=4,

13

4a1+6d=3,a~22f

即〉解得4

3ai+21d=4.d4，

00

所以ai+4d嚼，即第5節(jié)的容積喘升.

4.（多選題）在等差數(shù)列｛aj中,已知或=10,a,2>31,則公差d的取值可以為（)

A.3B.4C.5D.6

【解析】選BCD.設(shè)首項為a”由題意,

a1+4d=10,

可知

ai+lld>31,

解得d>3.所以d的取值范圍是（3,+8）.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.已知AABC中三邊a,b,c成等差數(shù)列，g,而，/也成等差數(shù)列，則aABC的形狀

為?

fa+c=2b,①

【解析】由題可得1廠廠廠^

Za+y/c=2y/b,②

②2一①，得2，^=2b.

所以b2=ac,

又(a+c)2=4b)即(a+c)2=4ac,

所以a"—2ac+c2=0?

即(a—c)2=0,所以a=c,代入①，可得a=b=c,

所以4ABC為等邊三角形.

答案：等邊三角形

6.如果等差數(shù)列｛aj中，a3+ai4-a5=12,那么a」=__；a】+a2T---Fa-=.

【解析】由a3+a〃+a5=3a4=12,

所以&=4,a】+a2d---卜a?=7a<=28.

答案：428

7.在等差數(shù)列｛a』中，a5+a6=4,則log2(2a1?2a2...2aio)=.

【解析】在等差數(shù)列(aj中，a54-36=4,所以ai+aio=a2+a9=a3+a?=ai+a7=a5+a6=4,所

以a]+a2H----haio=(ai+aio)+(&+沏)+(aa+aj+(a.i+a7)+(a5+at)=5(a5+a6)=20,

ROlogz(2ai?2a2....2a】o)=lo&2a】+a2+",+aio

=ai+a2+…+aio=20.

答案：20

8.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4個根組成首項為]的等差數(shù)歹U，則Im-n|=.

【解析】因為y=x2—2x+m與y=x2—2x+n有相同的對稱軸，設(shè)四個根分別為x1，x2,x3,

,“fxi+xi=2,

X4,不妨設(shè)Xi,X4為x—2x+m=0的兩根,X2,X3為x—2x+n=0的兩根，則

XiXi=m.

Xz+x3=2,

X2X3=n.

1735

不妨令X]=7,所以X4=1,X2=-,X3=j,

7151

所以小，'n=W'所以"nf.

答案?

三、解答題(每小題10分，共30分)

911

9.設(shè)數(shù)列區(qū)｝是等差數(shù)列，b“,且b+b2+b3=~7，b]b2b3=7，求通項公式a.

OO

1m

【解析】因為bib2b3=w,又bn=(5j

所以W如飛)

mali

所以⑸+a2+as=-,所以a1+a2+a3=3.

又｛aj成等差數(shù)列，所以a2=l,ai+a3=2.

117

所以b】b3=],bi+b=—,

48；i

b)=2,

所以《1bl=?

性=1

b3=2,

a1=—

所以c…

a?=3Ia3=-1.

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

當(dāng)a1=-1,as=3時，d=2,所以①=-l+2(n—1)=2n—3；

當(dāng)aI=3,aa=-1時，d=—2,所以a<.=3-2(n—1)=-2n+5.

=

綜上所述，an=2n—3(n￡N*)或an-2n+5(n^N*).

10.已知無窮等差數(shù)列｛aj中，首項為=3,公差d=-5,依次取出序號能被4除余3的項組

成數(shù)列｛bj.

(1)求bi和b2；

⑵求｛bj的通項公式；

(3)｛bn｝中的第503項是｛an)中的第幾項？

【解析】數(shù)列｛bj是數(shù)列｛aj的一個子數(shù)列，其序號構(gòu)成以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，

由于｛aj是等差數(shù)列，則｛卜｝也是等差數(shù)列.

(1)因為a=3,d=-5,所以&=3+缶-1)乂(-5)=8—5比數(shù)列瓜｝中序號被4除余3的

項是｛aj中的第3項，第7項，第11項，…，

所以b=a3=—7,b2=a7=-27.

⑵設(shè)⑸｝中的第m項是中的第n項，即bk小,

則m=3+4(n—1)=4n—1,

所以bn=aa=a4n-i=8—5X(4n—1)=13—20n,

即｛bj的通項公式為bn=13-20nin￡N).

(3)bS03=13-20X503=-10047,

設(shè)它是｛aj中的第m項,則一是047=8-5nb解得m=2Oil,即｛bj中的第503項是｛aj中

的第2011項.

11.己知正項數(shù)列｛aj滿足a；=(2n—l)a0+2n.

(D求證：數(shù)列是等差數(shù)列：

(2)若數(shù)列｛bj滿足匕=:二*，且數(shù)列｛一｝的最大項為b?最小項為幾，求p+q的值.

【解析】由已知有：a；—(2n—Dan—2n=⑸-2n)(an+1)=0且a)。，

所以由an=2n,n￡N*,得an+La“=2(n+1)—2n=2,由a；—(2—1)a1-2=0,解得ai

=2,

所以數(shù)列｛aj是以首項為2,公差為2的等差數(shù)列;

_2n~y/40

n—y/71

當(dāng)n=4時，＞最大，當(dāng)n=3時，b0最小,

所以p+q=4+3=7.

5、等差數(shù)列的前n項和

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯

的得0分)

1.已知等差數(shù)列EJ的前10項和為30,比=8,則&(?=()

A.100B.958C.948D.18

【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列(aj的公差為d,

at=-42,

由已知?10X9解得

10ai+^^d=30,d=10,

所以a)M=-42+99X10=948.

2.己知等差數(shù)列｛m｝的前n項和Sn,且S3=S5=15,則S?=()

7

A.4B.7C.14D.-

乙

【解析】選B.等差數(shù)列｛aJ的前n項和為Sn,且S3=S5=15,

所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.

再根據(jù)S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=—2,

7X?

則S7=7ai+F_~d=494-21X(-2)=7.

3.在等差數(shù)列｛aJ中，若a3+a.i+as+ae+a7=45,則Sg=()

135

A.45B.162C.81D.—

乙

【解析】選C.因為在等差數(shù)列｛aJ中，a34-al4-a54-a6+a7=5a5=45,

所以as=9.

ll,、，-9(ai+ag)八…

所以Sg="=9as=81.

4.在等差數(shù)列⑸｝中，a尸1,其前n項和為柞，若,=2,則m的值為()

A.18B.19C.20D.21

【解析】選B.因為在等差數(shù)列｛a)中，a.=1,其前n項和為柞，設(shè)等差數(shù)列(