全國名校高考數(shù)學試題分類匯編（12月 第四期）N單元選修4系列（含解析）

【備考】屆全國名校數(shù)學試題分類匯編（12月第四期）N單元選修4系列（含解析）目錄N單元選修4系列 1N1選修4-1幾何證明選講 1N2選修4-2矩陣 3N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程 4N4選修4-5不等式選講 6N5選修4-7優(yōu)選法與試驗設計 9N1選修4-1幾何證明選講【數(shù)學理卷·屆山西省山大附中高三上學期中考試試題（11）】22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講：如圖所示，已知與⊙相切，為切點，過點的割線交圓于兩點，弦，相交于點，為上一點，且．（1）求證：；（2）若，求的長．第22題圖第22題圖【知識點】幾何證明N1【答案】(1)略；(2).【解析】解析：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……2分又∵,∴,∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……5分（Ⅱ）∵,∴，∵∴由（1）可知：，解得.……7分∴．∵是⊙的切線，∴∴，解得．……10分【思路點撥】（I）由已知可得，得到．由平行線的性質(zhì)可得，于是得到，再利用對頂角的性質(zhì)即可證明．于是得到．利用相交弦定理可得進而證明結(jié)論；（II）利用（I）的結(jié)論可得，再利用切割線定理可得，即可得出PA．【數(shù)學文卷·屆山西省山大附中高三上學期期中考試（11）】22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講：如圖所示，已知與⊙相切，為切點，過點的割線交圓于兩點，弦，相交于點，為上一點，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求的長．第22題圖第22題圖【知識點】弦切角N1【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）解析：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……2分又∵,∴,∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……5分（Ⅱ）∵,∴，∵∴由（1）可知：，解得.……7分∴．∵是⊙的切線，∴∴，解得．……10分【思路點撥】利用與已知可得EC的長，進而得到BE，利用相交弦定理可得，得到AE．再利用，可得，得到PE，進而得到PB，再利用切割線定理可得即可得出.N2選修4-2矩陣【數(shù)學理卷·屆江蘇省揚州中學高三上學期質(zhì)量檢測（12月）（12）】1.已知矩陣的一個特征值是3，求直線在作用下的直線方程.【知識點】特征值、特征向量的應用.N2【答案】【解析】解析：∵矩陣的一個特征值是3，設則解得∴.設直線上任一點在作用下對應的點為則有整理得，則，代入，整理得.∴所求直線方程為.【思路點撥】根據(jù)矩陣的一個特征值是3可求出a的值，然后設直線上任意一點在作用下對應的點為根據(jù)矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關(guān)系，把已知的點的坐標用未知的坐標表示，代入已知直線的方程，得到結(jié)果．N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程【數(shù)學理卷·屆江蘇省揚州中學高三上學期質(zhì)量檢測（12月）（12）】2.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是若以為極點，軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線的極坐標方程.【知識點】圓的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標方程．N3【答案】【解析】解析：由消去得曲線是以點為圓心，1為半徑的圓，∴在極坐標系中，曲線是以點為圓心，1為半徑的圓，∴曲線的極坐標方程是【思路點撥】求得圓C的直角坐標方程為把x=ρcosθy=ρsinθ代入化簡可得曲線C的極坐標方程．【數(shù)學理卷·屆山西省山大附中高三上學期中考試試題（11）】23．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程：以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線與曲線相交于、兩點，當變化時，求的最小值．【知識點】極坐標參數(shù)方程N3【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】解析：（Ⅰ）由，得所以曲線C的直角坐標方程為.……5分（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入，得.設、兩點對應的參數(shù)分別為、，則，，∴，當時，的最小值為4.……10分【思路點撥】由化簡可得曲線的直角坐標方程；直線與曲線聯(lián)立可得方程，利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理求得的最小值．【數(shù)學文卷·屆山西省山大附中高三上學期期中考試（11）】23．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程：以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線與曲線相交于、兩點，當變化時，求的最小值．【知識點】簡單曲線的極坐標方程N3【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）的最小值為4解析：（Ⅰ）由，得所以曲線C的直角坐標方程為.……5分（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入，得.設、兩點對應的參數(shù)分別為、，則，，∴，當時，的最小值為4.……10分【思路點撥】（1）利用即可化為直角坐標方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及參數(shù)的幾何意義即可得出．N4選修4-5不等式選講【數(shù)學理卷·屆河北省唐山一中高三12月調(diào)研考試（12）】24．(本小題滿分10分）（選修4-5不等式選講）設函數(shù)．求證：（1）當時，不等式成立．（2）關(guān)于的不等式在R上恒成立，求實數(shù)的最大值．【知識點】選修4-5不等式選講N4【答案】(1)略（2）【解析】(1)證明：由得函數(shù)的最小值為3，從而，所以成立. (2)由絕對值的性質(zhì)得，所以最小值為，從而，解得，因此的最大值為.【思路點撥】利用分段函數(shù)最值證明結(jié)論，根據(jù)絕對值的意義求出a的最大值。【數(shù)學文卷·屆重慶市巴蜀中學高三12月月考（12）】已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）。[]若，求函數(shù)在上的最大值；若，關(guān)于的方程有且僅有一個根，求實數(shù)的取值范圍；若對任意的，，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍?！局R點】導數(shù)的應用；絕對值不等式的性質(zhì).B12N4【答案】【解析】(1)；(2)（3）（-1,1）解析：(1)當a=-1時，，由得：x=0或x=-1，經(jīng)檢驗x∈（-1,0）時，，x∈（0,2）時，，所以函數(shù)在（-1，0）上遞減，在（0,2）上遞增.又當x=-1時y=，x=2時，y=，所以函數(shù)在上的最大值為.（2）當a=-1時，關(guān)于的方程為，即.令，經(jīng)檢驗得h(x)在上遞減，在（1,2）上遞增，所以函數(shù)h(x)在x=1處有極小值h(1)=,在x=2處有極大值h(2)=,而x趨向于時，h(x)趨向于0，所以實數(shù)k的取值范圍是.（3）不等式，即，只需，因為，是增函數(shù)，所以>0，>0，所以，設，則，而得，經(jīng)檢驗時有極小值，也是最小值，所以h(x)是[0,2]上得增函數(shù)，而，所以.【思路點撥】（1）利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值性，從而求得此函數(shù)的最大值；（2）采用分離常數(shù)法求k的取值范圍；（3）利用絕對值不等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在[0,2]上，任意兩點確定直線的斜率的最小值，|a|小于此最小值即可.【數(shù)學文卷·屆江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學、新余四中）高三上學期第二次聯(lián)考（12）】22.（本小題滿分10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若a>0,求證：.【知識點】絕對值不等式的解法；絕對值不等式性質(zhì)的應用.E2N4.【答案】【解析】(1)；(2)證明：見解析.解析：（1）由題意，得，因此只須解