第03講直線與平面的位置關(guān)系（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第03講直線與平面的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)基本事實(shí)4和等角定理，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).3.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).4.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.能認(rèn)識(shí)和理解空間直線平行的傳遞性，了解等角定理．(重點(diǎn))2．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這兩個(gè)定理解決空間中的平行關(guān)系問(wèn)題．(重點(diǎn))3．利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空間平行問(wèn)題．(難點(diǎn))4.了解直線與平面垂直的定義．(重點(diǎn))5.理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線與平面垂直．(難點(diǎn))5.理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題．(易錯(cuò)點(diǎn))7.能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．(重點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01：直線與平面平行（1）判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)注意：用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α.(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α.(3)兩直線a，b平行，即a∥b.【即學(xué)即練1】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.證明連接BC1(圖略)，在△BCC1中，∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.知識(shí)點(diǎn)02：直線與平面垂直1．直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a垂直于平面α，記作a⊥α，直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足．結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．4．與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線．(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)如果一條直線與兩個(gè)平面都垂直，那么這兩個(gè)平面平行．(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直．【即學(xué)即練2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD.證明方法一∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方體的棱長(zhǎng)為2，連接OM，A1M(圖略)，則A1O＝eq\r(6)，OM＝eq\r(3)，A1M＝3，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.方法二連接A1B，A1D，OM(圖略)．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B＝A1D，O為BD的中點(diǎn)，∴A1O⊥BD.令正方體的棱長(zhǎng)為2，在Rt△A1AO和Rt△OCM中，tan∠AA1O＝eq\f(AO,AA1)＝eq\f(\r(2),2)，tan∠COM＝eq\f(CM,CO)＝eq\f(\r(2),2)，故△A1AO∽△OCM，∴∠AOA1＋∠COM＝90°，∴∠A1OM＝90°，∴A1O⊥OM，∵BD∩OM＝O，BD?平面MBD，OM?平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.知識(shí)點(diǎn)03：直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°【即學(xué)即練3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．解(1)∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O,A1B)＝eq\f(1,2)，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.知識(shí)點(diǎn)04：三垂線定理平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直:【即學(xué)即練4】（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形的長(zhǎng)，寬，若平面，矩形的邊上至少有一個(gè)點(diǎn)，使得，則的范圍是．【分析】依據(jù)三垂線定理，要使，必須有，即以為直徑的圓應(yīng)與有公共點(diǎn)即可，從而可求的范圍．【解答】解：平面，平面，；要使，依三垂線定理得，必須有，而為矩形的邊上的一個(gè)點(diǎn)，以為直徑的圓應(yīng)與有公共點(diǎn)，，寬，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．題型01證明線面平行【解題策略】應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：（1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法；（4）成比例線段法．【例1】（2223高二上·上海浦東新·期末）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成的角；(2)判斷與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)平面，理由見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)平移找到異面直線所成的角，在三角形中求解即可.（2）通過(guò)線面平行判定定理判斷.【詳解】（1）因?yàn)?，所以就是異面直線與所成的角.設(shè)，則，，所以.所以異面直線與所成的角為（結(jié)果也可寫成或）.（2）平面連接，交于，連接,在中，分別為、中點(diǎn)，為的中位線，所以.因?yàn)槠矫嫔?，而平面上，由直線與平面平行的判定定理得，平面.【變式11】．（2324高二上·上海寶山·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，即可證得平面.【詳解】在中，因?yàn)?，分別是、的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?【變式12】．（2122高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）（1）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言敘述直線與平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反證法證明；（3）如圖，在正方體中，點(diǎn)N在上，點(diǎn)M在，且，求證：平面（用（1）中所寫定理證明）

【答案】【小問(wèn)1】答案見(jiàn)詳解

【小問(wèn)2】證明見(jiàn)詳解

【小問(wèn)3】證明見(jiàn)詳解【分析】（1）利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出已知，求證；（2）作出圖形，假設(shè)與不平行，則它們相交，即，作出輔助線，推出，與矛盾，證明出結(jié)論；（3）作出輔助線，得到四邊形是平行四邊形，得到線線平行，得到線面平行.【詳解】（1）已知：上，，，求證：．（2）如圖所示，證明：

假設(shè)與不平行，則它們相交，設(shè)交點(diǎn)為，那么，∵，∴A不在b上，在內(nèi)過(guò)A作，則，又∵，，∴，與矛盾，∴假設(shè)不成立，．（3）如圖，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接，則，，

因?yàn)樵谡襟w中，，，所以，則，因?yàn)?，所以，又，，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【變式13】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面PAD.證明如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點(diǎn)，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC.∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又MN?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.題型02證明線面垂直【解題策略】證明線面垂直的方法(1)由線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【例2】．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，四邊形是矩形，，，平面，，．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）利用線面垂直的判定定理分析論證即可得證.（2）利用線面平行的判定定理分析論證即可得證.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又由，而，平面，平面，∴平?（2）證明：如上圖，連接交于，連接，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴平面.【變式21】．（2223高二下·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，O是BD的中點(diǎn)．

(1)求證：平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的大小．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理即可證明；（2）分別取，的中點(diǎn)，連接，找出異面直線所成角，然后結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）

證明：在三角形中，因?yàn)?，且O是BD的中點(diǎn)，所以，且，連接，在等邊三角形中易得，所以，所以.因?yàn)?，且平面，所以平面BCD.（2）

分別取，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，，且，所以或其補(bǔ)角就是異面直線所成角，連接，因?yàn)槠矫妫?，所以在中，斜邊上的中線，又因?yàn)?，，所以在三角形中?因?yàn)椋援惷嬷本€AB與CD所成角為.【變式22】．（2324高三上·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為棱的中點(diǎn)，，平面平面.求證：

(1)平面；(2)平面．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)線面平行的判定定理證得平面.（2）根據(jù)通過(guò)證明來(lái)證得平面.【詳解】（1）由于分別為棱的中點(diǎn)，所以，由于四邊形是矩形，所以，所以，由于平面，平面，所以平面；（2）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于平面平面且交線為，平面，，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面.【變式23】．（2324高二下·上?！て谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體中，，與底面所成的角為．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，，依題意可得，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得證；（2）因?yàn)榕c底面所成的角求得的值，再由，可得與所成的角等于異面直線與所成的角，在中，由余弦定理可得的余弦值，即求出所求的角的大?。驹斀狻浚?）連接，，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面；?）因?yàn)榕c底面所成的角為，底面，所以為與底面所成的角，所以，所以，連接，所以，又，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以與所成的角等于異面直線與所成的角，在中，由余弦定理可得，所以，所以異面直線與所成的角為．題型03直線與平面所成的角【解題策略】求直線與平面所成的角的步驟(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角．(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角．(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形)．(4)答．【例3】．（2324高二下·上?！て谀┤鐖D，在長(zhǎng)方體中，已知，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．求直線與平面所成角的正切值．【答案】．【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可證得直線與平面所成角就是，根據(jù)即可求得．【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體，且，因?yàn)椤?，⊥，，平面，所以⊥平面，故直線與平面所成角就是，在中，由已知可得，因此，，即直線與平面所成角的正切值為．【變式31】（2324高二下·上海虹口·期末）如圖所示，圓柱的母線長(zhǎng)為2，矩形是經(jīng)過(guò)的截面，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大?。?2)若圓柱的側(cè)面積為，求直線與平面所成角的正弦值的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），求解即可；（2）連接，因?yàn)槠矫?，是直線與平面所成的角，求解即可.【詳解】（1）連接，則，所以是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），因?yàn)辄c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為；（2）設(shè)圓柱底面半徑為，由已知，則，連接，因?yàn)槠矫?，所以是直線在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.【變式32】．（2024·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；(2)若，，，求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，證出平面，然后根據(jù)平面平面，利用線面平行的性質(zhì)定理證出；（2）連接，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)線面垂直的判定定理，證出平面，可得是直線與平面的所成角，然后在中利用銳角三角函數(shù)的定義算出答案．【詳解】（1）證明：平面與直線相交于點(diǎn)，平面平面，四邊形是菱形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，；（2）連接，取中點(diǎn)，連接、，菱形中，，，是等邊三角形，是中點(diǎn)，，平面，平面，，、平面，，平面．是直線與平面的所成角，是中點(diǎn)，，．平面，平面，，為中點(diǎn)，，中，，等邊中，高，中，，可得，即直線與平面的所成角等于．【變式33】．（2324高二下·上?！て谥校┤鐖D，在正三棱柱中，，此三棱柱的體積為，為側(cè)棱上點(diǎn)，且，、分別為、的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求與平面所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，得到，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）取的中點(diǎn)，證得平面，得到為直線與平面所成的角，在直角中，即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，因?yàn)?，正三棱柱的體積為,所以在直角中，可得，在直角中，可得，取的中點(diǎn)，連接，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的大小為.（2）取的中點(diǎn)，可得，在正三棱柱中，可得平面平面，且平面平面，可得平面，所以為直線與平面所成的角，在直角中，，且，在直角中，可得，所以.所以直線與平面所成的角為.題型04證明線線平行的常用方法【解題策略】證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．【例4】．（2425高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）圖1是由正方形組成的一個(gè)等腰梯形，其中，將、分別沿折起使得E與F重合，如圖2．設(shè)平面平面，證明：；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】首先利用線面平行的判定定理證明平面，進(jìn)一步即可得證.【詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所?【變式41】（2324高二下·上海青浦·期末）如左下圖1，是水平放置的矩形，，將矩形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，如右下圖2．設(shè)O是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)．(1)求直線與平面所成角的大小；(2)連接，設(shè)平面與平面的交線為直線l，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)作于，連接，可得平面，則為直線與平面所成角，解三角形即可求得直線BD與平面PAC所成角的大??；（2）由O是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，可得，則得平面，得，則．【詳解】（1）過(guò)作于，連接，∵平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，∴為直線與平面所成角，∵，不妨設(shè)，將矩形沿對(duì)角線折起后，仍有，又D是的中點(diǎn)，可得，，∴在中，，，，∴直線與平面所成角的大小為．（2）是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面PBC，又∵平面平面，平面，，．【變式42】．（2023高二上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行”來(lái)證明.【詳解】如圖：∵，，∴.同理.∵，，平面，∴平面.又∵，，∴.∵，，，平面，∴平面.∴.【變式43】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.一．選擇題1．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知直線，和平面，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理可得：直線，和平面，，則“”與“”相互推不出．即可判斷出關(guān)系．【解答】解：直線，和平面，，則“”與“”相互推不出．“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）在正方體的底面內(nèi)有一點(diǎn)，且平面，則的最小值是A． B． C．1 D．【分析】由已知可得，由此可得最值．【解答】解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)槠矫妫傻命c(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，且與平面平行的平面上，即點(diǎn)在平面上，又因?yàn)辄c(diǎn)是底面內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以．則的最小值是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）下列四個(gè)正方體圖形中，、、、、分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是A． B． C． D．【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．【解答】解：對(duì)于，由題意得，，而，，平面，平面，平面，平面，故平面平面，而平面，故平面，故正確；對(duì)于，取的中點(diǎn)，底面中心，則，故與相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，故平面，則平面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，作平行四邊形，則與相交，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中線面位置關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．二．填空題4．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）已知a，b為兩條不同的直線，α為一個(gè)平面，且a∥α，b?α，則直線a與b的位置關(guān)系是平行或異面．【分析】根據(jù)線面，線線關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵a∥α，b?α，∴a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，∴a，b平行或異面．故答案為：平行或異面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線，線面關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）設(shè)常數(shù)．如圖，在矩形中，，，平面．若線段上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)平面，得，若線段上存在點(diǎn)，使得，則有平面，從而得，再根據(jù)勾股定理，即可求得符合條件的的范圍．【解答】解：設(shè)邊上存在點(diǎn)，使得，連結(jié)，由面，得，又，所以面，則，設(shè)，則，在中，有，即，整理得，△，當(dāng)△，即時(shí)，無(wú)解，此時(shí)點(diǎn)不存在；當(dāng)△，即時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)為中點(diǎn)；當(dāng)△，即時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)；綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的定義、性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．6．（2023秋?浦東新區(qū)期末）已知正方體，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，則滿足平面的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及在一個(gè)平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的唯一性可得結(jié)果．【解答】解：如圖，在正方體中，面，所以平面面，且平面面，連接交于，則有，即，由面面垂直的性質(zhì)定理有平面，又在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線有且僅有一條，故垂足點(diǎn)有且僅有一個(gè)．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間位置關(guān)系的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)，，，均在半徑為2的球面上，滿足，，，若平面，則．【分析】易得，以，，為長(zhǎng)寬高作長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為三棱錐外接球的直徑，再利用勾股定理即可得解．【解答】解：由，，，得，所以，又平面，如圖，以，，為長(zhǎng)寬高作長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為三棱錐外接球的直徑，即，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，棱錐的體積，屬于中檔題．三．解答題8．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直三棱柱中，已知，，，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）求證：平面．【分析】（1）利用余弦定理即可得；（2）結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，先證明線線平行，即可得線面平行．【解答】（1）解：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，由是平行四邊形知，則（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角．在△中，，，，則．所以異面直線與所成角的大小為．（2）證明：如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成的角，考查線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）（1）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言敘述直線與平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反證法證明；（3）如圖，在正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在，且，求證：平面（用（1）中所寫定理證明）【分析】（1）利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出已知，求證；（2）作出圖形，假設(shè)與不平行，則它們相交，推出矛盾，證明出結(jié)論；（3）作出輔助線，得到四邊形是平行四邊形，得到線線平行，可得線面平行．【解答】解：（1），，，則．（2）如圖所示，證明：假設(shè)與不平行，則它們相交，設(shè)交點(diǎn)為，那么，，不在上，在內(nèi)過(guò)作，則，又，，，與矛盾，假設(shè)不成立，．（3）證明：如圖，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)樵谡襟w中，，，所以，則，因?yàn)?，所以，又，，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求證：AB∥平面A1DCB1；（2）求直線A1B與B1C所成的角的大小；（3）求證：BC1⊥平面A1DCB1．【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證；（2）根據(jù)異面直線所成角定義求解；（3）根據(jù)線面垂直的判定定理可證．【解答】（1）證明：因?yàn)樵谡襟wABCD﹣A1B1C1D1中，可知AB∥A1B1，而AB?平面A1DCB1，A1B1?平面A1DCB1，所以AB∥平面A1DCB1；（2）解：如圖，連接A1D，BD，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1D∥B1C，所以∠DA1B（或其補(bǔ)角）是直線A1B與直線B1C所成角，又A1D＝A1B＝BD，所以∠DA1B＝60°，所以直線A1B與直線B1C所成角為60°；（3）證明：因?yàn)樵谡襟wABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1⊥平面BB1C1C，且BC1?平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1，又因?yàn)锽C1，B1C是正方形BB1C1C的對(duì)角線，因此BC1⊥B1C，又A1B1∩B1C＝B1，且A1B1，B1C?平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判斷定理的應(yīng)用，線面垂直的判斷定理的應(yīng)用，異面直線所成的角的求法，屬于中檔題．11．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，，，從而平面，，平面，，，由此能證明平面．【解答】證明：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，，，，，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．12．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，，、分別是、的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）鱉臑是我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱．右圖中是否能找到鱉臑，若能，寫出一個(gè)并證明；若不能，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得到四邊形為平行四邊形，即可得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）利用線面垂直的性質(zhì)可判斷．【解答】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，分別為，，的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）解：能找到鱉臑，例如四面體（不唯一）．底面，則，，又為正方形，則，又，，平面，，則，，，均為直角三角形，四面體為鱉臑（不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行，線面垂直的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與的交點(diǎn)