專題24同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7種常見考法歸類（65題）

專題24同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7種常見考法歸類（65題）考點(diǎn)一已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值考點(diǎn)二利用平方關(guān)系求參數(shù)考點(diǎn)三利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值考點(diǎn)四正、余弦齊次式的計算考點(diǎn)五由條件等式求正、余弦考點(diǎn)六sinθ±cosθ型求值問題考點(diǎn)七三角函數(shù)恒等式的證明知識點(diǎn)1：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式文字表述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點(diǎn)：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．知識點(diǎn)2：關(guān)系式的常用等價變形1、2、解題策略1、已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)關(guān)系及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值。注：(1)若已知sinα＝m，可以先應(yīng)用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先應(yīng)用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以應(yīng)用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．(4)注意要根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號．2、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對含根號的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號．(3)對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡．3、正、余弦齊次式的計算(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關(guān)于tanα的式子，從而達(dá)到求值的目的．(2)對于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α進(jìn)行代替后分子分母同時除以cos2α，得到關(guān)于tanα的式子，從而可以求值．(3)齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4、sinθ±cosθ與sinθcosθ之間的關(guān)系(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，利用該公式，已知其中一個，能求另外二個，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判斷它們的符號．5、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．考點(diǎn)一已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2024·四川·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解.【詳解】因為，所以，故選：C2.（2023·全國·高一課堂例題）已知是第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：方法一

∵為第二象限角，∴，∴．方法二∵，∴角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．故選：D3．（2024·上海松江·高三?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意得，則，故選：A.4．（2024·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用平方關(guān)系求余弦值，注意角的范圍確定值的符號.【詳解】由題設(shè).故選：A5.（2023·全國·高一課堂例題）已知，并且是第四象限角，求，．【答案】，．【詳解】由，之間的關(guān)系式及第四象限角的余弦得，．6.（2023春·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以；因為，所以，解得；因為，所以，所以.故選：A.7.（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）若是第四象限的角，且，則.【答案】/0.5【詳解】因為是第四象限的角，且，所以，所以.故答案為：8．（2024·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)為第二象限角，若，則.【答案】/【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，列方程組解出，求和即可.【詳解】為第二象限角，則，，若，則有，解得，所以.故答案為：.9．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）（1）已知，在第四象限，求，的值；（2）已知，在第二象限，求，的值；（3）已知，求，的值；（4）已知，求，的值．【答案】見解析【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系代值計算即可.【詳解】（1），在第四象限，；（2），在第二象限，；（3），，當(dāng)為第二象限角時，，當(dāng)為第四象限角時，，（4），當(dāng)為第一象限角時，，，當(dāng)為第四象限角時，時，．10.（2023秋·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)?？计谀┯嬎悖?1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）由，得：，又，所以.（2）因為，所以為第二或第三象限角，又.若為第二象限角，則；若為第三象限角，則.考點(diǎn)二利用平方關(guān)系求參數(shù)11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是關(guān)于x的方程的兩根，則實數(shù)．【答案】【詳解】由，是關(guān)于的方程的兩根，所以，由，可得，則，經(jīng)檢驗符合題意，所以實數(shù)的值為.故答案為：12.（2023春·上?！じ咭簧虾Ｊ芯礃I(yè)中學(xué)校考期中）若及是關(guān)于x的方程的兩個實根，則實數(shù)k的值為【答案】【詳解】因為及是關(guān)于x的方程的兩個實根，則，，因為且，所以，即，解得：或，因為方程有兩個實根，所以，解得：或，所以，故答案為：.13.【多選】（2023秋·河南周口·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，下面選項正確的是（

）A． B．或C． D．【答案】ACD【詳解】由，，可得，，，解得或.，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，不合題意，，此時，，.故A項正確，B項錯誤，CD項正確.故選：ACD.14.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是第四象限角，則．【答案】【詳解】由，解得或8，是第四象限角，，.故答案為：.15.（2023秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【詳解】為第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.故答案為：.16.（2023·高一課時練習(xí)）已知，且是第二象限角，求實數(shù)a的值.【答案】【詳解】因為是第二象限角，所以，解得，由得到，解得或（舍）.17.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為，此時．【答案】49/0.4【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：49，考點(diǎn)三利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值18.（2023秋·高一課時練習(xí)）當(dāng)x為第二象限角時，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【詳解】因為是第二象限角，所以，故選：C19．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡：(1)－；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行化簡；（2）利用完全平方公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求解；（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡.【詳解】（1）原式＝.（2）原式＝（3）原式＝20．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡與求值(1)；(2)．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)及求解.（2）根據(jù)求解.【詳解】（1）.（2）.21．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：．【答案】答案見詳解【分析】先根據(jù)式子有意義求的范圍，然后利用平方關(guān)系化簡目標(biāo)式，再根據(jù)進(jìn)行分類去絕對值，利用輔助角公式化簡.【詳解】由題知，，得且，當(dāng)時，，原式；當(dāng)時，，，原式；當(dāng)?shù)慕K邊不在坐標(biāo)軸上時，有，所以，原式當(dāng)為第一象限角時，原式；當(dāng)為第二象限角時，原式；當(dāng)為第三象限角時，原式；當(dāng)為第四象限角時，原式.綜上，當(dāng)時，原式；當(dāng)為第二象限角時，原式；當(dāng)為第三象限角時，原式；當(dāng)為第四象限角時，原式.22．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角函數(shù)在各象限的符號即可求解.【詳解】顯然，因此，從而，對于A，因為為第四象限角，所以，A可能；對于B，因為為第二象限角，所以，B不可能；對于C，因為為第三象限角，所以，C可能；對于D，因為為第四象限角，所以，D可能.故選：B23．（2024·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的符號等知識進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.【詳解】（1）原式．（2）因為，所以．原式．24.（2023春·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知，且是第三象限的角，則．【答案】【詳解】因為，則，解得，又因為，且是第三象限的角，則，所以.故答案為：.考點(diǎn)四正、余弦齊次式的計算25．（2024·山東青島·高二?？计谥校┮阎瑒t.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：26.（2023秋·廣西·高二廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.27．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t.【答案】/【分析】由，再將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：28．（2024·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎?，則.【答案】【分析】在代數(shù)式上除以，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，則.故答案為：.29.（2023秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，可得，可得，所以.故選：A.30．（2024·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）若，那么．【答案】1【分析】弦化切即可.【詳解】故答案為：131．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果，那么，，．【答案】1/0.6/0.6【分析】空一：由齊次式將弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方關(guān)系，將已知式中弦化切求值.【詳解】由，得，，．故答案為：1，，32．（2024·廣東廣州·高三廣州市第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形為，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡為，即可求得答案.【詳解】由題意知，則，故選：D33.（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以原式（2）因為，所以34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┮阎?1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根據(jù)弦切齊次式即可求解.【詳解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）35.（2023秋·高一課時練習(xí)）若，則.【答案】【詳解】，，解得：.故答案為：.36．（2024·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，再利用“1”的變換，將所求的式子化為關(guān)于的齊次分式，化弦為切，即可求解.【詳解】若，則，不合題意，所以，由，可得，解得，所以.故選：C.37．（2024·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知角終邊上,且，求的值．【答案】2或0【分析】首先根據(jù)正切函數(shù)的定義，求，再將關(guān)于的齊次分式轉(zhuǎn)化為正切表示，最后代入求值.【詳解】由于，故，解得.當(dāng)時,，當(dāng)，38.（2023秋·江西·高二寧岡中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于，所以，所以.（2）.考點(diǎn)五由條件等式求正、余弦39．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┤?，則【答案】【分析】由已知結(jié)合，求解、的值，由即可求解.【詳解】由可得：，由可得：，解得：或，因為，所以，所以，，，故答案為：.40．（2024·四川南充·高一統(tǒng)考期末）若，則.【答案】【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系變形即可得解.【詳解】因為，所以，由題：，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出其中隱含的平方關(guān)系，構(gòu)造出的等價形式求解.41.（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，則．【答案】【詳解】因為，顯然，則.故答案為：.42.（2023秋·四川眉山·高二校考開學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故選：A43．（2024·高一課時練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和角的范圍可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，由同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故選：C.44．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)有，結(jié)合平方關(guān)系可得，再求出目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，又，所以，則.故選：C45．（2024·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）已知，那么的值為（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，代入即可求解.【詳解】，則，解得或（舍去），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)六sinθ±cosθ型求值問題46.（2023·全國·高一課堂例題）已知，求的值．【答案】【詳解】因為，兩邊平方，得，即．將代入上式，得．47.（2023·全國·高一課堂例題）的三個內(nèi)角為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以為，，故可得，故，則.故選：D.48.（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，化簡：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】且，所以，所以故選：D49.（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知為第四象限角，且，則.【答案】/【詳解】因為為第四象限角，則，，則，因為，將代入上式可得，因此，.故答案為：.50．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知（），求和的值．【答案】，.【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合三角函數(shù)的符號法則求解即得.【詳解】由，得，即，解得，而，則，因此，所以，.51．（2024·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎堑谒南笙藿?，且滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)得到，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，進(jìn)而求得，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由是第四象限角，可得，則，因為，可得，可得，又由，因為，可得，聯(lián)立方程組，可得，所以.故答案為：.52．（2024·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方得到，進(jìn)而得到，聯(lián)立求出，得到答案.【詳解】由，兩邊平方得，因為，所以，又，又因為，所以，，得，聯(lián)立與，求得，故故選：C53.（2023春·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）已知，.(1)求的值(2)求【答案】(1)(2)【詳解】（1），.（2），，又，；由得：（舍）或，.54．【多選】（2024·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南三中?？计谀┮阎?，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB選項，兩邊平方得到，再結(jié)合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結(jié)合角的范圍求出的值.【詳解】AB選項，兩邊平方得，，即，所以，B正確，因為，所以，故，所以，A正確；CD選項，，因為，，所以，故，C錯誤，D正確.故選：ABD55．【多選】（2024·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先利用題給條件求得的值，進(jìn)而得到的范圍，的值和的值.【詳解】由可得，，則，即解之得或,又，則，故，則選項B判斷正確；由，可得為第四象限角，又，則，則選項A判斷錯誤；，則選項C判斷錯誤；，則選項D判斷正確.故選：BD56．【多選】（2024·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對A，由平方法求得的符號，結(jié)合角的范圍即可判斷；對BCD，結(jié)合平方關(guān)系及角的范圍即可求解判斷.【詳解】對A，，∵，則，∴，∴，A對；對BCD，∵，，聯(lián)立可解得，，BD對，C錯.故選：ABD.57．（2024·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個根，則．【答案】/【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.【詳解】由題意得：，是