圓錐曲線的方程專題講義二高三數學一輪復習

人教A版數學圓錐曲線的方程專題二知識點一基本（均值）不等式的應用,由兩條直線垂直求方程,直線過定點問題,直線圍成圖形的面積問題典例1、已知直線方程為，其中.（1）當變化時，求點到直線的距離的最大值；（2）若直線分別與軸?軸的負半軸交于，兩點，求面積的最小值及此時的直線的方程.隨堂練習：已知直線方程為．（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負半軸交于、兩點，為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．典例2、已知直線．（1）為何值時，點到直線的距離最大?并求出最大值；（2）若直線分別與軸，軸的負半軸交于A，B兩點，求（為坐標原點）面積的最小值及此時直線的方程．

隨堂練習：已知直線：，：.（1）求直線過的定點P，并求出直線的方程，使得定點P到直線的距離為；（2）過點P引直線分別交，軸正半軸于A、B兩點，求使得面積最小時，直線的方程.典例3、已知直線：，.（1）證明直線過定點，并求出點的坐標；（2）在（1）的條件下，若直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；（3）若直線不經過第四象限，求的取值范圍.

隨堂練習：已知圓C:,直線(1)求證:無論取什么實數，直線恒過第一象限；(2)求直線被圓C截得的弦長最短時的值以及最短長度；(3)設直線與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程.知識點二橢圓的方程與橢圓（焦點）位置的特征,根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中向量共線比例問題典例4、已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數m的取值范圍.

隨堂練習：已知橢圓的右焦點為，離心率．（1）求的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若，求的方程．典例5、已知，是橢圓：的焦點，，是左、右頂點，橢圓上的點滿足，且直線，的斜率之積等于（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線交于，兩點，若，，其中，證明

隨堂練習：已知，，動點滿足，軸于點，，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線交曲線于，兩點，直線交曲線于，兩點，直線交軸于點，軸，證明：.典例6、已知平面上一動點到的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點的軌跡方程；（2）曲線上的兩點，，平面上點，連結，并延長，分別交曲線于點A，B，若，，問，是否為定值，若是，請求出該定值，若不是，請說明理由．

隨堂練習：已知橢圓的一個焦點為，其左頂點為A，上頂點為B，且到直線的距離為（O為坐標原點）．（1）求C的方程；（2）若橢圓，則稱橢圓E為橢圓C的倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線與橢圓C，E交于四點（依次為M，N，P，Q，如圖），且，證明：點在定曲線上．人教A版數學圓錐曲線的方程專題二答案典例1、答案：（1）（2）最小值是4，解：（1）直線方程為，即為，由，可得，則已知直線恒過定點，可得到直線的最大距離為（2）由題意可設直線的斜率為，則其方程為，可得直線在x、y軸上的截距分別為、，即，則.由，可得，所以，當且僅當，即時取等號.則的面積最小值是4，直線的方程為，即.隨堂練習：答案：（1）；（2）面積的最小值為，此時直線的方程為.解：（1）由題意可得.（2）在直線的方程中，令可得，即點，令可得，即點，由已知可得，解得，所以，，當且僅當時，等號成立，此時直線的方程為，即.典例2、答案：（1），距離最大值；（2）面積的最小值為12，直線l的方程為3x+2y+12=0.解：（1）已知直線，整理得，由，故直線過定點，點到直線的距離最大，即與定點的連線的距離就是所求最大值，所以為最大值．（2）∵，∴的斜率為，得，解得；若直線分別與軸，軸的負半軸交于A，B兩點，則設直線為，，則，，（當且僅當時，取“=”），故面積的最小值為12，此時直線l的方程為3x+2y+12=0.隨堂練習：答案：（1），：或（2）解:（1）由可得，所以直線的定點，到直線：的距離，解得或，所以直線：或（2）由題意，設直線：，因為直線分別交，軸正半軸于A、B兩點，所以令，，所以，當且僅當時等號成立，故所求直線方程為，即典例3、答案：（1）證明見解析，點的坐標為（2）或（3）解：（1）證明：整理直線的方程，得，所以直線過直線與的交點，聯立方程組，解得，所以直線過定點，點的坐標為.（2）當截距為0時，直線的方程為，即，當截距不為0時，設直線的方程為，則，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或.（3）當時，直線的方程為，符合題意；當時，直線的方程為，不符合題意；當，且時，，所以解得或，綜上所述，當直線不經過第四象限時，的取值范圍是：.隨堂練習：答案：（1）見解析；（2），長度為；（3）解:（1）由mxy+1m=0得y=mx+1m=m（x1）+1，則直線過定點D（1，1）在第一象限，故無論取什么實數，直線恒過第一象限；(2)若直線l被圓C截得的弦長最小，則此時滿足DC⊥l，D（1，1），C（1,2）

則DC的斜率k的斜率不存在，

則l的斜率k=0，即對應的=0，最短長度為(3)由（1）可知點D在圓內，設M（x，y），則由CM⊥DM得，∴．典例4、答案：（1）（2）解：（1）由題可知解得故橢圓的方程為.（2）當直線l的斜率不存在時，設，，，由，，得，同理，當,時，得，所以，當直線l的斜率存在時，即時，設直線的方程為，聯立消去y得.因為直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q，所以，即①.設，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡整理得④，將④代入①得，化簡得，解得或.綜上，m的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1）（2）或解：（1）設橢圓的半焦距為，∵右焦點為，∴，又∵離心率，∴，解得，∴的方程為．（2）設．，∴，即．∴，即，解得，設直線的斜率為，則，∴直線的方程為，即或．∴直線的方程為或．典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）因為：上的點滿足，所以表示焦點在軸上的橢圓，且，即，所以，，設，則，①所以直線的斜率，直線的斜率由已知得，即，②由①②得所以橢圓的方程為：（2）當直線的斜率為0時，與重合，與重合，，。成立.當直線的斜率不為0時，設的方程為聯立方程組，消整理得，所以，解得或設，，則，由，得，所以設，由，得所，所以，所以點在直線上，且所以是等腰三角形，且，所以，綜上，隨堂練習：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）設，，由，，，可得，化簡得，因為軸于點，所以，，，由，則，則，代入，可得，所以曲線的方程為.（2）由題意，設，則，，即，因為軸，所以，，則直線的方程為，聯立，化簡得，，即，因為在曲線上，所以，化簡得，因為在曲線上，所以，即，代入，可得，即，即，即，即，即，即，由于，且，所以.典例6、答案：（1）；（2）是定值，.解：（1）設，則，點到直線的距離.由已知可得，整理可得.所以，動點的軌跡是橢圓，方程為.（2）是定值，.當點在軸上時，不妨設點為橢圓右端點，由已知可得，，所以，，，，所以，，即，，所以.同理可得，當點為橢圓左端點時，，，所以；當點不在軸上時，設，直線方程為，直線方程為.聯立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據韋達定理有.聯立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據韋達定理有.又，，，，因為，，所以，所以.又，，所以，所以，又，所以，所以.綜上所述，.所以，是定值，.隨堂練習：答案：