福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市部分地區(qū)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷【滿分：150】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量,滿足,,則()A.-1 B.2 C.15 D.193.為了迎接2025年第九屆亞冬會(huì)的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會(huì)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng).已知該班男生30人，女生20人.按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：男生答對(duì)題目的平均數(shù)為10，方差為1；女生答對(duì)題目的平均數(shù)為15，方差為0.5，則這10人答對(duì)題目的方差為()A.6.8 B.6.9 C.7 D.7.24.已知m，n是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則5.為了加深師生對(duì)黨史的了解,激發(fā)廣大師生知史愛黨,知史愛國的熱情,某校舉辦了“學(xué)黨史,育文化的黨史知識(shí)競(jìng)賽,并將1000名師生的競(jìng)賽成績（滿分100分,成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法錯(cuò)誤的為()A.a的值為0.005 B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分D.估計(jì)成績低于60分的有250人6.在中,,,M,N為線段上（不包含端點(diǎn)）不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).若,則()A.3 B.4 C.6 D.77.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,記事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3”,事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”,則下列說法正確的是()A.A與B互為對(duì)立事件 B.C. D.8.在正三棱柱中,,,O為BC的中點(diǎn),M,N分別為線段,AM上的動(dòng)點(diǎn),且,則線段MN的長度的取值范圍為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓,直線,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),則()A.直線l恒過定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí),最長C.當(dāng)時(shí),弦AB最短D.最短弦長10.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則向量a與向量b的夾角的余弦值為D.若，則向量b在向量a上的投影向量為11.在菱形ABCD中,,,將沿對(duì)角線BD折起,使點(diǎn)A至點(diǎn)P（P在平面ABCD外）的位置,則()A.在折疊過程中,總有B.存在點(diǎn)P,使得C.當(dāng)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與所成角的余弦值為______.13.已知互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)閤，y，z，6.若這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________.14.在圓臺(tái)中,圓的半徑是2,母線,圓是的外接圓,,,則三棱錐體積最大值為___________．四、解答題：本題共5分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖,在中,,點(diǎn)E為中點(diǎn),點(diǎn)F為上的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)C,設(shè).(1)用,表示,;(2)如果,,且,求.16.（15分）甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,采取積分制,規(guī)則如下:每勝1局得1分,負(fù)1局或平局都不得分,積分先達(dá)到2分者獲勝;若第四局結(jié)束,沒有人積分達(dá)到2分,則積分多的一方獲勝;若第四周結(jié)束,沒有人積分達(dá)到2分,且積分相等,則比賽最終打平.假設(shè)在每局比賽中,甲勝的概率為,負(fù)的概率為,且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）求第三局結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率;（2）求甲獲勝的概率.17.（15分）如圖,在三棱臺(tái)中,,,,側(cè)棱平面,點(diǎn)D是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面;（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.（17分）某校高一年級(jí)開設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)(正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場(chǎng)計(jì)時(shí)往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.（1）由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)：（2）為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自和的概率：（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為6.25，在內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為0.5，求得分在內(nèi)的平均數(shù)和方差.19.（17分）在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并加以解答.已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若___________.（1）求角B;（2）若,點(diǎn)D在外接圓上運(yùn)動(dòng),求的最大值.

答案以及解析1.答案：D解析：因?yàn)?所以,所以,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:D.2.答案：D解析：因?yàn)?,所以.故選：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，則抽取的時(shí)候分層比為.則10個(gè)人中男女分別抽取了6人和4人.這10人答對(duì)題目的平均數(shù)為.所以這10人答對(duì)題目的方差為.故選：A.4.答案：D解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，過n作平面，使，則，因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，由線面垂直的性質(zhì)知B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，又，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，n可能在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選D.5.答案：C解析：根據(jù)頻率分布直方圖可知:,即,故A正確;由圖易得在區(qū)間,的人最多,故可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75,故B正確;,故成績低于60（分）的有250人,即D正確;由圖中前四組面積之和為:,圖中前五組面積之和為:,故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中,設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m,則有,故,即估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86分,故C錯(cuò)誤.故選:C.6.答案：C解析：因?yàn)?,所以,,設(shè),,則,又,且,不共線,則,所以.7.答案：C解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為,則,對(duì)于A,事件A,B可同時(shí)發(fā)生,故不是對(duì)立事件,A錯(cuò)誤,對(duì)于B,,,,故B錯(cuò)誤,對(duì)于C,,C正確,對(duì)于D,,,D錯(cuò)誤,故選:C8.答案：D解析：取的中點(diǎn)Q,連接OQ,如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,.因?yàn)镸是棱上一動(dòng)點(diǎn),設(shè),且,所以,.因?yàn)?所以.令,,則,.又函數(shù)在上為增函數(shù),所以線段MN的長度的取值范圍為.9.答案：AC解析：直線方程可化為,當(dāng),,故直線l恒過定點(diǎn),A正確;易知圓心,半徑,顯然當(dāng)直線l過圓心時(shí),最長,則,故B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)弦AB最短,即,故C正確;當(dāng)時(shí),則弦長,故D錯(cuò)誤.故選:AC10.答案：AC解析：若，則，解得，故A正確；若，則，解得，故B錯(cuò)誤；若，則.又，所以向量a與向量b的夾角的余弦值為，故C正確；若，則.又，所以向量b在向量a上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選AC.11.答案：AC解析：如圖所示,取PC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則,,因?yàn)?BD,平面BDE,所以平面BDE,又平面BDE,所以,A項(xiàng)正確;在菱形ABCD中,,,所以,當(dāng)沿對(duì)角線BD折起時(shí),,所以不存在點(diǎn)P,使得,B項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)PC=1時(shí),將正四面體補(bǔ)成正方體,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,三棱錐的外接球就是該正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的各面的對(duì)角線長為1.所以正方體的棱長為,設(shè)外接球的半徑為R,則,所以三棱錐的外接球的表面積,C項(xiàng)正確;當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),取BD的中點(diǎn)O,連接PO,OC,易知平面BCD,則,又,所以,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AC.12.答案：解析：因?yàn)?，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.13.答案：/解析：易知這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，即可得，所以；又因?yàn)檎麛?shù)x，y，z互不相等且，可得，，；由為正數(shù)，因此這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為4.5.故答案為：4.514.答案：解析：如圖,設(shè)圓,半徑分別為,,則,由正弦定理,,解得,設(shè)圓臺(tái)的高為h,則,在中,取,,由余弦定理,,即得,即得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因三棱錐的體積為,即時(shí),三棱錐的體積的最大值為.故答案為：15.答案：(1),(2)解析：(1)因?yàn)?所以,;(2)因?yàn)?所以,所以,由,可得,又,所以,所以.16.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知,乙每局獲勝的概率為,不獲勝的概率為.若第三局結(jié)束乙獲勝,則乙第三局必定獲勝,總共有2種情況:(勝,不勝,勝),(不勝,勝,勝).故（2）設(shè)事件B為“甲獲勝”.若第二局結(jié)束甲獲勝,則甲兩局連勝,此時(shí)的概率.若第三局結(jié)束甲獲勝,則甲第三局必定獲勝,總共有2種情況:(勝,不勝,勝),(不勝,勝,勝).此時(shí)的概率.若第四局結(jié)束甲以積分獲勝,則甲第四局必定獲勝,前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù),總共有9種情況:(勝,平,平,勝),(平,勝,平,勝),(平,平,勝,勝),(勝,平,負(fù),勝),(勝,負(fù),平,勝),(平,勝,負(fù),勝),(負(fù),勝,平,勝),(平,負(fù),勝,勝),(負(fù),平,勝,勝).此時(shí)的概率若第四局結(jié)束甲以積分獲勝,則乙的積分為0分,總共有4種情況:(勝,平,平,平),(平,勝,平,平),(平,平,勝,平),(平,平,平,勝).此時(shí)的概率故17.答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意可得,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,即,,則,,,平面.（2）由（1）知,,設(shè)平面的法向量為,則,令,即,,即,由（1）知,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,即,.即,設(shè)平面與平面的夾角為,則,平面與平面的夾角的余弦值為.18.答案：（1），85；（2）；（3）得分在內(nèi)的平均數(shù)為81，方差為26.8.解析：（1）由題意得：，解得，設(shè)第60百分位數(shù)為x，則，解得，第60百分位數(shù)為85.（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為A、B，在的有人，設(shè)為a、b、c.則樣本空間為，.設(shè)事件“兩人分別來自和，則，，因此，所以兩人得分分別來自和的概率為.（3）由題意知，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè)，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè).記在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為，，，，平均分為，方差為；在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為為，，，，平均分為，方差為；這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.由題意，，，，，且，，則.根據(jù)方差的定義，由，可得故得分在