考研歷年真題過的數(shù)學真題

(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為/(x,)，)的極值點

2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷(4)設向量組I：aq4，…，,可由向量組止即K，…，，線性表示，則

(A)當r<s時,向量組II必線性相關(B)當r>s時,向量組II必線性相關

一、填空題(本題共6小題.每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(C)當r<s時,向量組I必線性相關(D)當r>s時,向量組I必線性相關

](5)設有齊次線性方程組Ax=0和B.r=0,其中A,B均為mxn矩陣，現(xiàn)有4個命題：

(DlimCcosA)1"^=.

A-?0

①若Xx=0的解均是Bv=0的解，則秩(A)2秩(B)

(2)曲面z=/+V與平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是.

②若秩(A)N秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解

(3)設Y=Z。”cosnx(-7r0xW乃)，則a2=.

n=0③若M=0與Bv=0同解，則秩(A)=秩(B)

(4)從R2的基叩=|；),2=Cj到基PP=Q，2=(j的過渡矩陣為.④若秩(4)二秩(8),則AY=0與Bx=O同解

以上命題中正確的是

(A)①②(B)①③

6vOWYWVWI

?￡，則尸{x+ysi}=_______.(CX2)@(D)(3)@

o其匕

{⑹設隨機變量x~，(〃)(〃>1),y=—L，則

X-

⑹已知一批零件的長度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(〃,l),從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40

(A)Y(B)Y

(cm),則〃的置信度為0.95的置信區(qū)間是.

(注:標準正態(tài)分布函數(shù)值0(1.96)=0.975,0(1.645)=0.95.)(c)y~FS,i)(D)y~尸。,〃)

二、選擇題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求，把所選項三、(本題滿分10分)

前的字母填在題后的括號內)

過坐標原點作曲線y=In.r的切線，該切線與曲線y=Inx及x軸圍成平面圖形D.

(D設函數(shù))(x)在(-8,+8)內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則/(x)有

⑴求。的面積A.

(A)一個極小值點和兩個極大值點⑵求D繞直線x=e旋轉?周所得旋轉體的體積丫.

(B)兩個極小值點和一個極大值點

(C)兩個極小值點和兩個極大值點

(D)三個極小值點和一個極大值點

⑵設均為非負數(shù)列，且lima”=0,limb,=l.lim*=8,則必行

"-*8A-*a>n—?oo

(A)a“vbn對任意n成立(B)b”<cn對任意〃成立

(C)極限lima”卻不存在(D)極限limag不存在

r?f8”一>o0

(3)已知函數(shù)/'(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續(xù)，且lim"尸)；？=1,則

iOqtO(工-+}，-)-

(A)點(0,0)不是于(x,y)的極值點

(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點

(C)點(0,0)是/(x,y)的極小值點

四、(本題滿分12分)

將函數(shù)/(X)=arctan上處展開成x的舞級數(shù)，并求級數(shù)之攵!匚的和.

1+2x“=o2〃+1

七、(本題滿分12分)

設函數(shù)y=y(x)在(YO,+O。)內具有二階導數(shù),且y'工0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù).

⑴試將x=x(y)所滿足的微分方程々+(v+sin,r)(—)3=0變換為y=y(x)滿足的微分方程.

dy-dy

3

(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,)/(0)=|的解.

五、(本題滿分10分)

已知平面區(qū)域D={(X,>')|0VxK汗，0?yK%},L為。的正向邊界.試證:

⑴辦-y^iQXdx=dx.

myax

⑵\ixedy-y^dx>27t\

八、(本題滿分12分)

設函數(shù)/(幻連續(xù)且恒大于零.

加,(一+y2+Z2)A'/1+y2)dff

勺)二~;------.G(z)=-----------

六、(本題滿分10分)\\f(x-+y-)daff(x2)dx

某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進上層.汽錘每次擊打，都將克服上層對樁的阻力而作功.設土層對樁的阻0(/)山

力的大小與樁被打進地卜的深度成正比(比例系數(shù)為匕A>0).汽錘第一次擊打將樁打進地卜am.根據(jù)設計方案，要其中C(z)={(x,y,z^x2+y2+z2<t2],D(t)={(x,y)\x2+y2</2}.

求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)問

(1)討論尸⑴在區(qū)間(0,+oo)內的單調性.

(1)汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度

單位米.)2

(2)證明當￡>0時,尸⑴>-G(t).

十一、(本題滿分10分)

已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中

任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：

(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望.

(2)從乙箱中任取件產(chǎn)品是次品的概率.

九、(本題滿分10分)

設矩陣A=PAP,求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩

陣,E為3階單位矩陣.

十二、(本題滿分8分)

設總體X的概率密度為

Jx>0

“'t0x<0

十、(本題滿分分)

8其中6〉0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機樣本X1,X2,…,X”,記。=min(X1,X?,…,X”).

已知平面上三條不同直線的方程分別為《：姓+2力+3c=0,/2:bx+2cy+3a=0,13:

(1)求總體X的分布函數(shù)產(chǎn)").(2)求統(tǒng)計量0的分布函數(shù)F°(x).(3)如果用0作為0的估計量，討論它是否具有

CA+2少+3〃=0.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為a+b+c=0.

無偏性.

2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試(C)若級數(shù)收斂，則lim/%=0

/|=1

數(shù)學(一)試卷

(D)若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)總使得lim=4

n-*?

一、填空題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)n=l

(1)曲線y=Inx上與直線x+y=1垂直的切線方程為.(10)設/(x)為連續(xù)函數(shù),F(r)=Jdy[/(x)dj則尸'(2)等于

⑵已知f'(一)=趾-',且f(1)=0,則/(x)=.(A)2/(2)(B)/(2)

(3)設L為正向圓周/+丁=2在第一象限中的部分，則曲線積分的值為.(C)-/(2)(D)0

(11)設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，再把B的第2列加到第3歹U得C廁滿足AQ=C的可

(4)歐拉方程/巴:+4x絲+2y=0(x>0)的通解為__________.逆矩陣Q為

dx~dx

01O-一01O-

-

21O-(A)100(B)101

(5)設矩陣A=120，矩陣B滿足ABA*=2BA+E.其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則101001

_001_

一()1(Voir

B|=----------(C)100(D)100

_011001

(6)設隨機變量X服從參數(shù)為A的指數(shù)分布，則P[X>4DX}=.

(12)設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有

二、選擇期(本題共8小題.短小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求，把所選項

(A)A的列向量組線性相關,B的行向量組線性相關

前的字母填在題后的括號內)

⑺把X->0'時的無窮小量a=/cos/力]=Jtan=『sin/力，使排在后面的是前?個的高階(B)A的列向量組線性相關,B的列向量組線性相關

無窮小，則正確的排列次序是

(C)A的行向量組線性相關,B的行向量組線性相關

(A)a,/7,y(B)a,7,/?

(D)A的行向量組線性相關,B的列向量組線性相關

(C)(D)/7,y,a

(13)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),對給定的。(0<。<1),數(shù)〃々滿足P{X>%}=二，若

(8)設函數(shù)f(x)連續(xù)，且/f(0)>0,則存在b>0,使得

戶{兇<1}=。,則》等于

(A)/(x)在(0,3)內單調增加(B)f(x)在(一5,0)內單調減少

(A)%(B)Ma

—I----

22

(C)對任意的x￡(0?)有/Ct)>/(0)(D)對任意的xe(一瓦0)有f(x}>/(0)

(c)〃*(D)ux_a

2

(9)設為正項級數(shù).卜列結論中正確的是

n=\(i4)設隨機變量x”x,,…,x.(〃>i)獨立同分布，且其方差為b?>0.令丫=,￡乂：，則

n,=1

(A)若limmz=0,則級數(shù)fa收斂

n->?

n=l2

(A)Cov(X,,r)=—(B)Cov(Xpy)=a

n

(B)若存在非零常數(shù)/，使得linyia”=3則級數(shù)之“.發(fā)散

(C)Z)(Xj+丫)=七吧/(D)Z)(X|-丫)=3/

nn

三、解答題（本題共9小題.滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）(17)(本題滿分12分)

（15）（本題滿分12分）計算曲面積分/=\\ixydydz+2yydzdx+3(e-V)dxdy,其中Z是曲面z=1---y2(z>0)的」:側.

設evavbve?,證明In'b-hfa>-（b-a）.

e-

（16）（本題滿分11分）

某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速（18）（本題滿分11分）

并停下.

設右方程.v"+n.v-l=0，其中"為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實根%,并證明當a>1時，級數(shù)￡<收斂.

現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700knVh經(jīng)測試堿速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機

的速度成正比（比例系數(shù)為k=6.0xKT）.問從著陸點算起飛機滑行的最長距離是多少？

（注:kg表示千克,km/h表示千米/小時）

(19)(本題滿分12分)

設z=z(x,y)是由x2-6xy+lOy2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù),求z=z(x,y)的極值點和極值.

(21)(本題滿分9分)

-12-3'

設矩陣A=-14-3的特征方程有?個二面根，求。的值，并討論A是否可相似對角化.

1a5

(20)(本題滿分9分)

(1+。)玉+占+…+%=0,

設有齊次線性方程組心占+(2+叭+…+2*.=0,(“W2),

nxx+nx2+…+(〃+=0,

試問?取何值時，該方程組有非零解,并求出其通解.

（23）（本題滿分9分）

(22)(本題滿分9分)設總體X的分布函數(shù)為

設A,B為隨機事件.FLP(A)=LP(81A)=LP(AI8)=L令

432F(X,0)=

v[1,4發(fā)生，vfl,B發(fā)生,

10,A不發(fā)生；[0,B不發(fā)生.

其中未知參數(shù)夕＞I,X],X2,…,X”為來自總體X的簡單隨機樣本,

求：（i）二維隨機變量（x,y）的概率分布.（2）x和丫的相關系數(shù)

求:⑴尸的矩估計量.⑵尸的最大似然估計量.

(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)1=(x,y)

2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試Z

(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隙函數(shù)工=x(y,z)和Z=Z(x.y)

數(shù)學(一)試卷

(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(X>z)和z=z(x,y)

一、填空題(本題共6小題.每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)

2(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z)

(1)曲線y的斜漸近線方程為_____________.

2A-+1

(II)設4,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為apt2,則叫，AM+2)線性無關的充分

(2)微分方程孫'+2y=A-Inx滿足y(l)=-1的解為.

必要條件是

(3)設函數(shù)"(x,y,z)=l+,+^+工，單位向量萬=簽｛1,1,1｝,則1^“，“=---------

(A)4±0(B)%。。

(C)4=0(D)Z,=0

(4)設Q是由錐面z=+也與半球面z=yl^-x--y2圍成的空間區(qū)域,X是Q的整個邊界的外例，則

J卜力也+ydzdx+zdxdy=.(12)設A為n(n>2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B.A,.B*分別為A.B的伴隨矩陣，則

(A)交換A，的第1列與第2列得B’(B)交換A"的第1行與第2行得B，

(5)設apta”3均為3維列向量,記矩陣

(C)交換A?的第1列與第2列得-B.(D)交換A*的第1行與第2行得-B

A(M融2,3).Boc^xqttao^tH?1+22+43,1+32+93),

(13)設二維隨機變量(X,丫)的概率分布為

如果|A|=1,那么|B|二—,

01

(6)從數(shù)1,234中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,…,X中任取一個數(shù)，記為y,則P｛y=2)=.00.4a

1b0.1

二、選擇題(本題共8小題,每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.把所選項已知隨機事件｛X=0｝與｛x+丫=1｝相互獨立，則

前的字母填在題后的括號內)

(7)設函數(shù)/,(X)=lini.1+k『，則/(x)在(-8,+8)內(A)a=0.2,6=0.3(B)a=0.4,〃=0.1

(A)處處可導