統(tǒng)計第七課學(xué)習(xí)教案

本課內(nèi)容(nèiróng)正則系綜（N，V，T）：1、正則分布2、正則分布的熱力學(xué)公式3、正則分布應(yīng)用舉例巨正則系綜（

，V，T）：1、巨正則分布2、巨正則分布的熱力學(xué)公式3、巨正則分布應(yīng)用舉例:玻色－費米分布的導(dǎo)出（自學(xué)）第1頁/共31頁第一頁，共32頁。什么(shénme)是系綜？當(dāng)微觀狀態(tài)處在體積元d內(nèi)時，微觀量B的數(shù)值(shùzí)為B（q，p）。微觀量B在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值（宏觀量）為：為了形象的表示上式給出的統(tǒng)計平均值，我們設(shè)想(shèxiǎng)有大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，處在相同的給定的宏觀條件下。這大量系統(tǒng)的集合稱為系綜。顯然，在統(tǒng)計系綜所包含的大量系統(tǒng)中，在時刻t運動狀態(tài)處在d內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)目將與（q，p，t）成正比。如果在時刻t，從統(tǒng)計系綜中任意選取一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)處在d內(nèi)的概率為：（q，p，t）dt。這樣，上式可以看作是微觀量B在統(tǒng)計系綜上的平均值。微正則分布【（N，V，E）系統(tǒng)】：一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等（等概率原理）。這也稱為微正則分布（N，V，E）。第2頁/共31頁第二頁，共32頁。正則分布(fēnbù)【（N，V，T）系統(tǒng)】：前面討論了處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)的分布函數(shù)(hánshù)－微正則分布。研究的系統(tǒng)的粒子數(shù)、體積和能量不變，即：N，V，E系統(tǒng)。對于孤立系統(tǒng)，每個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。在實際問題中往往需要討論具有(jùyǒu)確定的粒子數(shù)、體積和溫度的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的分布稱為正則分布，即：N，V，T系統(tǒng)。微正則分布【（N，V，E）系統(tǒng)】：巨大的熱源TN，V，T系統(tǒng)N，V，T系統(tǒng)，可以設(shè)想為與巨大的熱源接觸而達(dá)到平衡的系統(tǒng)。系統(tǒng)和熱源之間存在著熱量交換，所以系統(tǒng)的可能的微觀狀態(tài)具有不同的能量。由于熱源巨大，所以接觸不會改變熱源的溫度，因此平衡時兩者具有系統(tǒng)的溫度。第3頁/共31頁第三頁，共32頁。正則(zhènɡzé)分布【（N，V，T）系統(tǒng)】：我們(wǒmen)可以把熱源和系統(tǒng)合起來看作是一個復(fù)合系統(tǒng)。這種系統(tǒng)具有固定的能量E，體積V和粒子數(shù)目N，是一個孤立系統(tǒng)。假設(shè)熱源和系統(tǒng)之間的相互作用很弱，則復(fù)合系統(tǒng)的能量為：由于熱源很大，所以(suǒyǐ)必然有：當(dāng)系統(tǒng)處在能量為Es的狀態(tài)時，熱源可處在能量為E（0）－Es的任何一個微觀狀態(tài)。以

r（E（0）－Es）表示能量為E（0）－Es的熱源的微觀狀態(tài)數(shù)目。那么，當(dāng)系統(tǒng)處在S態(tài)時，復(fù)合系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為：r（E（0）－Es）。復(fù)合系統(tǒng)是一個孤立系統(tǒng)，它的每一個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，總的微觀狀態(tài)數(shù)目為常數(shù)：

isolated（E（0））。所以，系統(tǒng)處在S態(tài)的概率與r（E（0）－Es）成正比。即：第4頁/共31頁第四頁，共32頁。正則(zhènɡzé)分布【（N，V，T）系統(tǒng)】：復(fù)合系統(tǒng)的微觀狀態(tài)(zhuàngtài)數(shù)目r（E（0）－Es）是一個極大的數(shù)。它隨著能量E的增加而迅速增加。所以討論其對數(shù)lnr比較方便。這是熱源的熵函數(shù)。不是復(fù)合(fùhé)系統(tǒng)的。為什么？T是熱源的溫度。系統(tǒng)與熱源達(dá)到熱平衡時，T也是系統(tǒng)的溫度，上式中右方第一項對于系統(tǒng)來說是常數(shù)。所以有：第5頁/共31頁第五頁，共32頁。正則分布(fēnbù)【（N，V，T）系統(tǒng)】：將s規(guī)一化，有：這樣(zhèyàng)，就得到了系統(tǒng)處在狀態(tài)S上的概率。左式中的Z稱為配分函數(shù)。很明顯，它與微正則分布不同。上式給出了具有確定(quèdìng)的粒子數(shù)N，體積V和溫度T的系統(tǒng)的分布函數(shù)。式中的配分函數(shù)Z有下式計算：左邊的求和是：對粒子數(shù)為N和體積為V的系統(tǒng)的所有的微觀狀態(tài)求和。需要考慮粒子的全同性。上面給出的式子表明，系統(tǒng)處在微觀態(tài)S上的幾率只是與態(tài)S的能量Es有關(guān)。假設(shè)用El表示系統(tǒng)的能級，l表示該能級的簡并度（l＝1，2，…），則系統(tǒng)處在能級El的概率為：則配分函數(shù)可以改寫成：第6頁/共31頁第六頁，共32頁。正則(zhènɡzé)分布【（N，V，T）系統(tǒng)】：上式是正則分布(fēnbù)的量子表達(dá)式。正則分布(fēnbù)的經(jīng)典表達(dá)式為：正則分布的量子表達(dá)式如下。其中的求和(qiúhé)遍及所有的能級。請注意：

系統(tǒng)的能級的簡并度與在能量準(zhǔn)連續(xù)時的態(tài)密度之間的關(guān)系。（類似于前面所學(xué)的知識）。第7頁/共31頁第七頁，共32頁。由正則系綜導(dǎo)出分布(fēnbù)【（N，V，T）系統(tǒng)】函數(shù)：前面(qiánmian)利用孤立系統(tǒng)的方法導(dǎo)出正則分布。下面利用正則系綜導(dǎo)出分布函數(shù)。

設(shè)想大量具有確定的N，V，T值，而且微觀結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)組成一個集合，稱為正則系綜。系綜中的一個成員就是我們研究的對象（虛線方框內(nèi)），其他的系統(tǒng)的和組成熱源，或者說外部環(huán)境。由于系統(tǒng)和熱源達(dá)到平衡時，它們之間交換的能量甚小，所以系綜中各個系統(tǒng)之間的相互作用可以忽略。這樣，我們就可以利用類似于近獨立粒子系統(tǒng)的方法處理了（把每個系統(tǒng)看作是巨粒子）。AAAAAAAAAAAA假設(shè)(jiǎshè)系綜內(nèi)巨粒子（系統(tǒng)）的總數(shù)目為M（M>>1），則系綜的總能量為各個系統(tǒng)的能量U的和。假設(shè)(jiǎshè)有Ms個系統(tǒng)處在能級為Es的微觀狀態(tài)上，則任意分布{Ms}滿足兩個約束方程：第8頁/共31頁第八頁，共32頁。對于任一分布{Ms}，系綜的微觀狀態(tài)數(shù)目為：

要確定系綜的一個微觀態(tài)，必須確定系綜內(nèi)各個系統(tǒng)(xìtǒng)所處的量子態(tài)。因為系統(tǒng)(xìtǒng)在空間內(nèi)位置可以分辨，所以系綜的微觀狀態(tài)數(shù)目為：對于任一分布(fēnbù){Ms}，滿足兩個約束方程：根據(jù)孤立系統(tǒng)平衡(pínghéng)時各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等，正則系綜的各個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等。所以右式取極大值時的條件為（條件極值）：系綜內(nèi)系統(tǒng)的數(shù)目不變；系綜能量守恒。由正則系綜導(dǎo)出分布【（N，V，T）系統(tǒng)】函數(shù)：第9頁/共31頁第九頁，共32頁。引入兩個(liǎnɡɡè)拉氏乘子和，帶入上式（變分法），有：上式給出了在給定條件（N，V，T）下，系綜中處于微觀態(tài)S上的系統(tǒng)數(shù)目。所以(suǒyǐ)一個系統(tǒng)的平均能量為：由正則系綜導(dǎo)出分布【（N，V，T）系統(tǒng)(xìtǒng)】函數(shù)：第10頁/共31頁第十頁，共32頁。這樣，我們利用(lìyòng)正則系綜的最可幾分布，得到了正則分布函數(shù)：上式類似于玻爾茲曼分布。系綜內(nèi)任一個(yīɡè)系統(tǒng)的能量值為：系綜其實是一種處理手段。系統(tǒng)的一個宏觀量本來是對應(yīng)的微觀量在某一段時間內(nèi)的條件平均，利用系綜轉(zhuǎn)變成在一個統(tǒng)計系綜上的平均值。對于經(jīng)典情況，公式(gōngshì)類似前面。由正則系綜導(dǎo)出分布【（N，V，T）系統(tǒng)】函數(shù)：第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。正則分布(fēnbù)討論的對象是：具有確定的粒子數(shù)N，體積V和溫度T的系統(tǒng)，即：（N，V，T）（N，V，）。相當(dāng)于與巨大的熱源接觸而達(dá)到平衡的系統(tǒng)。系統(tǒng)的可能的微觀狀態(tài)可以具有不同的能量值。內(nèi)能是在給定條件下所有的可能的微觀狀態(tài)上的平均值：！！我們需要尋找(xúnzhǎo)內(nèi)能與系統(tǒng)的配分函數(shù)Z之間的關(guān)系。正則分布(fēnbù)【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。廣義力的定義(dìngyì)如右：據(jù)此得到廣義力與系統(tǒng)(xìtǒng)的配分函數(shù)Z之間的關(guān)系如下：一個特殊的例子，就是系統(tǒng)(xìtǒng)的壓強P：正則分布【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。根據(jù)以前類似的方法(fāngfǎ)，得到：根據(jù)定義(dìngyì)，Z應(yīng)當(dāng)是和y的函數(shù)。所以有：正則分布(fēnbù)【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。根據(jù)以前類似的方法(fāngfǎ)，得到：熱力學(xué)第二(dìèr)定律：所以，對于具有(jùyǒu)確定的N，V，T的系統(tǒng)（正則分布），只要知道了配分函數(shù)Z，就可以求出基本的熱力學(xué)函數(shù)。對于具有確定的N，V，E的系統(tǒng)（微正則分布），只要知道了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目，就可以求出基本的熱力學(xué)函數(shù)。正則分布【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。下面(xiàmian)證明：正則分布【（N，V，T）系統(tǒng)(xìtǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。下面(xiàmian)證明玻爾茲曼公式：假設(shè)系統(tǒng)(xìtǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為，則有：正則分布【（N，V，T）系統(tǒng)(xìtǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。前面的式子給出的系統(tǒng)的能量是在一切可能(kěnéng)的微觀狀態(tài)上的平均值。當(dāng)系統(tǒng)處在態(tài)S上時，其能量為Es，與系統(tǒng)的能量的偏差為Es－U。我們將偏差的平方和的平均值定義為能量漲落：對于正則(zhènɡzé)分布，有：

s正則(zhènɡzé)分布【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。所以(suǒyǐ)有：這樣，就將能量的自發(fā)漲落同內(nèi)能隨著溫度的變化率聯(lián)系起來了。很明顯，系統(tǒng)的定容熱容量是恒正的（熱力學(xué)中系統(tǒng)的一個平衡(pínghéng)穩(wěn)定條件）。能量(néngliàng)的相對漲落為：對于宏觀系統(tǒng)，粒子數(shù)目一般為1023量級，所以系統(tǒng)的能量漲落是很小的。正則和微正則系綜是等價的。前者選用F，后者選用S。正則分布【（N，V，T）系統(tǒng)】的熱力學(xué)函數(shù)：第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】系統(tǒng)前面討論了具有確定的N，V，T的系統(tǒng)（正則分布）。在實際(shíjì)問題中，有時候需要討論具有確定的，V，T的系統(tǒng)（巨正則分布）。具有確定的，V，T的系統(tǒng)可以(kěyǐ)看作是同巨大的熱源和粒子源接觸，通過能量交換和粒子交換達(dá)到平衡。所以，系統(tǒng)的各個微觀狀態(tài)的粒子數(shù)和能量可以(kěyǐ)不同。達(dá)到平衡后系統(tǒng)同熱源具有系統(tǒng)的溫度和化學(xué)勢。同樣地，我們可以將系統(tǒng)和熱源合成一個孤立系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N（0）和能量E（0）。假設(shè)N和Nr為系統(tǒng)和源的粒子數(shù)，能量分別為：E，Er，且兩者相互作用很弱。則有：巨大的熱源T

巨大的粒子源

，V，T系統(tǒng)第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。當(dāng)系統(tǒng)處在粒子數(shù)為N，能量為Es的量子態(tài)時，熱源(rèyuán)可以處在能量為E（0）－Es，粒子數(shù)為N（0）－N的任一狀態(tài)，共有狀態(tài)數(shù)為：r（E（0）－Es，N（0）－N）。此數(shù)目等于系統(tǒng)處在S態(tài)時復(fù)合系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目。所以，系統(tǒng)處在態(tài)S的幾率為：將lnr（E（0）－Es，N（0）－N）展成(zhǎnchénɡ)臺勞級數(shù)，有：巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】系統(tǒng)第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。由此可以推出系統(tǒng)(xìtǒng)處在能量為Es的量子態(tài)的概率為：將分布函數(shù)(hánshù)歸一化后，有：

其中為巨配分函數(shù)(hánshù)。巨正則分布(fēnbù)的經(jīng)典表達(dá)式為：巨正則分布：【（

，V，T）】系統(tǒng)第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。巨正則分布函數(shù)(hánshù)也可以由巨正則系綜推出。這里就不再推導(dǎo)了。巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】系統(tǒng)第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】的熱力學(xué)公式：巨正則分布討論具有確定的，V，T的系統(tǒng)。熱平衡時系統(tǒng)具有的平均粒子數(shù)目(shùmù)和能量為系統(tǒng)在各個微觀狀態(tài)上的平均值。第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。廣義力為：這樣(zhèyàng)，有：巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】的熱力學(xué)公式：第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。對于具有確定的（，V，T）系統(tǒng)，只要(zhǐyào)知道了系統(tǒng)的巨配分函數(shù)，就可以求出各種宏觀量。巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】的熱力學(xué)公式：第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。對于具有確定的（，V，T）系統(tǒng)，只要知道了系統(tǒng)的巨配分函數(shù)，就可以求出各種宏觀(hóngguān)量。其中粒子數(shù)的漲落為：粒子(lìzǐ)數(shù)的相對漲落為：巨正則分布(fēnbù)：【（，V，T）】的熱力學(xué)公式：第27頁/共31頁第二十七頁，共32頁。將右式用實驗(shíyàn)上易于測量的量表達(dá)出來。根據(jù)(gēnjù)熱力學(xué)公式：與粒子源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)，其粒子數(shù)與平均粒子數(shù)的偏差很小。所以(suǒyǐ)，巨正則系綜和正則系綜是等價的。只不過一個用F（NVT），一個用J（VT）。巨正則分布：【（

，V，T