概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的題型與方法課時(shí)

一、考試內(nèi)容離散型隨機(jī)變量的分布列，離散型隨機(jī)變量的期望值和平方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計(jì)，線性回歸。二、考試要求⑴了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列。

⑵了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差。

⑶會(huì)用抽機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。

⑷會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。

⑸了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。

⑹了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。

⑺會(huì)根據(jù)樣本的特征數(shù)估計(jì)總體。

⑻了解線性回歸的方法。

三、復(fù)習(xí)目標(biāo)了解典型分布列：0～1分布，二項(xiàng)分布，幾何分布。了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差。在實(shí)際中經(jīng)常用期望來(lái)比較兩個(gè)類似事件的水平，當(dāng)水平相近時(shí)，再用方差比較兩個(gè)類似事件的穩(wěn)定程度。了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式及其應(yīng)用。通過(guò)生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點(diǎn)圖等概念，會(huì)求回歸直線方程。了解相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式及其意義，會(huì)用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。了解相關(guān)性檢驗(yàn)的方法與步驟，會(huì)用相關(guān)性檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。四、雙基透視㈠隨機(jī)事件和統(tǒng)計(jì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)：㈡隨機(jī)事件和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容提要1．主要內(nèi)容是離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布和線性回歸。2．隨機(jī)變量的概率分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布列：ε……P……兩條基本性質(zhì)①…)；②P1+P2+…=1。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布：由頻率分布直方圖，估計(jì)總體分布密度曲線y=f(x)；總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：①f(x)≥0(x∈R)；②由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。3．隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（1）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：…；反映隨機(jī)變量取值的平均水平。（2）離散型隨機(jī)變量的方差：……；反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度。（3）基本性質(zhì)：；。4．三種抽樣方法。5．二項(xiàng)分布和正態(tài)分布（1）記ε是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則ε～B（n，p）；其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。（2）正態(tài)分布密度函數(shù)：期望Eε=μ，方差。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則，，。6．線性回歸：當(dāng)變量x取值一定時(shí)，如果相應(yīng)的變量y的取值帶有一定的隨機(jī)性，那么就說(shuō)變量y與x具有相關(guān)關(guān)系。對(duì)于它們的一組觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，如果與之相應(yīng)的在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)大體上集中在一條直線的附近，就說(shuō)變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)用來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著水平，通常通過(guò)查表取顯著水平自由度n-2的，若為顯著；否則為不顯著。㈢離散型隨機(jī)變量的分布列隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量最常見(jiàn)的兩種類型，即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的分布列：如果離散型隨機(jī)變量的可能取值為xi（i＝1，2，…），由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，于是隨機(jī)變量取每一個(gè)值也有一定的概率P（＝xi）＝pi，人們常常習(xí)慣地把它們寫(xiě)成表格的形式，如：x1x2…xi…Pp1p2…pi…這種表即為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱為的分布列。分布列的表達(dá)式可有如下幾種：（1）表格形式；（2）一組等式；（3）壓縮為一個(gè)帶“i”的等式。1．在實(shí)際問(wèn)題中，人們常關(guān)心隨機(jī)變量的特征，而不是隨機(jī)變量的具體值。離散型隨機(jī)變量的期望和方差都是隨機(jī)變量的特征數(shù)，期望反映了隨機(jī)變量的平均取值，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位。2．離散型隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算公式設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為P（＝xi）＝pi，i＝1，2，…，則：E＝ipi，D＝i－E)2pi＝i2pi－(E)2＝E(2)－(E)2。3．離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)E(a＋b)＝aE＋b，D(a＋b)＝a2D。4．二項(xiàng)分布的期望與方差若～B(n，p)，則E＝np，D＝np(1－p)。㈣抽樣方法三種常用抽樣方法：1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N。如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法。2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（1）將總體中的個(gè)體編號(hào)；（2）將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段；（3）確定起始的個(gè)體編號(hào)；（4）抽取樣本。3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。㈤總體分布的估計(jì)總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布。總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。㈥正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：，①式中的實(shí)數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)總體是有無(wú)限容量的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(μ，σ2)。①的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)①中，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是，，②相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個(gè)總體的分布時(shí)，往往總是從總體中抽取一個(gè)樣本，并用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大且分組的組距無(wú)限縮小時(shí)，頻率分布直方圖就會(huì)演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線。可以知道，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。1．正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來(lái)理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布。一般說(shuō)來(lái)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對(duì)于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對(duì)穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測(cè)量的誤差；炮彈落點(diǎn)的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似描述，另外，一些分布又可以通過(guò)正態(tài)分布來(lái)導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。2．正態(tài)曲線及其性質(zhì)對(duì)于正態(tài)分布函數(shù)：，x∈（-∞，+∞）由于中學(xué)知識(shí)范圍的限制，不必去深究它的來(lái)龍去脈，但對(duì)其函數(shù)圖像即正態(tài)曲線可通過(guò)描點(diǎn)（或計(jì)算機(jī)中的繪圖工具）畫(huà)出課本圖1-4中的圖（1）、（2）、（3），由此，我們不難自己總結(jié)出正態(tài)曲線的性質(zhì)。3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，它是本小節(jié)的重點(diǎn)。由于它具有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。對(duì)于抽像函數(shù)，課本中沒(méi)有給出具體的表達(dá)式，但其幾何意義非常明顯，即由正態(tài)曲線N（0，1）、x軸、直線所圍成的圖形的面積。再由N（0，1）的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，可以得出等式，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率。4．一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，研究其在某個(gè)區(qū)間的概率時(shí)，無(wú)法利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)我們自然會(huì)思考：能否將一般的正態(tài)總體轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)總體N（0，1）進(jìn)行研究。人們經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。對(duì)于這個(gè)公式，課本中不加證明地給出，只用了“事實(shí)上，可以證明”這幾個(gè)字說(shuō)明。這表明，對(duì)等式的來(lái)由不作要求，只要會(huì)用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。5．“小概率事件”和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，因?yàn)閷?duì)于這類事件來(lái)說(shuō)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)20次，才能發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識(shí)便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)識(shí)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5%的犯錯(cuò)誤的可能。就是說(shuō)，這里在概率的意義上所作的推理與過(guò)去確定性數(shù)學(xué)中的“若a則b”式的推理有所不同。課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來(lái)介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)一般分三步：第一步，提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是這個(gè)工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布。第二步，確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍（μ-3σ，μ+3σ）。第三步，作出推斷。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)；如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)。上面這種拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)的推理，與我們過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)的反證法有類似之處。事實(shí)上，用反證法證明一個(gè)問(wèn)題時(shí)，先否定待證命題的結(jié)論，這本身看成一個(gè)新的命題，從它出發(fā)進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)了矛盾，就把這個(gè)矛盾歸因于前述新命題不正確，從而將它否定。否定了新命題，也就等于證明了原命題的結(jié)論。㈦線性回歸回歸分析：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系?；貧w直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個(gè)方程為y對(duì)x的回歸直線方程。1．相關(guān)關(guān)系研究?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對(duì)于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。即對(duì)于邊長(zhǎng)x的每一個(gè)確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系。（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長(zhǎng)高，而是涉及到第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大身高也會(huì)高些。（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長(zhǎng)x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)，由于測(cè)量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，還可使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。2．回歸分析本節(jié)所研究的回歸分析是回歸分析中最簡(jiǎn)單，也是最基本的一種類型——一元線性回歸分析。對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：（1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。（2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。（3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。3．相關(guān)系數(shù)有時(shí)散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程。顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒(méi)有實(shí)際意義。那么，在什么情況下求得的回歸直線方程才能對(duì)相應(yīng)的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)具有代表意義？課本中不加證明地給出了相關(guān)系數(shù)的公式。相關(guān)系數(shù)公式的作用在于，我們對(duì)一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析，而不是僅憑畫(huà)出散點(diǎn)圖，直覺(jué)地從散點(diǎn)圖的形狀粗淺地得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度。4．線性相關(guān)性檢驗(yàn)相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的具體辦法。限于要求，中學(xué)階段只要求掌握這種檢驗(yàn)方法的操作步驟，而不要求對(duì)這種方法包含的原理進(jìn)行深入研究。其具體檢驗(yàn)的步驟如下：（1）在課本中的附表3中查出與顯著性水平與自由度n-2（n為觀測(cè)值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值。（2）根據(jù)公式計(jì)算r的值。（3）檢驗(yàn)所得結(jié)果。如果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如果，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了。這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。有了相關(guān)性檢驗(yàn)方法后，我們對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析，只須先對(duì)這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。如若具有線性相關(guān)性，則可依據(jù)求回歸直線方程的方法進(jìn)行求解，而不必像前面那樣，先畫(huà)散點(diǎn)圖，再依照散點(diǎn)圖呈直線性后再求回歸直線方程。這樣就使得回歸直線方程更能真實(shí)地反映實(shí)際情況，具有應(yīng)用于實(shí)際的價(jià)值。五、注意事項(xiàng)㈠1．由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1）pi≥0，i＝1，2，…；（2）p1＋p2＋…＝1。2．若隨機(jī)變量的分布列為：P(＝k)＝Cpkqn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，則稱服從二項(xiàng)分布，記作~B(n，p)，其中n、p為參數(shù)，并記Cpkqn-k=b(k；n，p)。對(duì)二項(xiàng)分布來(lái)說(shuō)，概率分布的兩個(gè)性質(zhì)成立。即：（1）P(＝k)＝Ckqn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；（2）P(＝k)＝Ckqn-k＝(p＋q)n＝1。二項(xiàng)分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。㈡1．三種抽樣方法的共同點(diǎn)都是等概率抽樣，即抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性。若樣本容量為n，總體的個(gè)體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時(shí)，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是。2．三種抽樣方法的各自特點(diǎn)、適用范圍、相互聯(lián)系及共同點(diǎn)如下表：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾個(gè)部分，然后按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成㈢總體密度曲線反映了總體分布，即反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率?？傮w在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。㈣1．正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定，如果隨機(jī)變量～N(μ，σ2)，根據(jù)定義有：μ=E，σ=D。2．正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交。（2）曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱。（3）曲線在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn)。（4）當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近。（5）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。㈤⒈在“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”中相應(yīng)于x0的值(x0)是指總體取值小于的概率，則：（1）(x0)=P(x<x0)；（2）(x0)=1-(-x0)。⒉對(duì)于任一正態(tài)總體N(μ，σ2)來(lái)說(shuō)，取值小于x的概率F(x)=()。⒊從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值范圍是R，但實(shí)際上取區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實(shí)際問(wèn)題中常常認(rèn)為它是不會(huì)發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個(gè)有限區(qū)間，即區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)，這即實(shí)用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過(guò)程控制。㈥線性回歸的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量存在密切關(guān)系，但不存在確定性的函數(shù)關(guān)系。六、范例分析例1.2000年全國(guó)高考天津理科卷(13)012p某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)的概率分布是解：大批產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，認(rèn)為次品數(shù)服從二項(xiàng)分布B(2,0.05)025,0.095,0.0025考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布例2.2001年全國(guó)高考天津理科卷(14)一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出兩個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________________.解1：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù)的概率分布為P(=0)==,P(=1)==,P(=2)==E==,空格中應(yīng)填解2：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù)服從超幾何分布，其數(shù)學(xué)期望為n==例3.2002年全國(guó)高考天津文科卷(15)甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲。提示：eq\o\ac(x,ˉ)甲=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0，eq\o\ac(x,ˉ)乙=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0;seq\o(\s\up5(2),\s\do3(甲))=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))2+…2)–102=0.02，seq\o(\s\up5(2),\s\do3(甲))=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))2+…2)–102=0.244>0.02。例4.2003年全國(guó)高考江蘇卷(14)遼寧卷(14)天津文科卷(14)天津理科卷(14)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取6，30，10輛。提示：1200+6000+2000=9200；46:9200=1:20；1200eq\o(\s\up5(1),\s\do3(20))=6，6000eq\o(\s\up5(1),\s\do3(20))=30，2000eq\o(\s\up5(1),\s\do3(20))=10。例5.“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？⑴每次取出一只，測(cè)試后放回，然后再隨機(jī)抽取下一只（稱為返回抽樣）；⑵每次取出一只，測(cè)試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）解：⑴設(shè)“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測(cè)試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復(fù)排列，共有個(gè).再求M所包含的基本事件數(shù)，由于每次抽出后又放回，故是重復(fù)排列，共有個(gè)，所以⑵由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個(gè)，事件M的基本事件數(shù)為，所以例6.已知連續(xù)型隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)，且f(x)≥0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率≤ε<2.5)。分析:凡是計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(a≤ε≤b)都需要通過(guò)求面積來(lái)轉(zhuǎn)化而求得。若f(x)≥0且在[a，b]上為線性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即。解:∵∴；例7.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀。分析:根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，需要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的與，然后加以比較，最后再作出判斷。解:，；，∴，，由此可以說(shuō)明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀。說(shuō)明：與作為總體方差的兩個(gè)估計(jì)量，當(dāng)樣品容量不是很大時(shí)，更接近，故在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，我們常用去估計(jì)，但當(dāng)容量較大時(shí)，與則沒(méi)有什么差別。例8．幾何分布某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P。求從射擊開(kāi)始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望、方差。解：123…………令例9．設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，x∈R。（1）求μ，σ；（2）求及的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出μ和σ。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決。解：（1）由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）。（2）。又。說(shuō)明：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將未知的，不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已解決了的問(wèn)題，是我們常用的手段與思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。通過(guò)本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。例10．公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（單位：cm），問(wèn)車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高（精確到1cm）？分析：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm，使其總體在不低于x的概率小于1%。解：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm，由題意，需使P(ε≥x)<1%?！擀拧玁（173，7），∴。查表得，解得x>179.16，即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞。說(shuō)明：解決本題的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上，找出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式；而逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問(wèn)題時(shí)思維的靈活性。例11．已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)（1）求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；（2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。分析：（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成；（2）查表得出顯著性水平與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界比較，若則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。解：（1）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：]i123456789101112131415707480788592909592108115123130138145357444544765900114010581188135716251885，，，，。故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù)。由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值，則，從而說(shuō)明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。（2）設(shè)所求的回歸直線方程為，則，，∴回歸直線方程為。說(shuō)明：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心、謹(jǐn)慎地計(jì)算。如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡(jiǎn)單得到，，，，這些量，也就無(wú)需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。例12.設(shè)隨機(jī)變量ε服從N（0，1），求下列各式的值：（1）P(ε≥2.55)；（2）P(ε<-1.44)；（3）P(|ε|<1.52)。分析:一個(gè)隨機(jī)變量若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值。但在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了，即的情形，對(duì)于其它情形一般用公式：φ(-x)=1-φ(x)；p(a<x<b)=φ(b)-φ(a)及等來(lái)轉(zhuǎn)化。解:（1）（2）；（3）說(shuō)明：從本題可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只要給出了的概率，就可以利用上述三個(gè)公式求出其它情形下的概率。例13．某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑ε～N（4，0.25）。質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件，測(cè)得它的外徑為5.7cm。試問(wèn)該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？分析：欲判定這批零件是否合格，由假設(shè)檢驗(yàn)基本思想可知，關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一件產(chǎn)品的尺寸是在（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)，還是在（μ-3σ，μ+3σ）之外。解：由于圓柱形零件的外徑ε～N（4，0.25），由正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布N（4，0.25）在區(qū)間(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，認(rèn)為該廠這批產(chǎn)品是不合格的。說(shuō)明：判斷某批產(chǎn)品是否合格，主要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。例14．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：（1）列表如下：i123452345649162536，，于是，?！嗑€性回歸方程為：。（2）當(dāng)x=10時(shí)，（萬(wàn)元）即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是萬(wàn)元。說(shuō)明：本題若沒(méi)有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的。例15.（2003年全國(guó)高考遼寧卷(20)天津理科卷(20)）A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3。按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1對(duì)B1eq\o(\s\up5(2),\s\do3(3))eq\o(\s\up5(1),\s\do3(3))A2對(duì)B2eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))A3對(duì)B3eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng),每場(chǎng)勝隊(duì)得1分,負(fù)隊(duì)得0分設(shè)A隊(duì)B隊(duì)最后總分分別為。(Ⅰ)求的概率分布；(Ⅱ)求EE。分析：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解：(Ⅰ)的可能取值分別為3,2,1,0.P(=3)= （即A隊(duì)連勝3場(chǎng)）P(=2)= （即A隊(duì)共勝2場(chǎng)）P(=1)=（即A隊(duì)恰勝1場(chǎng)）P(=0)= （即A隊(duì)連負(fù)3場(chǎng)）根據(jù)題意知=3，所以P(=0)=P(=3)=eq\o(\s\up5(8),\s\do3(75))， P(=1)=P(=2)=eq\o(\s\up5(28),\s\do3(75))，P(=2)=P(=1)=eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))， P(=3)=P(=0)=eq\o(\s\up5(3),\s\do3(25))。(Ⅱ)E=；因?yàn)?3，所以E=3–E=。 七、強(qiáng)化訓(xùn)練和參考答案1.隨機(jī)變量的的分布列如下，則m=（D）1234pm（A）（B）（C）（D）2.設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B（6，），則P（=3）=（A）（A）（B）（C）（D）3.從簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽中，任意取3支，設(shè)為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)。則的的數(shù)學(xué)期望為（B）4.某射手射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.7，設(shè)4次射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則P（1）等于（D）5.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是（C）與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽的可能性最大。與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽的可能性最小。與第幾次抽樣無(wú)關(guān)，每次抽到的可能性相等。與第幾次抽樣無(wú)關(guān)，與抽取幾個(gè)樣本有關(guān)。6.一個(gè)年級(jí)有12個(gè)班，每個(gè)班有50名學(xué)生，隨機(jī)編為1～50號(hào)，為了了解他們?cè)谡n外的興趣愛(ài)好要求每班是40號(hào)學(xué)生留下來(lái)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，這里運(yùn)用的抽樣方法是（D）（A）分層抽樣（B）抽簽法（C）隨機(jī)數(shù)表法（D）系統(tǒng)抽樣法7.當(dāng)一個(gè)樣本的容量不大時(shí)，我們估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ的常用量是：（C）（A）s（B）s2（C）s*（D）s*28.從總體中抽一個(gè)樣本，2、3、4、8、7、6，則樣本平均數(shù)為=（B）9.從總體中抽一個(gè)樣本，3、7、4、6、5，則樣本方差s*2為（B）（A）2（B）2.5（C）5（D）310.下面哪有個(gè)數(shù)不為總體特征數(shù)的是（D）總體平均數(shù)（B）總體方差（C）總體標(biāo)準(zhǔn)差（D）總體樣本11.為了抽查某城市汽車尾氣排放執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)情況，在該城市的主干道上采取抽取車牌末位數(shù)字為5的汽車檢查，這種抽樣方法稱為（C）（A）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（B）隨機(jī)數(shù)表法（C）系統(tǒng)抽樣法（D）分層抽樣法12.已知n個(gè)數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，那么是指（D）（A）s（B）s*（C）s2（D）s*213.總體方差σ2的的估計(jì)量為（B）（A）（B）s2（C）s（D）s*14.已知容量為40的樣本方差s2=3.9，那么s*=（B）（A）4（B）2（C）（D）115.設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品，從中抽取150件進(jìn)行檢查，查得廢品的數(shù)學(xué)期望為（B）（A）20（B）10（C）5（D）1516.某一計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，有幾個(gè)終端，每個(gè)終端在一天中使用的概率p，則這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中一天平均使用的終端個(gè)數(shù)為（B）（A）np(1-p)（B）np（C）n（D）p(1-p)17.下列說(shuō)法正確的是：（D）甲乙兩個(gè)班期末考試數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，這表明這兩個(gè)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況一樣期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的方差甲班比乙班的小，這表明甲班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況比乙班好期末考試數(shù)學(xué)平均成績(jī)甲、乙兩班相同，方差甲班比乙班大，則數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況甲班比乙班好期末考試數(shù)學(xué)平均成績(jī)甲、乙兩班相同，方差甲班比乙班小，則數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況甲班比乙班好18.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如圖所示，則P(=8)=(D)ζ78910PP（A）P(P>0)（B）（C）（D）19.設(shè)隨機(jī)變量的的分布列為P（=k）=（k=1、2、3、4、5、6），則P（1.5<）=（A）（A）（B）（C）（D）20.如果η～B（15，）則使P（η=k）最大的k是（D）（A）3（B）4（C）5（D）3或421.某人有資金10萬(wàn)元，準(zhǔn)備用于投資經(jīng)營(yíng)甲，乙兩種商品，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料：經(jīng)營(yíng)甲經(jīng)營(yíng)乙獲利（萬(wàn)元）23-1概率獲利（萬(wàn)元）14-2概率那么，他應(yīng)該選擇經(jīng)營(yíng)甲種商品。22.在10件產(chǎn)品中有8件正品，從中任意地取出3件，設(shè)取到正品的個(gè)數(shù)為ζ，則ζ的取值可以有3種。23.要檢查某廠的產(chǎn)品合格率，檢查人員從1000件產(chǎn)品中任意抽取了50件，問(wèn)這種抽樣的方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法。24.若樣本a1，a2，a3的方差是2，則樣本2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差是8。25.甲、乙兩種棉花，各抽取50根棉花纖維檢驗(yàn)長(zhǎng)度，樣本方差分別是s甲=1.32，s乙=0.93，這兩種棉花質(zhì)量較好的是乙。26.甲、乙兩學(xué)生連續(xù)五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，甲?0、75、80、90、70；乙：70、70、75、80、65。則可以認(rèn)為乙的數(shù)學(xué)成績(jī)比較穩(wěn)定。27.某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出兩件，其中次品數(shù)的概率分布是：ζ012P28.若樣本a1，a2，a3的方差是2，則樣本2a1，2a2，2a3的方差是8。29.已知隨機(jī)變量的分布列如下：012px2x求x的值。30.袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中隨機(jī)取2個(gè)球，假設(shè)取得1個(gè)白球得1分，取得1個(gè)紅球得0分，求得分值的分布列。（要寫(xiě)出解題過(guò)程，并按要求填空）p31.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，有2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地取出3張卡片，設(shè)3張卡片的數(shù)字之和為隨機(jī)變量。求E，D。32.某市教委，為了指導(dǎo)教師更好地做好2002年高三復(fù)習(xí)迎考工作，決定對(duì)全市第一次高三模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，要從全市2008張考卷中抽取200份試卷，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)抽樣，抽取所需數(shù)目的樣本。33.已知已個(gè)樣本的s2=0.63，s*2=0.7，求樣本的容量n是多少？34.樣本（x1，x2，x3，…，xn）的樣本均值為，樣本（x1，x2，x3，…，xn，xn+1）的樣本均值為。求證：=+xn+135.據(jù)統(tǒng)計(jì)，一年中一個(gè)家庭萬(wàn)元以上財(cái)產(chǎn)被竊的概率為0.01，保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年期萬(wàn)元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，參加者需交保險(xiǎn)費(fèi)100元，若在一年以內(nèi)，萬(wàn)元以上財(cái)產(chǎn)被竊，保險(xiǎn)公司賠償a萬(wàn)元（a>100），問(wèn)a如何確定，可是保險(xiǎn)公司期望獲利？36.某公司有三個(gè)部門，第一個(gè)部門800個(gè)員工，第二個(gè)部門604個(gè)員工，第三個(gè)部門500個(gè)員工，現(xiàn)在用按部門分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為380名員工的樣本，求應(yīng)該刪除幾個(gè)人，每個(gè)部門應(yīng)該抽取多少名員工？4，160，120，100的概率密度函數(shù)為：f(x)=且f(x)0，<ζ）。k=-,<）38.在同樣條件下，用甲乙兩種方法測(cè)量某零件長(zhǎng)度（單位mm），由大量結(jié)果得到分布列如下：4849505152P甲：η4849505152P乙：?jiǎn)柲姆N方法精度較好？E=Eη=50,D<Dη39.某班40人隨機(jī)平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績(jī)情況如下表：統(tǒng)計(jì)量組別平均標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差。平均為85，40.某企業(yè)對(duì)一項(xiàng)工程的完成有三個(gè)方案，甲、乙、丙每個(gè)方案的獲利情況如下表所示：自然狀況方案甲方案乙方案丙概率獲利(萬(wàn)元)概率獲利(萬(wàn)元)概率獲利(萬(wàn)元)巨大成功67中等成功2不成功-4-5問(wèn)企業(yè)應(yīng)選擇哪種方案？E甲>E乙>E丙41.某種電路開(kāi)關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是.從開(kāi)關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是.問(wèn)：（Ⅰ）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？（Ⅱ）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率是多少？．解（Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是；………………2分 如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為.……………4分 綜上，第二次出現(xiàn)紅燈的概率為+.………………5分 （Ⅱ）由題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有如下三種方式：①當(dāng)出現(xiàn)綠、綠、紅時(shí)的概率為；……7分②當(dāng)出現(xiàn)綠、紅、綠時(shí)的概率為；……9分③當(dāng)出現(xiàn)紅、綠、綠時(shí)的概率為；…………11分 所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為++=………………12分42.在某次考試中，甲、乙、丙三人合格（互不影響）的概率分別是，，，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人合格的情況？解：按以下四種情況計(jì)算概率,概率最大的就是最容易出現(xiàn)的情況.⑴三人都合格的概率…………2分⑵三人都不合格的概率為………4分⑶恰有兩人合格的概率……7分⑷恰有一人合格的概率…………10分由此可知，最容易出現(xiàn)恰有１人合格的情況……………12分43.獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的目標(biāo)，命中的概率為0.6。（1）如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，求至少有一次命中的概率；（2）如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的動(dòng)物，假如第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于槍聲驚動(dòng)動(dòng)物使動(dòng)物逃跑從而使第二次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則必須進(jìn)行第三次射擊，而第三次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比，。求獵人最多射擊三次命中動(dòng)物的概率。解：（1）記事件“獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，至少有一次命中”為A事件，則P(A)=1-P(××0.4=0.936.（2）記事件“第次擊中動(dòng)物”為事件（=1,2,3），記事件“最多射擊3次而擊中動(dòng)物”為事件B.由條件P(B1)=0.6,P(B1)==0.4,P(B1)==0.3,∵,且是相互獨(dú)立事件,又、、是互斥事件，∴=0.832.44.某班數(shù)學(xué)興趣小組有男生和女生各３名，現(xiàn)從中任選２名學(xué)生去參加校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求：（I）恰有一名參賽學(xué)生是男生的概率；（II）至少有一名參賽學(xué)生是男生的概率；（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生的概率。解：基本事件的種數(shù)為=15種（Ⅰ）恰有一名參賽學(xué)生是男生的基本事件有=9種這一事件的概率P1==0.6（Ⅱ）至少有一名參賽學(xué)生是男生這一事件是由兩類事件構(gòu)成的，即恰有一名參賽學(xué)生是男生和兩名參賽學(xué)生都是男生所求事件的概率P2=（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生這一事件也是由兩類事件構(gòu)成的，即參賽學(xué)生沒(méi)有男生和恰有一名參賽學(xué)生是男生所求事件的概率P3=八、近幾年全國(guó)高考概率題集錦1．2000年全國(guó)高考天津理科卷(17)甲乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題.(I)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？(II)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：(I)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為=(II)設(shè)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題為事件B，則對(duì)立事件為兩人均抽到判斷題，則P(B)=1–P()=1–=2．2001年全國(guó)高考天津理科卷(18)用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.

已知元件A、B、C正常工作的概率依次為，分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率。解：分別記三個(gè)元件A、B、C能正常工作為事件A、B、C，由題意，這三個(gè)事件相互獨(dú)立，系統(tǒng)N1正常工作的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P系統(tǒng)N2中，記事件D為B、C至少有一個(gè)正常工作，則P(D)=1–P()=1–P()P()=1–(1–0.9)系統(tǒng)N2正常工作的概率為P(AD)=P(A)P(D)說(shuō)明：用事件的并可知，系統(tǒng)N2正常工作的概率為P()=P(AB)+P0.9=0.7923．2002年全國(guó)高考天津文科卷(20)天津理科卷(19)（本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。）(相互獨(dú)立)。(Ⅰ)求至少三人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(Ⅱ)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3?解：(Ⅰ)至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率，即(Ⅱ)至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為因此，至少5人同