專題提優(yōu)突破四　立體幾何

專題提優(yōu)突破四立體幾何立體幾何解答題的考查內(nèi)容包括:直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的證明,空間幾何體的體積和表面積、空間角和空間距離的計算.立體幾何還常常與折疊問題、探索性問題相結(jié)合.考查的方法:常用到綜合法、分析法、反證法、向量法和解析法等方法.常常需要把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,運用平面幾何的性質(zhì)簡化運算,要注意以算代證方法的運用.考查的思想:全面考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸思想;突出考查空間想象、數(shù)學運算、邏輯推理等能力.注重思維能力考查的同時,更通過強化直觀想象,邏輯推理,數(shù)學運算來區(qū)分不同水平的學生.立體幾何解答題的答題關(guān)鍵是準確運用公理、定理、定義,合理進行各種位置關(guān)系的轉(zhuǎn)換,熟練運用公式求值,力爭做到作圖規(guī)范,思路清晰,言必有據(jù),恰如其分,注重細節(jié),杜絕筆誤.防止“突然死亡”!立體幾何解答題多為中檔題,難度不大,但容易拉開差距,一般是一證一算,一證往往是綜合法,一算往往是向量法,會考查思考多一點,計算少一點,答題時既要有用向量法去證的意識,還要有用綜合法去算的意識,運用空間向量時也不一定就是一味地建系,要有用向量幾何法解決問題的意識.不規(guī)則的幾何體問題所謂不規(guī)則幾何體是指除柱體、錐體、臺體、球以外的幾何體.在高考中時常出現(xiàn)這類幾何體中的線面關(guān)系判定以及特征量的計算問題,對學生的空間想象能力要求較高,問題中的線面關(guān)系需要在不同幾何體間進行轉(zhuǎn)換處理.典例1(2023·江蘇常州新北區(qū)校級期中)如圖所示的幾何體是由正方形ABCD沿直線AB旋轉(zhuǎn)90°得到的,設(shè)G是圓弧CE的中點,H是圓弧DF上的動點(含端點),問:(1)是否存在點H,使得EH∥平面BDG(2)是否存在點H,使得直線EH與平面BDG的所成角為30°.解決不規(guī)則幾何體問題的主要方法是割補法,把不規(guī)則的幾何體通過割補,轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則的幾何體的組合體,通過相鄰的棱或面聯(lián)系兩個幾何體的線面關(guān)系或數(shù)量關(guān)系,達到解決問題的目的.訓練1如圖1,E,F分別是矩形ABCD的邊AB,CD的中點,G是EF上的一點,將△GAB,△GCD分別沿AB,CD翻折成△G1AB,△G2CD,并連接G1G2,使得平面G1AB⊥平面ABCD,G1G2∥AD,且G1G2<AD,連接BG2,如圖2.(1)求證:平面G1AB⊥平面G1ADG2.(2)當AB=12,BC=25,EG=8時,求直線BG2和平面G1ADG2所成角的正弦值.圖1圖2立體幾何中的翻折問題把一個平面圖形按照某種要求折起,轉(zhuǎn)化為空間圖形,進而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化,這就是折疊問題.折疊問題是立體幾何的一個重要問題,折疊與展開的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).此類問題是歷年高考命題的一大熱點,主要有兩個方向:(1)折疊后的線面關(guān)系中的平行與垂直的判定;(2)折疊后空間角、空間距離及幾何體的體積、表面積等數(shù)字特征的求解.折疊問題還往往與范圍、最值問題和探索性問題相結(jié)合.典例2如圖1,四邊形ABCD是正方形,四邊形ADE1F1和四邊形BCE2F2是菱形,AB=2,∠DAF1=∠CBF2=60°.分別沿AD,BC將四邊形ADE1F1和四邊形BCE2F2折起,使點E1,E2重合于點E,點F1,F2重合于點F,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,M,N分別是CD,EF的中點.(1)求證:MN⊥平面ABCD.(2)求平面DCN與平面ABF所成銳二面角的余弦值.圖1圖2折疊問題的關(guān)鍵是要抓住折疊前后的不變量和變化量,準確確定折疊后幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及平面圖形折疊前后的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系.(1)翻折后還在同一個平面上的線線關(guān)系不發(fā)生變化,不在同一個平面上的可能發(fā)生變化.(2)不變量主要是不變的線線關(guān)系和不變的數(shù)量關(guān)系.不變的線線關(guān)系尤其是平面圖形中的線線平行、線線垂直關(guān)系是證明空間平行、垂直關(guān)系的起點和重要依據(jù).(3)不變的數(shù)量關(guān)系既是求解幾何體的數(shù)字特征的依據(jù),也是證明線面關(guān)系中以算代證的常用條件.訓練2如圖1,在△ABC中,∠C=90°,AC=2BC=4,E,F分別是AC,AB的中點,將△AEF沿EF折起,連接AC與AB,得到四棱錐ABCEF(如圖2),G為線段AB的中點.(1)求證:FG∥平面ACE.(2)當四棱錐ABCEF的體積最大時,求直線FG與平面AFC所成角的正弦值.圖1圖2立體幾何中的探索性問題探索性問題是相對于那種完全具備條件和固定答案的封閉題而言的,立體幾何探索性試題的條件或結(jié)論不完備,要求解答者自己去探索,結(jié)合已有條件,進行觀察、分析、比較和概括,得到結(jié)論.它對學生的數(shù)學思想、數(shù)學意識及綜合運用數(shù)學方法的能力提出了較高的要求.它有利于培養(yǎng)學生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力,讓學生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程.典例3如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E,F分別為AD,BC的中點,沿EF將四邊形EFCD折起,使二面角AEFC的大小為60°,點M在線段AB上.(1)若M為AB的中點,且直線MF與由A,D,E三點所確定平面的交點為O,求證:OD∥平面EMC.(2)是否存在點M,使得直線DE與平面EMC所成的角為60°?若存在,求此時二面角MECF的余弦值;若不存在,請說明理由.探索性問題包含平行與垂直關(guān)系的探索和空間特征量的探索兩類問題,解決的基本方法是假設(shè)對象存在,然后運算或推理,若能得出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實,則說明假設(shè)成立,即存在,否則不成立,即不存在.主要解題策略如下:1.平行與垂直關(guān)系的探索問題(1)對命題條件的探索這類問題的結(jié)論已經(jīng)給定,而需探求此結(jié)論成立的條件,常規(guī)的解決方法:執(zhí)果索因,逆向求索,或合理猜想,再加以證明,即多采用分析法或猜想證明.①先猜后證,即先觀察并嘗試給出條件,再給出證明;②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明條件的充分性;③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,探索出命題成立的條件.(2)對命題結(jié)論的探索①探索結(jié)論是什么,常從條件出發(fā),探索出要求的結(jié)論是什么;②探索結(jié)論是否存在,常先假設(shè)結(jié)論存在,再在這個假設(shè)下進行推理論證,尋找與條件相符或矛盾的結(jié)論,相符則存在,矛盾則不存在.2.空間角和距離的探索問題與空間角和距離有關(guān)的探索性問題,還常常與最值和范圍有關(guān),一般用空間向量法求解,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有在規(guī)定范圍內(nèi)的解”問題.3.對于位置探索型問題,通常借助向量引入?yún)?shù),綜合條件和結(jié)論列方程或方程組,解出參數(shù),從而確定位置.訓練3如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E,F分別為線段PB,BC上的動點.(1)若平面AEF⊥平面PBC,請確定點E,F的位置;(2)若BE=2BF,且平面AEF與平面PBC所成角的余弦值為714立體幾何中的最值與范圍問題立體幾何中的最值與范圍問題,一般是考查空間角、空間距離和幾何體的體積、表面積的范圍和最值問題,一般和動態(tài)問題相結(jié)合.典例4如圖所示,在四面體ABCD中,AD⊥AB,平面ABD⊥平面ABC,AB=BC=22AC,且AD+BC=4.設(shè)E為棱AC的中點,當四面體ABCD的體積取得最大值時,求二面角CBD解決空間最值問題的處理策略主要有兩個(1)從代數(shù)關(guān)系入手,引入?yún)?shù)構(gòu)建目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題;(2)從幾何特征入手,由條件