1.2.2空間中的平面與空間向量

1.2.2空間中的平面與空間向量分層練習(xí)一、單選題1．（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二陽(yáng)江市陽(yáng)東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎侵本€l的方向向量，是平面的法向量.若，則實(shí)數(shù)a，b的值是（

）A．a(chǎn)=1，b=7 B．a(chǎn)=5，b=1 C．a(chǎn)=5，b=1 D．a(chǎn)=5，b=1【答案】D【詳解】依題意，，而，，于是，即，解得，所以.故選：D2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，則，解得，故選：C.3．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀┮阎獮橹本€的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（

）①②③④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：因?yàn)闉橹本€的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），若，則，由于不確定直線是否在平面內(nèi)，當(dāng)直線不在平面內(nèi)，則，故①錯(cuò)誤；若，則，故②正確；若，則，故③正確；若，即也是平面的法向量，所以，故④錯(cuò)誤；故選：B4．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，F(xiàn)是正方體的棱CD的中點(diǎn)．E是上一點(diǎn)，若，則有A． B．C． D．E與B重合【答案】A【詳解】由題意，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，F(xiàn)(0，1，0)，D1(0，0，2)，設(shè)E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，，∴，∴，故選A.二、多選題5．（2022秋·廣東湛江·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在平面內(nèi)，則下列向量為的法向量的是（

）．A． B．C． D．【答案】BC【詳解】由題得：，，設(shè)平面的法向量為，則有，故平面的一個(gè)法向量可以為，.故選：BC．6．（2023秋·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）已知空間中三點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】AD【詳解】由題意可得，，，選項(xiàng)A：，故，正確；選項(xiàng)B：不是單位向量，且與不共線，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)，則，，所以，，又，所以平面的一個(gè)法向量是，正確；故選：AD三、填空題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，給出向量：①；②；③；④．可以作為平面ABC的法向量的是_______．（選填序號(hào)）【答案】②③【詳解】解：由于直三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，所以平面的法向量可以為，．故答案為：②③．8．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方體中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角面所在法向量為，則__________．【答案】【詳解】由題意得，，，，，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，則，即，取，則，故故答案為：四、解答題9．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是空間中兩個(gè)不重合的平面的法向量，分別根據(jù)下列條件判斷平面的位置關(guān)系.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則；（2）因?yàn)椋?，則；一、單選題1．（2020秋·安徽淮南·高二淮南第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，則平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不確定【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以平面與平面垂直．故選：B．2．（2022春·安徽蚌埠·高二安徽省蚌埠第三中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果，，．給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．AP⊥ADC．AP⊥AB D．是平面ABCD的一個(gè)法向量【答案】B【詳解】解：由題意，因?yàn)椋?，，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以AP⊥AD，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以AP與AB不垂直，不是平面ABCD的一個(gè)法向量，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤；故選：B.3．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則（

）A．2 B．2 C．6 D．10【答案】D【詳解】因?yàn)椋本€的方向向量為，平面的法向量為，所以，即，，解得，故選：D.4．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）給出以下命題，其中正確的是（

）A．平面的法向量分別為，則B．直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直D．平面經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，向量是平面的法向量，則【答案】C【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，此方程組無(wú)解，所以與不共線，所以不平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以或∥，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以l與m垂直，所以C正確，對(duì)于D，由，得，因?yàn)橄蛄渴瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?，得，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：C二、多選題6．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第二十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的方向向量為，平面的法向量為，則B．直線的方向向量為，直線的方向向量，則C．若對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)，都有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．平面，的法向量分別為，，則【答案】BCD【詳解】A.因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，且，所以不平行，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)橹本€的方向向量為，直線的方向向量，且，所以，故正確；C.因?yàn)?，即，即，所以，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故正確；D.因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，且，所以，故正確；故選：BCD三、填空題7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．平面一個(gè)法向量為_(kāi)_________.【答案】（答案不唯一，與共線的非零向量均可）【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得故答案為：8．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知是平面的一個(gè)法向量，是直線的一個(gè)方向向量，若，，則與的位置關(guān)系是________．【答案】或/或【詳解】解：已知是平面的一個(gè)法向量，是直線的一個(gè)方向向量，且，，，所以，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，所以或.故答案為：或.四、解答題9．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．若，證明：與平面不垂直【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直．一、單選題1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知為直線l的方向向量，、分別為平面、的法向量（、不重合），那么下列說(shuō)法中：①；②；③；④.其中正確的有（

）.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】①，判斷正確；②，判斷正確；③，判斷錯(cuò)誤；④或，判斷錯(cuò)誤.故選：B2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，若，且平面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，則，解得，，平面，、平面，所以，，，則，解得，因此，.故選：D.3．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，，，，，，是各條棱的中點(diǎn).①直線平面；②；③，，，四點(diǎn)共面；④平面.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，同理可得平面，又因?yàn)?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，①正確；設(shè)棱長(zhǎng)為2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，所以，0，，，0，，，2，，，0，，用向量法，，則，②錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，所以，故，，，四點(diǎn)共面，③正確；，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，0，，，2，，，，所以直線不垂直于平面，④不正確；所以正確的是①③，故選：B.二、多選題4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．平面B．的大小可以為C．直線與直線恒為異面直線D．存在實(shí)數(shù)，使得成立【答案】ABD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)所以又平面所以平面的法向量為因?yàn)樗运云矫婀收_對(duì)于B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)所以所以所以平面所以的大小可以為，故正確；對(duì)于當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與共面，故不正確對(duì)于三點(diǎn)共線故正確.故選:ABD.5．（2022·高二單元測(cè)試）如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四棱錐的體積為B．存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值C．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，在直線上存在點(diǎn)，使得D．存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且【答案】ABC【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，對(duì)于A，，，平面，平面，故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖1所示，平面，平面，則，，平面，且，故，同理可得，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長(zhǎng)為，將長(zhǎng)方體的側(cè)面和沿棱展開(kāi)到同一平面內(nèi)，如圖2所示，則的最小值為展開(kāi)面中的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，所以四邊形的周長(zhǎng)的最小值為，B對(duì)；對(duì)于，，即，所以，，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，則，，，因?yàn)槠矫?，則，解得，即，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題6．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點(diǎn)，使得③四面體的體積為定值④當(dāng)時(shí)，平面平面【答案】②③④.【詳解】對(duì)于①：連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)直線與直線相交，故①不正確，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，對(duì)于②：，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，故②正確；對(duì)于③：連接、交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，此時(shí)，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故③正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)平面的法向量為，由令，可得，，可得，設(shè)平面的法向量為，，由解得:，令可得，所以，因?yàn)?，所以平面平面，故④正確；故答案為：②③④.四、解答題7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱錐中，是高上一點(diǎn)，，直線與底面所成角的正切值為.（1）求證：平面；（2）求三棱錐外接球的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)因?yàn)槠矫?，所以即為直線與底面所成的角，從而，所以.因?yàn)椋瑒t，，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與平行的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由得，取，則，，即，所以，即，所以平面；（2）由題意知三棱錐為正三棱錐，設(shè)其外接球的球心為，由，得，解得，所以外接球的半徑，所以外接球的體積.8．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，，，且，，.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，說(shuō)明理由；（3）若是棱的中點(diǎn)，為線段上任意一點(diǎn)，求證：與一定不平行.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，平面ABCD，所以平面.（2）以D為原點(diǎn)，以DA