2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（滬教版）第十七章 一元二次方程（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第十七章一元二次方程單元重點(diǎn)綜合測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式為：，其中稱為二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)，稱為一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的定義求解即可．【詳解】解：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為1，，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次函數(shù)的一般形式，想要求出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)就需要把函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闶剑?，其中稱為二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)，稱為一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．2．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為，若設(shè)道路的寬為，則所列的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】六塊矩形空地正好能拼成一個(gè)矩形，設(shè)道路的寬為，根據(jù)草坪的面積是，即可列出方程．【詳解】解：設(shè)道路的寬為，根據(jù)題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而即可列出方程．3．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．4．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可化為（

）A． B．C． D．．【答案】A【分析】設(shè)，原方程中用代替，這樣原方程轉(zhuǎn)化為：，然后把方程兩邊乘以y得到整式方程．【詳解】解：設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為，方程兩邊乘以y得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程：用一個(gè)字母代替分式方程中某一個(gè)的整體，使原分式方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的分式方程或整式方程，從而達(dá)到解決原方程的目的．5．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C． D．【答案】A【分析】由關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得且，解此不等式組即可求得答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，，，的取值范圍是：且．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，根據(jù)的面積等于，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，根據(jù)題意得：，即，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，∴．∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023春·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┓匠痰母牵敬鸢浮浚?，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【詳解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解為，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的解高次方程，進(jìn)行因式分解是解方程的關(guān)鍵．8．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）某廠一月份產(chǎn)值為2萬(wàn)元，以后每月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率都為x，且第一季度總產(chǎn)值為10萬(wàn)元，那么可以列出方程是．【答案】【分析】由題意可求出二月份產(chǎn)值為萬(wàn)元，三月份產(chǎn)值為萬(wàn)元．再根據(jù)第一季度總產(chǎn)值為10萬(wàn)元即可列出方程．【詳解】由題意可求出二月份產(chǎn)值為萬(wàn)元，∴三月份產(chǎn)值為萬(wàn)元．∵第一季度總產(chǎn)值為10萬(wàn)元，∴可以列出方程是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．9．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值為．【答案】4【分析】由題意得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，．10．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是．【答案】±2【分析】一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac=0，建立關(guān)于k的等式，求出k的值．【詳解】由題意知方程有兩相等的實(shí)根，∴△=b2-4ac=k2-4=0，解得k=±2，故答案為：±2．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．11．（2023秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式．【答案】【分析】先求出方程的兩個(gè)根，再因式分解．【詳解】∵的根為，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，正確計(jì)算方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某型號(hào)的手機(jī)原來(lái)每臺(tái)售價(jià)800元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率相同，現(xiàn)在每臺(tái)售價(jià)為578元，則每次降價(jià)的百分率是．【答案】【分析】設(shè)每次降價(jià)百分率為x，根據(jù)原來(lái)每臺(tái)售價(jià)800元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率相同，現(xiàn)在每臺(tái)售價(jià)為578元，列方程即可．【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)百分率為x，由題意得：，解得：（舍），∴每次降價(jià)的百分率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查理一元二次方程的應(yīng)用，是個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題，根據(jù)兩次降價(jià)前的結(jié)果，和現(xiàn)在的價(jià)格，列出方程是關(guān)鍵．13．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┌讯畏匠袒蓛蓚€(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程分別是．【答案】或【分析】利用完全平方公式分解因式，兩邊同時(shí)開(kāi)平方得到答案．【詳解】解：，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的分解因式，降次解一元二次方程，正確掌握直接開(kāi)平方法解方程是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為．【答案】6【分析】要使一元二次方程沒(méi)有實(shí)根，只需二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴且，解得，，∴，∴整數(shù)k的最小值是6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構(gòu)成條件、解一元一次不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式：對(duì)于一元二次方程，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．15．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有長(zhǎng)為的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為）圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，要圍成面積為的花圃，的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為，由題意得，，整理得，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為，由題意得，，整理得，解得，或，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為，不滿足題意，舍去，∴的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程并求解．16．（2023春·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┮阎獮閷?shí)數(shù)，若，那么的值為．【答案】2或3【分析】將原方程變形為，然后把看作一個(gè)整體運(yùn)用因式分解法求出的值即可．【詳解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正確將原方程進(jìn)行變形運(yùn)用因式分解法求解是解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關(guān)于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設(shè)，t的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．【詳解】解：由題可得：∴解方程得，關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時(shí)，的最大值為9．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義．18．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接、，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)P．則線段的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)有：，，再證明四邊形、都是矩形，即有，，，設(shè)，，則，，，根據(jù)在中，，在中，，可得，，上述兩個(gè)方程相減后，化簡(jiǎn)可得：，將代入，化簡(jiǎn)可得，解方程即可求解．【詳解】解：過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)，如圖，

∵在矩形中，，，∴，，，∵E為的中點(diǎn)，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)有：，，∵，，∴結(jié)合矩形的性質(zhì)有：四邊形、都是矩形，∴，，，設(shè)，，∴，，，∵在中，，在中，，∴，，上述兩個(gè)方程相減后，化簡(jiǎn)可得：，將代入，化簡(jiǎn)可得，解得：，（，不符合題意，舍去）故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用勾股定理，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共64分）19．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：(1)(2)．(3)；(4)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【分析】（1）先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可；（2）先整理，后用配方法求解即可；（3）先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可；（4）用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)，得，∴，∴或，∴，；（2）解：，整理得，配方得，即，∴，∴，；（3）解：，移項(xiàng)，得，∴，∴或，∴，；（4）解：，∴，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．解一元二次方程的方法有：直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法．20．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，不解方程，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用和直接代入求解即可；（2）先通分，然后整體代入求解即可．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，原式；（2）解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，由（1）知，所以原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)如果方程的一個(gè)根為3，求另一個(gè)根和的值．【答案】(1)；(2)，方程的另一個(gè)根為．【分析】（1）由根的判別式，列不等式求解即可．（2）將代入原方程，求出m，再解方程即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即：，整理得：，；（2）解：∵方程有一個(gè)根是3，將代入方程得：，∴，則原方程為：，解得：，∴方程的另一個(gè)根為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判別式：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，方程有實(shí)數(shù)根．熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵．22．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈？(2)羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為；(2)不能，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無(wú)實(shí)根即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊．根據(jù)題意，得．化簡(jiǎn)，得．解得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由題意，得．化簡(jiǎn)，得．∵，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程(1)當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？(3)當(dāng)取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【答案】(1)當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（3）分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：，解得：；又∵，∴當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：，解得：；∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）解：當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則，解得：；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，存在實(shí)數(shù)根，不符合題意；綜上，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系．熟練掌握時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，是解題的關(guān)鍵．24．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)求與的值．（用含k的式子表示）(3)①若，，可由結(jié)合，求解k的取值范圍．請(qǐng)求出k的取值范圍．②，，求k的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)①；②【分析】（1）求出，根據(jù)一元二次方程根的判斷式的意義可得結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，然后對(duì)所求式子變形，整體代入即可；（3）①根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，解不等式組可得k的取值范圍；②根據(jù)已知求出，，可得；再由得到，解不等式組可得k的取值范圍．【詳解】（1）證明：∵，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∴；；（3）①∵，，∴，，∴；②∵，∴，，∴，∴，即∴，即，∴，∴，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判斷式的意義，根與系數(shù)的關(guān)系，分式的加法，解一元一次不等式組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程